장음표시 사용
152쪽
Si a puncto intr3 Cisculum signato, plures quam duae aequales rectae lineae ad periphetiam ductae fuerint : punctum allud erit Circuli Centrum.
Sit punctum A, signatum in Circulo B c D: sintq; tres rectae lineae AB, AC, NAD, ad peripheriam edyetae, aequales. Dico punctum A esse Centrum Circuli. Connectam enim B e& c D : Quarum veramque diuidam aequaliter: illam quidem in puncto a , hanc vero in puncto s. Et ducam A E & A F : quas utrimque Pr ducam ad peripheriam CircuIi. Eritq; Triangulorum ABE&AC , teriae angulus qui ad E, aequalix: ob id, uterque rectus.. Eadem ratione uterque angulorum qui ad Grectus. Et quia A E diuidit B C per medium: & a 3 itidem n cper medium : utraque ipsarum transit per Cenerum ex Consectario prii huius: Quare, quum utraque occurrat' alteri in puncto A: erit ipsum A Cenuum Cniculi: Quod erat probandum. '
A L 1 Y E ab impossibili. Sit x , si M-possit , Centrum Circuli et ea quo: per
punctum A, ut1imque extendatur linea a ad punctar &G peripherae : ut si FG Dimeriens Circuli. Eritqμ, per septu mam hujus, A G maxima: & maior a n
Circulus Circi qm in pluribus quam duolnas pur
153쪽
E L E M E N T. E U C L I D I sSecet, si fieri possit, Circulus A B C.
Circulum D B p in pluribus quam duobus pi)nctis , ut in A, B, D, & G. Et Comi unliae AB&BD, secentur aequaliter in A quibus H&Kpuntiis , excitentur perpenaiculares H c di x E : quae . extendantur virlinque ad C.& M, puncta peripheriae D E F:secenti inter se in L puntio. x Et erit , per Coniectarium Primae hujus, punctiam L Centrum utriuique Circuli, hepugnante quinta Husdem. ALITER. Secent se, ut prius,duo Circuli in punctis A, B,D, G. Et,per Pri mam hujus, ponatur H Centrum Cir- culi Anc. ' Et connectantur tres H A, ' H D , & H C : quae ex definitione Centri & Circuli , erunt aequales. Et quia a P cxeunt ad peripheriam utriusque Cir
a με tiplic, ,q Si, irculiis Cir iunx, iae lintrorsum, siue extrin- .secus,tangat: per Centra utriusque duci a linea,in con- iactuli ipsorum cadit.
rici. sin L. ἐψu8 mar Circuli ABC& DE ν sese A. Dico Centras cadere in A punctum. 1 Sin minus , cadat aliorsum: sitq; a Cencrum Cir li'A B c. , ex prima-hujus : dc H Centrum Circuli D E F. Tum
peripheriam interiorisClaculi in puncto
154쪽
'LIBER III. Icto D: exterioris vero in B. Et ducantur G A & H A. Et quia per vigesimam Primi, C H & Η A maiores sunt G A : erunt & majores C B. Communi igitur ablata C H: erit H A major HB. Sed N Daequalis est ipsi H A : utraque enim e Celitro Major igitur est
AM 1 T E RI Produm tur D Had punctum F peripheriae D E F. Et quia d est extra Centrum H in Diametro Circuli D E F : maior erit C D quam C A , per septimam hujus. At C B est aequalis
. lam vero si duo Circuli se extrini secus tetigerint:d Catur,ur prius illic nea C H per Centra iam polita a &Hi secans ambas peripheria in duobus puniis B & D: Et connectantur
- ' Eruntq , per vi gestinam Primi, duae G. A R H A majores C H. Quapr*pten& duae c n& H n majores a B : Quod est falsum.' i ΑL r T E D. Sint duo Oreul II 8 C sese. t trinsecustari iste, Ilii pii ricto A': sitq; Circuli A BC, Centrum G, vi prius: A quo percontactum Circulorum producatur G A linea, ad punctum P peripheriae D E F. Quae 'quia negatur transire per Ccntrum ipsius D g ν Greuth diicatur ab eodem centro 6, at,
D g p fignaro , ducitur C an-fiens per Centrum: r& altesia nisu i Et Cistrum trati sens,c F: minor erit pars Him taletis en is patre huthbeythAbritoruper octauam hujus. Sed G A est aequalis G B.c D ipsas B,totii ni parte di Quod est absurdum. A N c posteriorem patiem probauimus ex octaua hujus..scue priorem ex septiesa : & sane commodius. Plior enim sinatio & si ex arte M. tamen non' facile accipitur : Neutrum erilia Eenerorum in suoloch eon filiit. Caeterum ex his duabus Theonii , unam secimus f quod tam
155쪽
Circulus Circulum non tangit in pluribus punistis
uno : & si introrsum, oc si extrinsecus tangat.
Nam si fieri possie, rangat Circulus A B C O , Circulum A B Eptius introrsum in duobus punctis Atas; post extrinsecus, tangat Circulus AE BA', Circulum ACBD in duobus A & a punctis. mum itaque in priori constructione du-A 'xerimus Iineam rectam ab A ad n , si ipsa ceci- detit extra Circulum A E E interiorem: id erit s r n contra doctrinam secundae huius; Si vero ca- Py dat intra ambost quum diuiserimus ipfun aeta: qqAliter, vi in F , Meduxerimus inerpendiuu-ilarem transeuntςm per F ad utramque peri-phetiam: ipsa transibit per 'triusque Centrum, ex Consect rio prima huius: repugnante sexta ejusdem: immo & antec
dente: quum non cadat in contactum ipsorum.. e i V EL sic Sit exterioris Circuli Centrum. Fr interioris vero Centrum G. Et linea applicata ex F in G, si protrahatur, exibit, per ψ tae priorem partem antecedentis , utrimquς δε ad duos contactus A&B. Eritq; FA aequaisi ipsi ε B: e Centro enim ad peripheriam:
156쪽
L l B E R . . 1 I I. I a snt ducatur linea recta a Centro unius ad Cenim terius. que haec, per antecedentem, transihil peri punctum c & p punctum D. mod fieri non potest, ne duae lineae rectae inci
Potest etiam duci linea recta a Centro ad Centrum: Quae tres rubit, verbi gratia, per C,alterum
Contactuum: ex antecedente. Actum connexis a D & H D . fiet, Triangulum,cuju duo latera a n&HD non erunt majora latere o c u , cotura Hysimamra . THEOR EMA : ti, . PROPOSITIO XI I.
In Circulo, si rectae lineae aequaleciu erini tria Centro aequaliter distabunt. Et si a Centro aequaliter disti
terint: ipsae erunt aequales.' i i In Cit lo esse rectae lineae dicuntur, quae adPeripheriam
Sint in Circulo a B c D , ju Centrum a , duae lineae Aa Bec o aequales. Dico ipsis a Centro aequaliter distare: Et contra si a Centro aequaliter distent, Ipsas esse aequales Ducam a Centro lineas E F & E G, persendiculares ad A B &c D. Eritq; . per secundam partem tertiae hujus, A B aequaliter diuisa in F :&coaequaliter incipuncto. Connectam postmodum E A, E B, E C, & E D.' Et quoniam duo latera AB&A E,Trianguli Aa a, sunt aequalia duobus lateribus o D & c E , Triangulic E D, & basis E a, basi E D: erit, per octa uam Primi, mus B aequalis angulo C. Quum itaque duo latera A E & A F, Trianguli Aa p, sint aequalia duobus lateribus c E & C G,Trianguli C E Ga erit. per quar-
-MPqmἰ,basis . 3, irasi a c aequψs: mae quum sine perpen- , dicu
157쪽
Α Li r si se . . Quadratum ipsius A E est aequale Quaὸratis duarum A F&EF, per quadrages inani septimam 'Primi r Et adlatum Ue; 'per eandem, 'aequale inadratis CG & Eci. Atqui Quadratum λ gen aeqlia Ie . biadrato E C. Erunt igitur Quadiata duarum A p & h p aequalia Quadratis duarum E C &E G. Demptis itaqne aequalibus A F & C G, supercrunt duo Quadrata 1 r de E et aequalia. Q iaprstpter ipsa: E F & E G lineae,sunt aequales ob idq; A B & C h, per Dc finita onem aequaliter distanta Censeor MEst prius tiri ori P , Iam .eoinquitur est A BR QDl aequali x distant a Centro, ipsas esse aequales. Nam quum Qu*drata duarum E F & p C sint aequalia : ipiis ablatis , sui rerutri Quadrata duarum A F & C ciaequalii: ob id, & ipsae Equales. . int igituba B N C ri aequales, quum earum dimidia sint aequaba:Qu id fuit demonstrandum
um Ccntro conne an rur ext semitates omnium , auctis
ε si E si h d, Ehρή H, & E E. Et inti; per vigesima in Primi, duό . . . lateras F-E G . Trianguli E Fu, maiora tersio, Gj x τ quum unt aequalia ipia ''ersL A D maior g C. Eademq; ratione, i major quam unaquaeque reliquarum , si ipsae pόn alitur baIςs Triangulorum: vini bina quaeque latera e Centro exeuntia,
b' snt Us A D aequalia : Quod est prius.
158쪽
LID B E R . . III. .I iangulus E E G maior angulo H E K : em per vigesimamquartam Primi, basis p c major basi HK. Haud dissimili ratione erit A CmMor quam A B. Sim; paret tota Promsitio. .
Quae ab extrema. Cisculi Dias tro perpendicularis ducit'r linea, extra Circulum cadit:Nequcjnt ipfiniti peripheriam altera recta linea capi potest. Et Semicirculi angulus omni angulo acuto rectilineo major
159쪽
18 ELEMENT EUCLΤDIs est filium. Quare, inter A E & peripheriam nulla linea reta imtercipitur: Quod emecundum. . Postremo, Dico angulum c a B , qui fit a Diametro
Semicirculo A B C,majorem esse omni angulo acut' rectilineo:& E A B eodem minorem. Ea enim c A E rectus: ob id omni acuto major: constatq, duobus E AB&C AB mixtis angulis. At v rq inter E Amna, nivia recta linea capi potest, ut modo probauimus. Quapropter, quum E A B diuidi nequeat per lineam instam : erit minima pars quae a recto possit auferri, & c Aa maxima. Omnis enim angulus Rectilineus per aequalia diuidbturi ex nona Primi. Ac sic constat tota Propositio.
Reista linea ab extremitate Diametri perpendicula ris, Circulum tangiti id in uno puncto. '
Nam si In duobus punctis tanPr,ipsi intra Circulum cadet.
per secundam hujus:Quod modo improbauimus.' v M. vero hujus Theorematis caput postremum attentius considerareis, mihi sane in mentem subiit prima specie, Geometriam non satis sibi constare: immo adeo,repugnatiam in se admittere... Primum enim extra intelligentiam est, ut Inter Quantit 'tes minima dari possit: qualem hoc loco angulum, quem dicunt Contingentiae, seu rectius, Contactus, minorem omni acuto Diuimus Nihilo' magis conuenit,ut maxima Quantutas detur: qualis in angulus Semicirculi omni acuto rectit . neo major ponitur. Quantitas enim eo nomine Quantitas
est,qu patribus cqoster: & secundum eam aequale & inaequa- 'la dicatur. antitatumiis Continuae in infinitum sectio est. Atque adeo, quum in phimaris 'opositionem Decimi incIdis.. sim, turn inagis anxio expendere coepi quonam pacto conculiati misset tam aperta , ut appMebat, repugnantia. Sic enim habe prima Decimi,
160쪽
L I B E R I I I. IasVerbi caussa, Sint duo anguli, Aquidem rectilineus,& B C D , angulus si modo sit angulus contactus: vult Prima Decimi, ut .s auferatur ab angulo A, majus quam dimidium , ac
rursus a reliqua parte majus quam dimidium: sicq; continuo ex residuis partibus majus quam dimidium: tan- de relinquatur minor angulus quam . A c D. CuJus demonstrationem hic non appono,quum ex sequentibus pendeat. Nulla tamen in tota Geometria Propositio est, quae ut sic dicam magis naturaliter vera sit. Quod ex Numeris in quibu, rerum omnium imagines j luce clarius euadit. Quis enim non videt, propositis duobus Numeris 8 &2, quum ab octonai io majus quam dimidium abstuleris, ut quinarium : tum a ternario rcsiduo , majus quam dimidium,ut binarium : relinqui unitatem, posito binario minorem Neque vero ad rem facit quod Campanus illic excipit, Propositionis sententiam de quantitatibus ejusdem generis esse intelligendam. Haec quippe conciliatio nulla est: quin etiam
menti Euclidis contraria, ut nos, quum illuc ventum erit, manifestum faciemus. Immo & ipse Campanus secum pugnar, quum in secunda Duodecimi demonstranda , aliisq; Propositionibus nonnullis Solidorum, ipse a Curvo Rectum aufert. Nos igitur hanc dubitationem sic expediemus: ut disamus
lineam rectam,quae Circulum tangir, cum peripheria angulum non efficere : scilicet a C D nullo modo angulum dici debere.. Omnis enim angulus in sectione consistit, non in contactu. Et ubi cessat sectio,cessat quoq; anguli serma. Atque, ut uno verbo dicam,In Decussatione i Decussatione hoc loco & Sectionem fine discrimine accipio omnes angulorum species perficiutur. Duabus enim Iineis A a & C D se scindentibus in puncto E ad angulos rectos , intelis ligatur c D sic moueri in orbem, scilicet sua Per puncto Efixo : ut ex C D fiat pa : hinc sane ex recto angulo A E c , fiet obtusus