장음표시 사용
161쪽
gillus obtusior fiet H E A , inde vero acutior Κ E A : sicq; eontinuo, donec peruenerit ad AB, & intra eosdem terminos conia cludatur cum ea. Tum enim immersa, ut sic dicam, linea c Dio lineam A s, evanescet angulus.
Neque diuersia ratio est in Curvo. Sit enim in Circulo A B C A : cujus Centrum D, linea D S praeteriens peripheriam,&secans ipsam in A puncto fixo. Super quod circumducatur ipsa D E per puncta F,G,H.Tum fient anguit continuo vari j cum peripheria in ipso puncto A : donec , cellante decultatione , linea E o facta sit E x , & tangat Circulum. Ac tum linea D E non jam . inclinata intelligitur, sed i inmersa in lineam BAC, quam sim ad angulum attinet: non aliter quam si B A C citat litica recta. Neque contra facit, qnod diducantur lineae, faciam qi spatium C A K. Nam id sola A C linea essicit, quae iectam rcfugit: sed camtamen in puncto A amplectitur, inam igitur omnis angulus in pluribus punctis non consistat quam vno : fit ut pulictum A,tam sit in optum angulo constituendo, quam modo erat punctum sectionis E, linearum rectatu in. Fortasse dices punctum A lincae rectae manere in suo recto: punctumq; A peripheriae, in suo rotundo : neque vir unique esse idepunctum: sed lineas se ramum inter se veluti lambere, quia altera alteram penitiis omniq, puncto refugit: ut contraria contraposita , fiant manifestiora. Id vero sensus non recipit. duo nim Circuli sese ex rerius tangentes, rectam lineam interm
diam illibatam relinquerent: scilicet, si intelligeremus Circulum qui in puncto A tangeret ipsum A B CCirculum exterius: quod non patitur linearum natura. Sed demus id fieri posse: ut nihil in cogitationem cadat, quod semel uspiam Geometria non repraesentet. Illud tamen minime urgebit. Immo tanto minus contactus linearum erit angulus: Hiabit enim utrimque ipsarum concursus. Sed nos haec Geometricis rationibus confirmemus, pet Theoremata. Contactus duorum circulorum interior, non est
Sit enim Circulus A F B A, cujus Centrum C, Diameter vero
162쪽
LIBER III. A B: per cujus extremitatem A, ducatur linea D E ad angulos re- ctos. Et constat, ex Consectario huius Decimaequintae, linea D E contingere ipsum A F B A Circulum:ac propterea D Ap esse minorem omni angulo acuto, ex ipsa Euclidis sententia: scilicet per ultimam partem hujusce Decimae quintae. Iam vero inter puncta o & B, suscipiatur in Diametro A B , Centrum C:& spatio CA,describatur alter major Circulus Λ HKA. Dico P AH non esse quantitatem. Constat quippe Circulum A H K A transire inter rectam D A& curvam A F : quum sit Semidiameter C A,mMor Semidiametro C A. Manifestum quoque est, lineam DE tangere ipsum Λ HK ACirculum,ex eodem hujusce Decimaequintae Conlectario : ac propterea D A H esse Ommi acuto minorem. Describatur tertio, secundum ma)us spatium LA,Circulus A M N A. Et erit, ex eodem Consectario, DAMomni acuto minor.Sicq; in infinitum,prunt omnes contactus quos efficiet linea D E cum Orculis ductis per A punctum, quorum Centra in A B linea,minores omni acuto Rectilineo: ac sic omnes mquales si modo aequalitas inter non quanta dici possit). .apropter contactus DAM, erit aequalis contactui D Λ F:ficiq, ut M A F , contactus interior Cireulorum. , neque augeat neque minuat contactum D Λ M. igitur M A F quantitas non est:
Quod erat demonstrandum. S E D & probabimus contactum Interiorem Circulorum, quantitatem non esse, in hunc modum. Nempe quum omnes Circuli sint Similes erunt & Semicirculi Similes: Quapropter anguli qui fiunt a Diametro & per pheria, in omnibus Circulis sent aequales: per Conuersam D finitionis Similium Sectionum : s nam ab hac aequalitate angulorum non excludentur anguli mixti. Erit igitur angulus B A F , aequalis verique angulorum K A Η & N A M : Ac propterea cotactus rA Mnihil addit ad angulum B A F. Quare F A M quantitas non est: Quod filii demonstrandum. Hinc sequitur alte-
163쪽
Contactus tineae recta cum Circulo, non est. Manente enim eadem construmone , si D A F sit quantitas: ipsa utique diuidetur per lineam rcctam, aut per obliquam. N in per lineam recta,repugnante ultima parte hujus Decimaequineae neque per obliqu*m,ut per lineam A M:esset enim FA upars ipsius o A F: A t qui F Α M quantitas non cit,ut modo probauimus. Non est igitur F A M pars iplius D A F. Igitur D A F neque
per lineam rectam neque per obliquam diuidi potest. Quare D A F quantitas non cit: Quod erat probandum. Hinc exurgit tertium. Contactis duorum circulorum exterior , qu4ntitas non est In eadem constructione, protrahatur B A Diameter ad punctum p. Tum Centro P, interuallo autem P A. describatur irisculus A M. Langcns icculum A BF A exterius in puncto A.Dico contactum B A Q non elle quantitatem. id vero man fultum est ex posterioli Uemonstratione. Nam neque per lineam o ii quam diuiditur: quum FAM non sit quantitas, pcr primam harum : neque per rectam , quum neque D A F sit quantitas, per secundam earundem : neque D A quantitas,per eandem. Quarc.quum F A Q.partes nullas habeat, quantitas non erit: o Q c rat piobandum. Ex his emerget hoc Pronunciatum, quod in Geometria nemo hactenus admittendum cilc cogitauit,
Onguli quisiunt . Diametro se Peripheria ,siue intra siue emtra Cιrculum, rem sunt, ct rectu remoneu aequales. Vt in poste ii ore Figura , angulus a AF aequalis est angulo 3 A D : quum ipsi nihil accrescat ob contactum D A F , qui quantitas non est :-ob id inA p rectus est,& aequalis ipsi D A p,quum D A Mawhil addat: Quod crat probandum. Atiuic, ut ra 'iones quoque philosophicas imm6 quae Phil sophiae pars in Geometria non latet in Geometria is speculati nibus immisceamus: Circi, ius ipse omnia in se recipit , ob sui persectionem. Quumq; sit omni ex parte ab Iutissimus,indignum sane est ut ipsum Recti mininae capacem esse putemus. ι verissime Plato lineam quae Circulum constituit,rectam CC
164쪽
L I B E R I II. se dixe te, non secus quam eam quae a puncto in punctum breuissime extenditur: cisi illam , distinctionis gratia , obliquam
Hi s ad hunc modum demonstratis, facessent a GeometrIa Paralogismi, qualis imprimis ille est peruulgatus, quem huc
asscit Campanus. Datur, inquit, angulus major angulo B A F, di minor eodem : neque tamen datur eidem aequalis. Id vero ex superioribus refellitur: Nihil enim majus neque minus eo
quod quantum non est, dici debet. ln Numeris quidem id accidit. Datur enim majur Numerus quam 8 ut 3 : & datur minor eodem , ut 2: neque tamen aequalis ci dem. Sed qua latitatis Continuae, quam Discretae,ionge alia est natur.i. Continuorum enim in infinitum sectio est: Discretorum non item: d8e ratio vocabulorum indicat. Nam in continuis nihil vaca. nihilq; intermittitur. in Discretis vero omnia nominatim deducta sunt. Vt, verbi gratia, bis quatuor seu octo. Arithmeticὶ quidem in Quadratum euadere non possunt: Geometrice v ro maxime. Nos autem ex hac Deirionstratione quam latum ad Geometriae abdita pervestiganda patefecerimus cam
Pum , aliquando, Deo juvante, notum faciemus in proprio libello de Quadrato & Circulo: & dubitationes, quae huc Co tra adduci possunt, diluemus. Dilsoluetur & ille Paralogismus a Cardano propositus libro
Subtilium decimo sexto. Aliqua quantitas,inquit potest continue, atque adeo infinite augeri, altera vcio infinite minui: Et tamen augmentum illius, quantucumque euadar, minus sem-Pcr erit decremento hujus. Verbi causa, Sumatur angulus rectilineus A a C: & dulcribantur duo Circu, It D E F D S: D G H D, sese intrinsecus tan- , gentes in puncto D : quorum Centia runt in una Diametro D F. Tun angulus E D G Circularis, poterit infinit cau
IHie minores per punctum contactus D, quorum Centra sint in DF Diametro. Αrangulus a B C rectilineus poterit in
finite minui . per diuisones qualas r 3 docet
165쪽
I34 ELEMENT. EUCLIDIS docet nona Primi: ut hic in A B N , post in A B M atque haec binaria diuisio satis sie) . Et tamen angulus Circularis, au-- gendo nunquam euadet aequalis angu- lo rectilineo decrescenti: ut hic angulus
E D Κ, minor omnino est angulo A B M:
ὶ Et si plures ducerentur Circuli, etiam
infiniti: nunquam fieret angulus con- I tactus tam magnusquam angulus AB M,
immo quam eius pars millesima. mod
pater,inquit,ducta linea O p contingen-ν te. Angulus enim o DK minor est omni angulo acuto re stilineo : quare E D Κ multo minor erit. Hactenus ex illius sententia.. Cui sic respondemus, A E c quidem angulum infinite minui posse: sed E D c augeri posse, id vero inficiamur. Demonstrauimus enim E D Knon esse majus E D G. Atque haec minime cohaerent, o D G aequale esse Ipsi o D κ,sicut & ipse ibidem astruit:& E D Κ maJus esse E D C. Nam si O D G aequale est o D κ : nihil utique addit E DK ad O DC: ob id ,neque ad E D G. Quare G DK, immo E D K majus esse non potest quam E D C. Sicq; euertitur sillacia. Ploponit ibidem Cardanus ex Apollonio & Rabi Mose, de duabus lineis in eodem plano existentibus, quae protractae ad angulum tendere videntur, propioresq; inter se iamper fiunt: Et tamen magno, ur ipse putat, miraculo , nunquam concurrunt retiamsi in infinitum protrahantur. Quod etiam obiter adnorauerat Georgius Valla ex Gemino, Libro primo suae Geometriae, Cap. LIX. Est post hunc Caelius Calcagninus, ad Iacobum Zieglerum scribens,ex cujusdam obseruatione cujus nomen retices. Hunc autem paralogismum suo loςo dis solvemus. Sed quur Inuentum nostrum disseremus quum iam nunc in praesintia quod pollicemur magna ex parte praestare possimus Nos enim ut maxime conticendum aliquid duceremus, alia certὶ habemus solidiora&utiliora: nisi quod captiosas 'Propositioires refellere, non paruam habet utilitatem quae in id tempus seruabimus, dum integrum Euclidem offeramus.
166쪽
Sit itaque Circulus AB A, cujus Centrum C, & Diameter A B: Sitq; linea recta D E Circulum tangens in A puncto. Tum 'inter duo puncta C & n Diametri, suscipiantur plura centra ac nunc quatuor suscepiste satis sit) H κ,L,M: super quibus describantur quatuor Circuli, A N A, Α P A, A MA, M A R A, transeuntes inter D E rectam & A B A peripheriam, seq; inter se tangen - ε teS interius in A puncto. Et manifestum est, horum quatuor Circulorum peripherias paulatim , ic, ut noue loquar, punctuarina propiores fieri ipsi rectae o E. Sumatur igitur punctum s in peripheria Α N, proxime Apunctum. Post in peripheria A P ponatur aliud punctum,quod propius accedat ad ipsam D E quam punctu s: quod quoniam sua nota commode signari non potest, vocetur punctum secundum. Sit deinde in peripheria A aliud punctum, quod propius sit ipsi meto ε, quam punctum secundum : dicaturq; punctum tertium. Demum in peripheria a R, sit punctum propius accedens ad eandem D E quam tertium: atq, hoc nominetur punctum quartum. Sicq; continue , si intelligantur Circuli duci per contactum A , prioribus majores , quorum Centra in A B linea: eorumq; puncta singillatim propiora lineae D E. Tandem per haec puncta, nepe primu,secundum,tertium, ει quartum, & si qua essent plura, ducatur linea s T. Quam manifestum est paulatim semper accedere ad D E, non secus quam Circulorum puncta per quae ipsa educitur: & ramen nunquam Conjungi polle cum ipsa DE: etiam si lineae infinite protrahantur. scilicet si infiniti ducantur Circuli. Quotquot enim
ducentur, in unico puncto A tangent lineam D E : ex hac Dc- Cimaquinta. Constat igitur lineam s T , utcunque accedat ad lineam D E,cum ea tamen nunquam conuenire posse. Atque
hoc idem intelligi volo in alteram partem de linea V X, Addicos, Video quidem Circulos omnes unico
tio Geometrica admirationem tollit: facit , ut magis mirum
167쪽
ν3ε ELEMENT. EVCLIDIS non sit de linea quam de Circulis ipsis. Totu igitur ad Circuluxefertur, modis omnibus mirabilem. Tam enim mirum videri debet propius intuenti, peripherias Circulorum, ut hic AB, R N, A A R,semper remoueri, longiusq; discedere a puncto A: & tamen suo ipserum ductu in ipsum A redire: quam lineams T ad rectam A D semper accedere, eam tamen nunquam attingere. Ob id mixta linea dici debet ex recto & Circulari: ac Propterea inter utrumque perpetuo consisti r. Desinet igitur mirari, qui Circuli formam, rationem, naturam, & constructionem perpenderit. Atque ejusmodi Lineae constant infinitis lineis in se quodammodo recurvis seu refractis. Sed quum Circuli per A ducti omnino contigui propter infinitatem intelligantur: hoc loco s T vix aliter sensui quam pro unica linea obhcitur. Neque dubium est quin ipsa ex earum sit genere quas ex Appilonio proponunt fac tale est in Solidis latus Hyperboles,ut illic docebimus):at certe nullo modo recta, quod putabat Calcagninus : sed linea uuaedam anormis, cujus non sit mirum neutram esse naturam. Verum nos haec ad Corporum materiam teponimus, ut ad Circulos reueitamur. PROBLEMA ,. PROPOSITIO XVI.
A puncto extra Circulum signato, lineam ad Cir
Sit punctum A extra Circulium B C D,cujus Centrum E, Volcha puncto A, ad Circulum B C D, lineam contingentem ducere. ipsi a Centro ac punctum A, duco rectam E A , secantem Circulum in puncto D. Tum super eodem Centro E , secundum interuallum E A, d scribo Circulum AF G. Et a puncto sectionis D,excito D F perpendicularem ,. quae secet 2 - extetiorem in F. Et connecto E F, siccanum seculum, interiorem in B.. Ac Postremo connec o R
168쪽
L I B E R I m: i icto A B.Dico A B esse quae contingit Circulum B C D. Sumptis enim duobus Triangulis A E B 8c F E D , erunt duo latera A E & E B illius,aequalia duobus P E N E D hujus:& angulus Ε viriq; comunis. Basis igitur A B per quartam Primi, basi F D aequalis:& angulus E B A, angulo E D F. Sed angulus E D F rectuse quapropter & ε 3 A rectu . Ru re,per Consectariu antecedentis,A B linea cotingῖt a g o Circulu:Quod erat demonstrandu . Si C quoq; demonstrabimus exercitationis gratia.Ducta linea A E,inuestigo quantu possit A E supra E D per ea quae demostrauimus ad quadragesimam septimam Primi: & sit linea r a.
potentia A E supra E D. Iam vero ex A Elinea data, & ex duabus quae sint ipsis E DF G datis aequales , conficio Triangulua B E per vigesimam secundam Primi. Et E B omnino desinet in peripheriam ex definitione Centri: Eritq, angulus AB Erectus per ultimam Primi. Quare AE continget Circulum: per Consectarium antecedentis: Quod earat probandum.
Sit linea A u. secans Cir Ium A B c, cujus Centrum D , in punctis A & a. Volo ipsi A a parallatum ducere,quae tangat Cir-
Diuido A a bipartito in puncto E. Tum
per E punctum &per Centrum D , duco Uiametrum C q E F. Duco postmodum c FH lineam ad angulos rectos ipsi cp Di metro. Dico G F H, quae, per consectarium decimaequintae, tangit Circulum, esse ipsi A s parallelum. Nam quum recta C F in utramq, ea n
faciat omnes angulos qui ad E rectos, per tertiam hujus: seiq, duo liguli qui ad F positi recti: erunt A a-G H paralleli, per vigesimamnonam Primi: Quod erat demonstrandum. Haec aut Figuras Circulis inseribendas percommoda. s THEO
169쪽
Si recta linea Circulum tangat: a Centro ad contactum ducta recta linea, erit tangenti perpendicularis.
Sit linea A a , tangens Circulum CE D. Cujus Centrum F, in puncto E. Et a Centro F ducatur linea F E. Hac dico esse perpendicularem ad A R i Quae i1 noti fuerit: sit pa ad Aaperpendicularis, secans peripheriam in c.Qtiumq; angulus E G F sit rectus, erit in Triangulo R F C , latus E F m jus latere FG, per Decimamnonam Ptimi mod est falsum quum sit v c ipstr s aequalis. Probatiit haec a negatione,in modum Conuersarum. Est enim conuersa Consectath Decimaequintae hujus.. THEOREM A ic, PROPOSITIO XVIII. 6eoni I9.
Si Circulum recta linea tangat: a contactu perpendicularis deducta, per Centrum transir.
Sit linea a B tangens Circulum C D E .in puncto C: A quo demittatur C E perpendicularis ipsi A B, ad punctum E peri-phetiae. Dico C E transire per Centrum. Sin aliter: sit Centrum 'extra' ipsami l CE, Vrin F , punctor A quo ad punctumo; n c, ducatur F C γ quae per antecedentem, erit perpendiculuis ad A s: id. angu- . lus Λ c F,
170쪽
In Circulo, angulus qui ad Centrum duplus est ejus qui ad peripheriam , quum Vterque super eandem peripheriae portionem constiterit. , .
In Circulo A BC,cujus Centrum D, sit angulus A die ad Cetriam, angulu, vero ABC ad peripheriam : quorum Vrerq; super eandem peripheriae portionem A C consiliat. Dico. angulum Λ D c duplum esse anguli A B C. Aut enim neutra duarum A B, & C B, neutram secat duarum AD&DC: Aut altera illarum,altera harum: Aut deniq; alteraliarum in altera est illarum. Ac primo neutra duarum A B & C a, neutra secet duarum A D & c D Tum per pustum D ducatur linea B D E. Eritq; per trigesimasecunda Primi, angulus A D E aequalis duobus angulis A a DNE A D,interioribus oppositis. Qui quii sint aequales, per quinta Musde: erit ipse A E D duplus anguli A B D. Eadem ratione erit angulus e DE duplus anguli C B D. Torus igitur A D Cduplus est totius A B C: Quod fuit ostedendinQuod si altera illarum , ut AB, secet alteram harum, ut C D : tum ' producta B E , fiet angulus E ' c duplus anguli D BC, per trige- sitfiam secuis dam Primi. Dempto igitur E D Α
j qui duplus eis anguli DBA', a toto E D cr deptoq, 6 B A a toto D B C:erit reliquus A D C,
reliquo AEc duplus: Quod erat probandum. Si vero altera harum , yt AD , sit i te rasilaium, ut A D s sit linea una: rum angulus ι . ιι:i i A DF in ili4 sto stir, duplus angulis .iper. c. , al, qui nciri si secundams erat demonstrandum.