장음표시 사용
171쪽
I o ELEMENT. EUCLIDis Hoc loco annotauit Nicolaus Tartalea sequentem appendicem. Quam nos in Theorema redegimus: & aliquanto breuius demonstrauimus ex hac Decimano .
Siseerint Go suarum πο- ad Centrum , alter ad ρον, pheriam, is ambo una recta lin subtend nsur : erussarium ci ea a lum, qui ad Centram,comprehensum, duplum anguli qui ad periphenam. Maneat angulus A D C,ut modo, ad Centrum : & constituatur ad peripheriam A B c angulus ejusdem appellationis A B QEt per Cepitum D ducatur linea B D E , secans peripheriam in x puncto E. Dico duos angulos A D a & c D Esimul sumptos duplos este ad angulum A B C. . Id vero patet ex hac ipsa Decimanona.Naa D E angulus ad Centrum, duplus est angulii A s D : quum sint super eandem peripheriam Λ E. Eadem ratione. c D E duplus est ipsius A i C BD. Quare duo anguli A D E & c DE simul
sumpti , dupli uini ad totum A a C angulum: Quod erat osten- dendum.
' In Circulo, qui in eodem segmento sunt anguli,in-.
-ter se sunt aequallas. In segmento A D a , Circuli a B c D , cujuse' Centrum ν ,sint anguli λ CB, AD B ,&A EB. Dico omnes esse aequales: Connectatur Aae. Ac tum si duae linea , rum aliquae se in Centro secente erit manifesta proposi tio ex antecedente. Erit enim angulus A F s, duplus ad unumquemque illo rum squapropter ex animi Moesone, ipsi inter se aequales.
I inlod si non se secuetuit, tum duetis A s & a F , idem statim
172쪽
L I B E R' I I s. 4 24 si vero fuerint in minori segniento At in A E Brtum connexis A F & B F : atque item ductis lineis ab unoquoque angulorum , per Centrum ad peripseriam stile vero satis fuerit duxisse a r c :ὶ erit votum spatium circa angulum F , duplum ad unumquemque illo. ruin. Quare ipsi inter se aequales: Quod fuit demonstrandum. ΦTHEOREM A is, PROPOSITIO XXI. Τίν ον ῆς κυκλοις ή ἀπιναν Δ γωνιαε,
Quadrilaterorum in Circulis inscriptorum, duo anguli inter se oppositi,duobus rectis sunt aequales.
Sit Quadrilaterum Asc D, in Circulo ejusdemdesignatio nis , AB C D inscriptum. Dico binos quosque angulos.opposutos, duobus rectis este aequales. i , Ducantur in Quadrilatero duae lineae dumetietes:A C & B D. Erunt'. per antecedentem, duo anguli A B D N A c D, quain eodem segmento A a D. aequalas.Duo itidem ob dec A D,qui in eodem segmcIOB D C, aequales. 6 Totus itaq; s angulus, duobus A cnde cἈ D . aequalis. At duo ipsi A c D dt C A D cum toto D sunt duobus rectis aequales per trigesimainsecundam Pri . Sunt igitur duo a & D,anguli oppositi,duobus rectis aequales. . Eadem argumentatione probabimus duos A-C πposito duobus rectis esse a quales. THEO REMA 1o, PROPOSITIO XXV. 1 I.
super eadem recta linea , dWae Circulorum sectio-
173쪽
nes similes inaequales ad eandem partem constitui no
possunt. ., Sit resta linea A p, super qua constituta sit Sectio A et B : &ducantur rectae a C-B c. Dico super eadem AB non posse constitui ex eadem parte similem Sectionem Circuli, inaequa
Si enim fieri possit, constituatur An BSectio maloi : Et ducantur rectae A D & B D. ἰ Aut igitur neutra duarum A D & B D , neutram secabit duarum A CN B C. Actum erit angulus C major angulo D, per vigesimam primam Pit i. Non igitur erunt sectiones similes, ex Definitione ultima hucius. - Quod si altera harum, ut B D, secet alteram illarum ut A C,& peripheriam mi- . norem in puncto E:connectatur E A .Erst-ὲs que, per decimam sextam Piimi, angulus A E B majoh angulo A D B . exterior interioli. Ob id & κc B, qui aequalis est Αε3,per vigesimam hujus,major eodem AD B. a re nec sic sectiones similes. . . Si demum altera illarum, ut A C,sit pars A balterius harum , ut ipsius a D et erit & per 3 eandem decimam sextam Primi, angulusia. Cmaior angulo D. Non igitur sunt similes
. Ex his vero satis constat minorem sectionem super A B co stitui hon posse ipsi h et B similem. Quare nullo modo sim les inaequales Sectiones super eadem linea constitui possunt: Quod erat demonstrandum. MD: Hl e subjecit Campanus: Super eadem recta linea, nevad eandςm patae' neque ad oppositam similes Sectiones in quales constitui posse. Quod ipse probat ex superpositione, quae mcant, Figur rum. la vero alia ratione demonstrabimus. Circuli portio A ac istu sectio, nihil facio discriminis constituta super A C linea. Ex altera vero parte consti tuatur porti A D C tu per eadem A C , ipsi ι B C similis. Dico A B C de A D c non poci esse inaequales. Sit enim, si possit, majox
174쪽
LIBER' I I I. ' i r sanct&diuidatur Ac bifariam in puncto Er & ducatur recta B E D, secans ad rectos angulos ipsam A C:Et connectantur A B,
Et quoniam maior est A D C portio quam ABC: major quoque erit perpendicularis D quam L B , .r praemonstraulinus ad calcem Definitionum hujus. Tertii. Resecetur ergo E Dadaequalitatem EB :&sit E Fae qualis E B. Eritq; Triangulum A E B aequale Triangulo A E F , per quartam Primi: Et angulus E B A aequalis angulo E p A Ac simili ratione, per eandem erit angulus E B Caequalis angulo E P C. Totus igitur A BC toti in F C, aequalis. Sed ipse A F C , per vigesimamprimam Primi, major est ipso A D c. Igitur N A B C major quam A D c. QiiΗc a definitione,ipsae A B CN A D C portiones, non similes: Quod est contra positionem. Non sunt igitur similes & inaequatus: Quod crat probandum: THEO REMA 'Li, PROPO.SPTIO XXIII.
. Super aequalibus rectis lineis , similes Circulorum
Sectiones constitutae, inter se sunt aequales. i - , Sint duae lineae A B & CD aequales: ac super iisdem constitu ex duae A B e de c D E Sectiones similes.Dico ipsas Sectiones esse
κ Sin minus, Altera illarum alteri superposita, excedet major minorem. B At linea AB est v linea cum CD. Vnde accidet Contra praeceptum antecedentis. r. in 'SED quia hanc Figurarum seperpositionem iandud a Geometricis Demonstrationibus explodendam esse censuisticis r quamuis hoc Theorema nulla fere alia probatione e rei, quam ante dens: tamen hac ratione Geometriea dei
, Quodiim duae A c 3 ει o E O portion , sunt similes, sed
175쪽
non aequales: sit major CE D.Et dividantur duae AB&C D lineae κ . biseria:A B quidem in F.de C D in G puncto: Et erigatur duae perpendiculares o G FC&GE. Et quia voportio, major est: erit quogue o E pe pendicular s major: ut ad finem antecedentis astruximus. Secetur iraque G Em Η, ut sit a H aequalisv c. Et quoniam duo latera A F & F C, Triangulia C F, sunt aequalia duobus C et & G H Trianguli C H C: & angulis & G aequales: erit quoque basis A C, basi C H aequalis: & angulus a C F angulo Q H G ., per quartam Primi. Similiter erit angulus B C F,angulo D Hs aequalis. Quapropter totus angulus A CB, toti angulo GH D aequalis. Sed C H Dangulus , maior est C E Dangulo , per vigesimamprimam Primi. igitur & A C D angulus
major C E D angulo. Quare Sectiones non sunt similes: QAod est contra pofitionem.
PROBLEMA PROPOSITIO XXIIII. leoni 23.
Circuli sectione data, Circulum perficere cujus est
Sie Sectro dari A s . ex qua si perficiendus Circulus. i Ducam in ipsa duas lineas inrtuitas AC& B D : quas diuidam bisariam : A c quidem in puncto E, & A D in puncto F. Tum a duo bus punctis diuisionum, ducam intra Sectionem duas perpendiculares E G & F H : quae sokindam in puncto κ. Eritq; Centrum Cliculi in utraque ipsa rum,per Consectarium primae hujus.Igitur x Centrum:Quod erat uestigandum. Si vero E c & F H non secent inter se, secli sint linea una,vt G H,in secuda Figura : quod
176쪽
L I B E R III. :' - 4 lConsectarium. Neque enim aequidistantes esse poterunt E a deT H. Essem enim ejusdem peripheriae duo Centra. HAEc est generalis Demonstratio perficiendi Circuli quocumque arcu dato : quam & ascribit campanus. Ex qua deprompta est ratio illa compendiaria Centri inueniendi, Artificibus vulgo usitata. Sit enim peripheria A B C D,cuous Centrum sit reperiendum. Pono Centrum fortuitum in puncto aliquo datae peripheriae, ut in A: super quod describo peripheriam liberae extensionis, quae sit E p G. Tum in puncto altero peripheriae, ut in B, posito Centro, deseribo peripheriam eodem interuallo quo prior cm, E HG, quae secet EFG priorem , in duobus punctis E & C. Duco postmodum ab ipsis Centris, rectas A E&BE: itemq; AC &BG. Suntq; hae quatuor postremae lineae aequales: quum sint Semidiametri Circulorum aequalium. Tum duco A Brectam: Fientq; duo Triangula i scelia A E B & A C B: quorum' basis communis Α B. Hac igitur A B diuido bipartito in pumcto κ : Quod omnino cadet intra duas peripherias E F c & E H G : nest pars major toto. Et connecto
E K: quam produco ad c punctum. Vides jam duo lsosceliadi
mis. Duo igitur anguli qui ad x , duorum Trianguiorum A E κει BEx, per octauam Primi sunt aequales: ob idq;, recti. Eademotione erunt duo reliqui anguli qui ad K recti. Quapropter E. Glinea una per decimamquartam Primi. Quae quum diuidat A Bad angulos rectos: ipse exit ad Centrum , per Consectariu primae huius. Atque eadem erit probatio duarum perisseriarum similiter ductarum ac se scindentium in punctis L die quibus educta linea L M secabit lineam Ea in puncto N : Q odorit Centrum Circuli, per ipsem primae hujus Consectari. intellecta D recta linea, ipsam ad angulos rectos secante: Quod erat probandum. e HANC
177쪽
-6 ELEMENT. EUCLIDIS HANC demonstrationem apposui, ut videret unusquisque quantum compendii fieri possit eorum quae in arte fuse docentur. Id vero totum a madrari cum Circulo commercio proficiscitur. Trianguli enim ad Quadrilaterorum probationem conserunt. QVadrilatera vero, ted praecipue Quadrata,ad Cir
Vt hic si intelligamus A E B C Quadratum: cuJus una Diameter A a periphcria in datam secat,altera E C , Centium res iacit. Sed haec praeter Demonstrationem.' Ouae vero sequuntur Demonstrationes, hanc Euclidis vigesimam qii artam probant per capita: hoc est , ad nominatas Circulorum portiones singillatim pertinent: scilicet ad S micirculum , portionesq; Semicirculo majores aut mi neses. Primum itaque Semicirculo dato , cujus sit Centrum inueniendum:quia linea ipsum subtendens.est Diameter: in ipsius puncto medio erit Centrum Circuli: quale hoc loco est punctum D in Diametro A a , Semicirculi A c B. Sed sit data portio Semicirculo malor , ut A C B , cujus sub tensa A B. Diuido A B aequaliter in D puncto: a quo excito perpendicularc m D C, quae attingat peripheria in in C. Arque haec transibit per Centrum , ex Coniectario primae huius. Tum
connecto A C. Et quia angulus C A D maior est angulo A C D, per decimam nonam Primi, quum CD maior sit Semidiametro, & A D multo minor: rescindo angulum c A E . aequalein angulo D C A: per vigesimam tertiam Primi,ducta linea A E, quae
secet D C in puncto E. Dico E Centrum esse Circuli. Connecto E B Et constat ex sexta Primi, E C & E A esse aequales:quum duo anguli E A e & E C A sint aequales: irem per qua tam eiusdem , B A & E B esse *quales : quum duo latera A o de D E , Triangult A 8 D , sint aequalia duobus lareribus o B & I, E, Tr et guli o E B. Tres igitur ε A, E B, S: E C Iunt aequales. . Quare, per sextam hujus, erit E Centrum Circuli. sam vero dctor A B C portio minor Semicirculo. Hujus subtensam A C divido aequaliter in puncto D. Et per ipsum D , duco ad angulos rectos lineam B D E : In qua quidem eiit Centru
178쪽
LIBER I I I. 347 Circuli, per Consectarium sepe citatum: sed non inter puncta D B: esset enim A B C, major Semicirculo , Contra positionem. Connecto igitur a A:& ab A puncto duco
lineam, quae cum B A faciat angulum a qualem angulo A BF per vigesimam ter tiam Primi: sitq; illa A p : scilicet angulus p Α Β fit aequalis angulo F B A: Neque enim cadet ut A G , inter B & n. Ducta enim G C,esse nr,eat sexta& quarta Primi,tres C A, C B, &C C,aequales:ellatq, G Celitrum Circuli, per sextam hujus , quod modo improbatum est. in Connecto itaque F C. Atque eadem,qua paulo ante argi mentatione, erunt tres F Α,F B, & F c aequales. mare F Centrum Circuli: Quod erat demonstrandum. - Ατα E eae inueniendi Centri Demonstrationes, commendaris nem quandam habent varie ratis , - usum parum Reeessarium. Prima enim omnes abunde supplet. s
In Circulis aequalibus, qui ad Centrum qui . ad Peripheriam sunt aequales anguli, ij super aequos Arcus
Sint duo Circuli aequales: A BC, cujus Centrum G ,&D E F, evius Centrum H : sint. ad Centra duo anguli Acc&EHFaequales: aut ad Peripha iam duo B A C N E D F aequales. Dico Arcum B c aequalem esse Arcui E F. Connectantur &.A F. Et quoniam Cit uti sunt aequ/les: eruns B &c c Semidiametri ' quales duabus H E & 3 p, per definitionem aequa-v 2 lium
179쪽
tium L ircillotum. Qua-Propter quum duo a &Hanguli sint aequales: eri . per quartam Primi, basis a C,basi E F aequalis. umq; angulus Aquat s angulo D : erit Segmentum B A C simile Segmento E D F , per definitionem Simila uiri portionum. Et quia super aequales lineas .consistutu ripis erunt aequa .ia, per vigesimamicrtiam hujus. Quare, ex Communi Notione, duo
reliqui Areus a c & E F sunt aequales : Quod erat demonstrau
COMMODivs tamen probabimus separatim, ut Campanu . Ponantur enim, ut prius, duo anguli ad Centra, aequales. Ac tum connexis BC & E F , erunt, propter aequalitatcm Semidiametrorum, ipsae B C & E F aequales, per quartam Piimi. Ducantur itaque E A & c A ad Peripheriam: itemq; E D N F D. . Et erunt duo anguli A N D , per decunam nonam hujus de animi Notionem, aequales. igitur , per definitionem Similium Segmentorum , erunt duo Segmenta B A C & h D r similia: ob
idqi, per vigesimam tertiam hujus, aequalia : quum snt seper aequales lineas. Quare duo reliqui Arcus B C &E F aequalest Quod est prius . ilam vero ponantur A &D anguli ad Peripheriam , aequales. Et erunt, ex definitione, Segmenta aequalia. Ac tum ductiso a & G C : itemq; H E & H F : erunt ipsi a & H anguli, per decimamn qnam hiasus & animi Notionem , aeqpales. Et quia Semidiariaetri sunt aequales: crunt', pcr quas iam Primi, duae Be& E F. aequales. Erunt itaque, Ut prius , Segmenta B A C & E D f
180쪽
In Circulis aequalibus, qui super aequos Arcus con-sstiint anguli, liue ad Centra,sive ad Peripherias consillant, inter se sunt aequales.
co angulum G, esse aequalem angulo se i & angulum A, angulo D. Haec est Conuersa antecedentis. Si enim et non est aequalis H , sit H major: fiatq; p H K aequa-'Iis ipsi Q. Ac rum , ex antecedente, erit Arcus p κ aequalis Αr-. cui ου GQuaproprer & Arcui E F,pars toti. Atque idem proueniet absurdum , si positis Bc- E F , Arcubus equestri. . non fuerint A S: D, anguli ad Peripheriam, aequales. V E L sic: Quum probati fuerint a & H anguli aequales, tum ductis B A & C A, itemq, E D & F D: erunt A & D anguli aequales ex decimanona hujus & animi Notione: Quod erat ostendε-'
μείονα, τ - a ἰλ si α, τη. In Circulis aequalibiis, aequales reistae lineae aequo, Arcus abscindum S dc major linea, majorem Areum: