장음표시 사용
131쪽
Erit per Consectarium quartae hujus,vnaquaeq; Superficierum R G,N MB M , & C P, quadrata. Quumq; B D & B L latera Quadrati a M , sint aequalia C E & B L lateribus Parallelogrammi C L : erit & ipsum C LQuadratum: similiq; ratione L P Quadratum : ob idq; quatuor uti adrata componentia C P Quadratum, inter se aequassa. Et quia totus Gomon A D G Κ , Circumstans Quadratum R G,est,per trigesimam sextam, & quadragesimamtertiam Prumi, quadruplus ei quod ex A B in B D fit Rectangulo . quia quadruplus ad Superficsem AL: constat fropositio : Scilicet ALsumptum quater cum Quadrato R G , esse Q radrato A v E F ae
De Gnomone autem euidentius perspiciemus, si aduert rimus Superficiem. mutilam AD k R, esse duplam ad superficiem AE. Duo enim Tita ignia KNL & LBD , sunt aequalia Ouadratcic'e. Idemq; de altera parte D P G K sit judicium. Uodnόs si prolixius exponeremus , ingenium studiosorum obrueremus potius quam instrueremus. Eae enim figurationes Gnomonum siliat, re sese ob coucinnita um sponto
-LJd vena inissem,iccidit cum 'ibis Est enim an ipsi cypratatuo aequalia Sed tamen ou odi varietates.inutiles non sunt: quippe q inge sum ad homin Theorematum praxin&ωsi itarui itu reddam. Neque iocommode secerit qui se in Propositio libus Geomoricis , huius praesertim Secundi lubri variandis , immo di nouis excogitandis exercuerit. Cmus. modi satis multas adscriberepossumus.Sed eae priuatim a Geometra sint examinandae, non ipter reliquas collocandae T diosum est enim haec Theoremata congercre quae cum Numeris communiciuna am; ob capitim,nec sine judicio paucis filii
132쪽
Si recta linea in duo aequalia duo. inaequalia diui
daturi. quae ab inaequalibus totius segmentis fiunt Quadrata, dupla sunt eius quod a dimidia cum eo quod a medio segmentorum fit QMdrato.
Sit linea AB diitia aequaliter in puncto C, & inaequaliter in D. Dico duo Quadrata quae ex A D N D s , dupla eue duorum quae ex A C & C D, Quadratorum. Super punctum C erigo perpondicularem C 1, aequalem trique A e&ch: Et connesio B A & E B. Erunt . per quintam re trigesimamsecundam Primi duo anguli a & a semitecti: Muterque qui ad a, semire is, et sicq; totus E rectus. Erigo itaquen F perpendicularem seper Amsecantem E B in puncto v. Et erit, per eandem trigesimamsecundam , angulus BFn femi- rectus et quapropter D BN D F latera, per sextam Primi, aequalia. lam a puncto F duco F et aequidistantem, ob idq; aequalem C D. Et erit, per secundam partem vigesimae no&per trigesimam secundam Primi , uterques angulus qui ad G , rectus, & angulus m ν G semirectus: est enim F E G semirectus. Quapropter ε c &ν c,latera, per sextam Primi, aequalia. Tandem connecto A p.
Et quoniam Quadratum B F, per quadragesimam septimam Primi, aequale est Quadratis duarum E G & G F : ipsum erit duplum ad Quadratum GF rob idq, ad Quadratum CD. Eadem xatione erit Quadratum E A duplum ad Quadratu A c. Quum- Quadratum Λ ν sit aequale Quadraris A E & E F , per eaniam : ipsum erit duplum ad Quadrata A c & c D. Sed & idem . adratum A F aequale est QuUratis A D N D F. ri Quadrata Igitur A D hc D F dupla sunt ad Quadrata A C & c in Et quia . adratum n B est aequin Quadrato D r: erunt duo Quadra
133쪽
I N H Ascontueri licet quantam vim habeant Remim &AEquale.Quatuor enim Triangulis Iasicelibus Rectangulis dest, quatuor Semiquadratis, tota nititur probatio. THEOREM A io, PROPOSITIO X.
, Si recha linea secetur in duo aequalia,apponatur autem ei alia incontihuum: quod ex tota iam composita, quodq; ex Apposita ambo fiunt Quadrata, dupla, sunt amborqna, ieius scilicet quod ex dimidia, eiusq; quod ex dimidia cum apposita'. Quadratorum.
. Si erecta linea A B aequaliter diuisa in puncto C : eiq; In continuum apposita a P. Dico id quod fit ex A D Quadratum cum . Quadrato quod ex so, duplum etae ejus quod ex AC Cum eo quod ex c D Quadino.
. . Erigo C E perpendicularem seper A a , & aequalem utrique linearum A C & C B : Et connecto A E & E B. Eritq;, per quintam Z trigesimamsecundam Primi, uterque angulus A & B: item Vterque qui ad E , semirectus: totusq; E rectus. A puncto itaqueE, duCO E F aequ*lem & aequidis tantem e D: &connecto F D, quam protraho donec concurrat cum linea E B protracta,ad punctum *: Tum connecto A G. Et quia angulus E C D est rectus: erit, per ultimam parte vigesimaenonae Primi, angulus C E F rectus. Quum igitur angulus C E B sit semirectus: erit & p E G semirectus. Q mq, FD, per trigesimamtertiam Primi. sit aequissi- . stans E C : eriti per Crigesimamquartam ejusdem , angulus qui ad F, rectus: sici ang us E G F , Per trigesim secundam, se-
134쪽
LIBER I L Iormitectus: quia F E G semirectus. Et per eandem anfitus DBosemirectus: quum angulus BDC per decimamtertiam eiusdem, si rectus. Duo ig tur latera E F & F G , per sextam ejusdem,
sunt aequalia: itidemq; duo a D 5 D ci aequalia. QVapropter Quadratum E G, perquadragesi in septimam Primi. duplum est ad Quadratum E F: ob id , ad Quadratum C D. Quadratum item A E . per eandem , duplum est ad Quadratum A C. Quumq; Quadrarum A G , per eandem , sit aequale duobus Quadratis AE & E c , similiter & duobus Quadratis A D & D c: siqi Quadratum D C aequale quadrato B D : erunt duo quadrata a D&D G ea sunt A D & B Dὶ dupla duobus Quadratis A c dec D : Quod fuit demonstrandum. ALITER. Sit linea A B. bifariam diuisa in C , eiq; in continuum adjuncta a D. Dico Quadratum quod ex A D cum - .drato quod ex a D , duplum esse ad utrumque, de quod ex a cti quod ex c D sit Quadratum. LEx tota A D desci ibo Quadratum A D E F. Et super dimidia
A C describo Quadratum A C G H : protractisq; C H Ec C H ad si ctiones duorum laterum E F dc D F, describo H L x F : quod erit Quadratum ipsius c D r ut constat ducta Diametro Λ H F , ex Consectario quartae hujus bc ex trigesimaquarta Primi: est enim K p aequale C D. Factis etiam H M & H N utrique A C dc c Baequalibus, protraho M o de N p, sese scindon res ad rectos angulos in puncto R. Quarum utraque secet latera drati AD EF in o&P punctis. Iam vero nihil attinet probare H utasse Quadrarum Ipsius A C, quum sit Quadratum C a : sicut ius Quadratum ipsius B D: neque Hs Parallelogrammum, aequale esse utrique Supplementorum ΕΗ εc H D: quum Ho sit eis communiter aequale: π α Ο τ Denique N O dc L Supplementa esse aequalia. Atque etiam manifesta sunt haec -- I l ex ipsa Figurae specie: propterea quod o-- mnes anguli qui circa Diametrum, sunto μή l . . semirecti de latera aequalia. Diligenter ital que aduertentes quibus partibus compo-Z natur Quadratum H F, quod est ex CD: G η P sic ratiocinabimur. Sum totum Da
135쪽
LIBER I L - IosQuadrato. Describo ex A B , Quadratum A B C D.Cuius latus a D diui per aequalia in E : & connecto A E : Et protraho E B ad F pun- mim. ut sit E p aequalis A E : Et ex B F , portione extetinxi, describo Quadratum B F G H : ut B H latus resectum sit ex A a. Diaco A a sic sectam esse in puncto H, ut quod fit ex Λ B M A H,aequale sit quadrato quod ex H B. . lProtraho G H ad x, punctum lateris C D, aequalem & aequia distantem A c: Eritq; H C Rectangulium ex o H in A Nquod pro babitur aequale BFGH Quadrato.
moniam enim linea s D diuisa est per aequalia in E , atque eidem addita linea BF: erit, per sextam hujus, quod fit ex D F in a r cum Quadrato E B aequale quadrato B F: quapropter & Quadrato B A. ob idq, , per quadragesimam septimam Primi quadratis A B & E B. Ablato igitur virimquς quadrato E B, erit quod fit ex D p in B p quod est Parallelogrammum p x aequale quadrato lineae AB. Dempto igitur utrimque Parallelo grammo BK supe erit quadratum B ci aequale Parallelogrammo H c : Quod fuit demonstrandum.
ras hinus Secundi Libri Piispositiones , ad Numeros reduci sic os vim enim posuerimus laciis D B id est A a 3 atque in v saequalia diuilesimus', ut in x pimcto : linea AB sis perumniens rationem Conturbati hoc est; nullam habet rationem
ad laxus ABnominitam:ob i , per Numeros minime explicabilem ' Nam quum quadratoin ipsius A Ε 'sr aequale duobus quadratis A B & E B, me quadragesinani aptimam Primi i Sev n sit distadium. Ra: erit ipsum A ejuraeivnala. 'Vt-duo
cere Tisnpossinti: ita nec duo quadrati Numeri li draeum
136쪽
- L I B 'E R I ' l. Iossus esse Quadratis duorum B A & A C laterum quantum est id quod bis continetur sub BA & A D , Rectangulum: scilicet, quadratum B C aequale esse quadratis B A &λ / A C cum eo quod bis fit ex B A in A D. Est enim , per quartam huius, quadratum BD aequale Quadratis duorum EA& Α D & ei quod bis sub ipsis B A A A D continetur , Rectangulo. Et quia quadratum B C , per quadragesimamseptimam Primi, est aeqtiale duobus B o & C D : erit idem B C Quadratum aequale tribus quadratis BA, AD,& DC&ei quod his sub B A & A D continetur Rectangulo. A t per Candem, Quadratum A C , uale est quadratis A D N D c. Est igitur qua dratum B C aequale Quadratis a A & Α C & ei, quod bis sub Α Α& A D comprehenditur, Rectangulo: Quod fuit demonsti an
In Trianguli quod ex latere alterum acutorum angulorum subtendente fit Quadratum, tanto minus est duorum reliquorum laterum Quadratis, quantum est
id quod bis continetur sub illo in quod perpendicularis introrsum cadit & ea ipsius parte quae perpendiculari angulo, acuto interjacet.
Quod Euclides de Triangulis Oxygoniis proposuit, nos
cum Campano ad omnia Triangula ampliauimus. Triangula enim omnia duos, minimuma abent acutos angulos. Si itaque fuerit Oxygonium , a quolibet angulorum demittatur Perpendicularis : Si vero Orthogonium aut Amblygonium , demittenda erit ab angulo recto aut ab obtuso : in id latus scilicet quod duobus acutis angulis interjacet: quae o-
137쪽
1oc ELEMENT. EVCLIDIsmnino intra Triangulum cadet , ut demonstrauimus ad vigesimam Primi. Ac tum huius Theorematis Demonstratio tres Triangulorum species generatim complectetur. Sit igitur Triangulum A a C, cujus duo anguli B & c acuti, quantuliumque sit angulus A. Ab angulo A, demitto perpendicularem A D in latus a C. Dico QMdratum lateris A B, tanto minus esse Quadratis duorum laterum Λ C & B C , quantum est duplum ejus quod fit ex toto BC in partem DC. Vel etiam qu dratum AC, tanto minus esse quadratis duorum A B & B C, quantum est duplum us quod fit ex C B in B D. Quadratum enim A C,per quadragesi- mandeptimam Primi,aequale est duobus Quadratis A D & D C : Et Quadratum B C , per scptimam hujus , cum quadrato D C , aequale est quadrato B D cum eo quod bis fit ex B C in D C. Tria igitur quadrata AC, BC,& D C , aequalia sunt tribus quadratis AD, D C dc B D cum eo quod bis fit ex B c in D c. Commune auferatur quadratum D C: Erunt duo quadrata A c& B C, aequalia duobus quadratis A D & a D cum eo quod bis fieex B C in D C. At Quadratum A B aequale est duobus quadratis A D & B D. Quare idipsum A B quadratum tanto minus erit duobus A C & B c, quantum est duplum erus quod fit ex B c in D c: Quod erat probandum. Haec Demonstratio, quam ab illa communi aliquantum v riauimus, directa est. AEstimatio enim utraque ponitur: ut a majori auferatur minus. Simili argumentandi ratione,probabitur Quadratum latoris A c, tanto minus esse quadratis duorum A B & B C, quantum
est duplum ejus,quod fit ex C B in D B,RectangulL PROBLEMA a. PROPOSITIO XIII L
Dato Rectilineo aequale Quadratum describere.
sit datum Rectilineum A B C D , cui aequale Quadratum d scribendum sit. Constituo Parallelogrammum Rectangulum
138쪽
E F c H, aequale ipsi A 8 c D Rectilineo , per quadragesimam quintam Primi. Cujus s latera fuerint aequalia , id ipsum erit
quale voluimus. Sin miniis,eon tinuabo vn um laterum ipsim, ut H G d punctum K: & ponam G κaequalem lateri r c. Diu dam postmodum totam HK bifariam,
In puncto L. Atque in ipso L posito Centro , describam super
nec secet Semicirculumani puncto M. Dico uaradratum Litaneae a Messe aequale Redulineo A BC D. .
Connectam Et quia linea H κ diuisa est aequaliter In i,& inaequaliter in G: erit, per quintam hujus, quod fit ex ti cin G K cum quadrato GI , aequale madrato L κ :. ob id , quadrato L M: quapropter duobus Quadratis LG de G M , per quadragesimamseptimam PrimL Dempto ergo utrimque quadrato L G rerit quod fit ex HG in si x sid vero est Parallel grammum E G)aequale Quadraro G M. Quare & Quadratum c M aequale Rectilineo AB c D: Quod siciendum fuit. Hoc etiam loco addere placuit e x Campano, Compendium inueniendi lateris Tetragonici: ad eas Figuras,quas v
cant irregulares,aequandas. Sit Figura quaepiam anormis, AB C D , quatuor laterum: Quae in terna Triangula resoluetur ABC, AEC&ECD. Haec tria, secundum doctrinam hujus,reduco ad tria Quadrata et quorum laterasiat, verbi gratia F G , ν Η, MN κ. Tum statuo F G & p uia angulum rectum F:& connecto G H: super quam erigo H K , itidem ad angulum rectum c M K: Et connecto G Κ.Et erit G R larus Tetragoni quae filii vetitis mani sestum est ex Propositione illa quadragesimaseptuma Primi. rIn Figuris autem Regularibus , quae in Triangula aequalia resoluuntur, compendium multo promptius est. Expedite e nim ad unum Parallelogrammum Rectangulum reducuntur, o x inde
139쪽
ALITER. Conuertantur singulatim Triangula in Paraulelogramma Reetangula, quae unum Parallelogranimum Efficianu. ,Verbi gratia, reducatur Triangulum A B C ad Parallelogrammum Farix Rectangulum, per quadragesimamsecun-' u ' i. ω dam Primi. Tum super linea H x constituatur Parallelogrammum itidem Rectan-' gulum H x L M, aequale Τria-gulo Ac B, per quadragesimamquartam ejusdem. Demum, per eande, super linea L M constituatur Parallelogramum L M N O, aequale Triangulo C D E. O i. Eritq; F G N o umim Parallelogrammum, per quadragei simamquintam Primi: atque aequale toti Figurae Rectilineae A B C D E. Quod, per hanci . ,. Vltimam, conuertes in Qua
140쪽
AEquales Circuli, sunt qu inii Diametri sunt aequales: vel quorum quae ex Centro lineae, sunt aequales.
Quum Circuli peripheria infinitatem prae se ferat, Circuli dimensio a Peripheria non petitur, sed a linea recta, nempe a
Haec vero Definitio ex se clara est. Nam quum Diametri .er Circulorum Centra educantur, & dimidium orbium semper subtendant: si sint ipse aequales, ab iisdem quoque dimia dia aequalia subtendi par est. Quorum vero dimidia sunt aequalia,ea inter se sint aequalia. Vr, AEquales quidem simi A& a Circuli , ob aequalitatem
c Circulo: quum minor sit hujus Dimetiens. Sed & aeque significans est & manifesta altera pars Definitionis, vel ex ea quam in Principiis Libri Primi posuimus, Circuli Definitione.