장음표시 사용
181쪽
' Et quia Semidiametri Wtrimque svht aequales, di bases itidem aequales: erunt,per Oct uam Primi, duo anguli D & H aequales et ob id , per antecedentam, Arcus A s C aequalis Arcui E F c : Quod est prius. At si E c linea ponatur major: erit quoque angulu H majori. per vigesimamquintam Primi. Facto itaque angulo F H G aequarili Ipsi P : erit Arcus F G aequalis Arcui A B C , per vigesimam- quintam huius. MMor igitur E F G ipso A B C: Quod erat pro
In Circulis miratibus, sub aequis Arcubus aequales
. , - . sint duo Circuli aequa ' las: AB C, cujus Centrum
Aceste aequalem lineae E G. Ac esse aequalem lineae Conuersa antecedentis
Cis it ectamur D A & ό ς: itemq; H E N H G. Eruntq; , per viali Misextam huius, anguli D & H aequales inare, per quav- Iriimi , erit k h aequalis E a : Quod erat demonstrandum.
182쪽
Datum Circuli Arcum bifariam diuidere.
Sit datus Arcus A a C, cujus subtensa A c. Hunc voloriam diuidere. Secetur Ac aequaliter in puncto o. A quo erigatur perpendicularis o a , secans datum At cum in a. Hanc dico esse quae diuidit At. cum ABC per aequalia in punctos. Connectantur B A & s C: quae, per qua tam Piimi erunt aequales: Quapropter , ex priori parte vigesimaeseptimae huius, erit Arcus A B aeqiualis Arcui a C : QSod fuit demonstrandum. THEO REMA PROPOSITIO XXX. - - ii Boni II. . Εν κύκλον, ἡβ εν τή νμαυκλίω γωνια ὀψ--, η a Goρθηe' ac ἡ μηδε γαία, ελώντων -ορθῆς,
Qui in Semicirculo est angulus, rectus est: Qui v rd in majori Segmento, minor recto Et qui in minori , major. Sed angulus m. floris Segmenti Mixtus,
recto major: minoris autem, minor. Sit in Circulo A B C D , cuius Centrum E , Diameterq; A C, Semicirculus A a C : in quo sit angulus B rectilineus , ejussem designationis A B C. Dico hunc esse rectum. Coi nectatur a cum Centro, ducta linea E B. Eritq; , per quintam Primi, angulus A aequalis angulo.E B A : & angulus En C, angulo E C B: quapropter duo anguli qui ad a , aequales duobus angulis A & c. Atqui totus B angulus cum duobus A dcc,sunt duobus rectis aequales, per trigesimam secundam Primi. Quum igiatur B sit eorum dimidium: ipse-rectus. V a L, ut alii: Quia angulus C Hs aequalis est duobus A de E B A,per prior- partem trigesimaesecundaePrimi:ipse e- rit duplus ad angulu E B A Itidem A E Bduplus
183쪽
ui ELEMENT. EUCLIDIs duplus erit ad E a C. Duo igitul anguli qui ad a, dupli sunt ad
totum B. mare B est dimidia pars duorum rectorum , ac propterea rectus,
VEL rursus sic. Protrahatur c B ad F punctum. Et quia duo anguli qui ad B,Τrianguli A B c. sunt aequales duobus A & C,per quintam Primi: & angulus A B F ijsdem A & C aequalis , per trigesimam secundam ejusdem : erunt duo A B F & A B C aequales. mare uterque rectus per decimamquintam Primi. Mira Diametri potentia: ut semper aequalis sit duabus quas conjungit potentiis. Sit deinde in Cilrculo A B C D,Cujus Centrum E. portio A B D major Semicirculo: ejusq; subtensa .recta A o: super quam angulus rectilineus A B D. Hunc dico esse minorem recto. Sumatur Diameter A C: & connectatur B C. Et quia angulus A B C, ut modo oste dimus, rectus est: erit, exanimi Notione, A B D angulus,
Sed sit portio A B c. cuius stibrensa A c,' minor Semicirculo. Dico angulum A B Cmajorem esse recto. Ducatur Diameter A D : Ee connectatur B D. Et erit, ex primo Capite hujus, a B Ds pars ipsius A s cὶ rectus. are A Bc recto
Demum in Circulo A B C D st portio A E c , cuius subtensac, major Semicirculo: portio vero A D C, cujus subtensa e dem Α, c,minor eodem. Dico angulum Mixtum, scilicet qui ab Aacu CBA&Iecta A c comprehenditur,ma orem esse recto:sed anguIum ab Arcu C D A eademq; linea A Ccomprehensum minorem esse recto. . ii Ducatur Diameter Be: & producamprecta B A ad E punctum. Eritq;. per primam partem hu usce, angulus rectilineus B A C, rectus: Et per decimam tertiam Primi, angulus C A fi rectu&. Quare, quum angulus
mctus sir pars prioris: alter vero pars recti:
184쪽
LIBER III. etit ille recto maior,hic autem minor.Quod fuit probandum. S g o & hanc Propositionem omni ex parte spectandam exhibuimus , sub hac inscriptione:
Sit Circulus ABC, cujus Centrum D, Diameter veris a C. Atque in eo ponatur E A F portio semicirculo minor: & G A Hportio, eodem major : Et a punctis B, C: E, F et G, H, ducantur lineae ad punctum A , ut in Schemate. Eritq, de angulo B A CDemonstratio eadem quam supra dedus caere rorum angulorum probationes erunt manifestae Quoniam enim duo anguli D A c se DC A sunt aequales, per quintam Primi: itemq; duo DAB dc DBA aequales, per eandem : erit totus BA C aequalis duobusu & e : Atqui totus a , c cum duobus B & C , sunt duobus rectis aequales, per trigesimamsecundam Primi. Totus igitura A C rectus.
Hinc satis manifestum est, E A F angulum esse recto majorem : sed G A H minorem eodem. Hincq; angulum Mixtum, qui fit ex linea recta AC & Arcu CH A esse recto maiorem: Angulum autem qui fit ex eadem A C & Arcti Q F A, esta recto munorem: i. od hait probandum.' Huic tanquam Consectarium subimemus, Si tu circulo Triangulum Rectangulum infriptum fuerit : Ia - - recto angulo oppositam, Diameter eris circul Sit enim in Circulo Aa c D, Triangulu Α Β e Rectangulum, .ujus angulus B rectus. Dico latus a Celse Di ametrum Circuli.
Sin aliter: erit Ccntrum extra A c ut in . . ' i' ' puncto E. Et connectatur Λε : quae educa-rur ad punctum D Peripheriae, oppositum
sitq; AED Diameterr& connectatur BD Tum angulus A B D . per hanc trigesimam, ' erit rectus: sicq, aequalis angulo A B C, Pars
roti: Quod est absurdum Sed nec ali' e-
185쪽
a Si Circulum tetigerit recta linea, a contactu. autem exiens altera linea, Circulum secuerit:anguli,quos cum tangente essicit, aequales sunt alternatim duobus, qui in Circuli Segmentis sunt, angulis.
Sit linea A a , tangens in puncto C circulum C D E F , Cujus Centrum a. Et a puli isto C ducatur linea c E. secans Circulum: satq; super C D E portione 'angulus D, ductis lineis c D & C E: Itemq; angulus p sit per portione o F E , ductis C F & E p. Dico anguluin E C a esse φqualem angulo D : angulum vero E C A, aequalem angulo E F C. Ducatur Diameter c a Is:& connectatur E H. Eritq1. per decimam septimam hujus , CH pexpenὸicularis ipii AE : Et, per Primam .partem antecedentis, angulus C E H reetus: Ob idi, x e , angulo AC H aequalis Posito itaque commum E C H , erit angulus A C E. duobus C E H&ECH aequalis. At hi duo cum angulo H , per trigesimam secunda in Primi, duobus rectis sunt aequales: Et per decimam te itiam ejucaem , an olus A C E cum angi; IO B C E , duobus rectis sunt aequale.. Angulus igitur BCF. angulo H aequalis: ob'id , N angulo D', per vigestinam hujus: quum sint in una portione Circuli. E Lbreuitis. Angulus cIH estriatus , pςr antecedentem: quaproptex o anguli C H faciunt unum rectum per triagesim miccunilam nimi. . o uum ui r B C E S E C H faciantvniun.rectum . dςmpto communi E C H , erit B C E ipsi is aeqv
li Quare & ipsi D, per vigesimam huius: Quod est prius. OlimqDD & F sint duobus rectis aequales , per vigesimam- primam hujus: eatu angulus p aequalis ungulo ACE: Quod e
186쪽
aequalis. Ang uri igitur E ipsi a e E est aequalis: Quod erat demonstrandum.
Superdata linea Sectionem Circuli describere, quae impiat angulum angulo dato aequalem.
Sit linea data A B:datus Vero angulus c. Volo stiper linea A a describere Circuli Sectionem qtiae capiat angulum aequalem angulo C. Ac primum,s hierit an Ius C remis, descripto Semicirculo A I, 2 super linea A B , ductiψ; A DN B D: erit angulus D rectus, per primam partem ttigesimae hujus. Si vero fuerit obtuses, ducam linea D A, facientem cum A B, angulum P A B , aequalem angulo e obtuso, per vigesimam tertiam Primi. Et a puncto A, ducam super A D , perterriticularem A E interminarum. Tum a puncto B , versus A E ducam lineam B F , secanrem a s in puncto F: quaeq; cum A B constituat angulum A v F, aequalem ngulo 3 4 B , quo obtusus rectum superat. . fruntq; , per sextam Primi,. ν N F Eaequales. Postio itaque puncto F Centro describoJecudum spatium F A & F B , Circulum A G B A. Et per Cosectarium decimaequinrae hujus, lineae D A tanget Circulum. Duco itaque a G N B c , constituentes a ulum o: qui, per ante dente*, vitaeqyalis angulo D A B et quapropter angulo C obtuso. v 2 Iam
187쪽
ELEMENT. EUCLIDI slam vero, si angulus e suetit
acutus: ducam A H lineam . quae continoi cum A B anguia H A Daequalem angulo G acuto. Tum a puncto A , ducta perpendiculari AE , facio angulum ABF qualem angulo B A E,quo rectus superat acutum: ut B F secet A E in F puncto. Ac tum, ut in superiori schemate, erunt F A & F B aequales , per sextam Primi: eritq; F Centrum circuli describendi. In deductis ad majorem portionem lineis A K-B K : erit angulus Κ, per ante dentem, aequalis angulo B A H: Quare & angulo C dator Quod erat ficiendum. PROBLEMA c, PROPOSITIO XXXIII. 3 Aoru τῶ κύκλου γωνίου ἴσίαν τ'
Adais Circulo segmentum abscindere, capiens angulum dato angulo rectilineo aequalem.
I, 2 λ Sit orculus datus A B C, datus vero angulus D. olo a Circulo Aa Cabscin- dere segmentum , capiens angulum aequalem angulo D. Duco lineam EF,quae per decimam- seprimam hujus, rangat Circulum in 'A puncto: A quo intra irculum duco Irneam A B , quae cum A E iaciat angulum E A B aequalem angulo D , per vigesimamrertiam Primi. Ac tum ductis lineis A c de B C, erit angulus C in segmento ACB, aequalis angulo EA B, per trigesimam primarn hujus : quare &angulo D dato: Quod buit faciendum.
THEO REMA 1 . PROPOSITIO XXXIIII.
188쪽
Si in Circulo duae rectae lineae se inuicem secuelint: quod fit, ex segmentis unius, Rectangulum , aequum est ei, quod ex alterius segmentis fit, Rectangulo.
Sint in Circulo A B C D duae lineae A C &B D, secantes se in puncto E. Dico id quod fit ex A E in E C, aequum esse ei quod fit ex
B E in ED. Aut igitur utraque transit per Cen- trum, aut altera tantum, aut neutra.
Si enim utraque sit Diameter Circuli: erit E Centrum,&quatuor segmenta aequalia: sicq; constabit propositio.
BD, aequale Qindrato E C. Quare & ei quod fit ex AE in Ec, quum ipsae sint aequales : Quod erat probandum. At si Bo transiens per Centrum, secet a C inaequaliter: ACeritro F ducatur FG perpendicularis ipsi A c: Et connectatur F C. Eritq,. per quinta. Secundi, quod fit ex B E in Eo cum Quadrato E F ob idq;,per quadragesimamseptimam Primi, cum Quadrati, F G S: E c aequale Quadrato p D : atq; ob id , Quadra 'to p c:Ob idq;.duobus Quadratis F G C. Ablato ergo utrimque Quadrato F G : etit quod fit ex B E in E D cum .adrato G E , aequale Quadrato. v 3 G c.
189쪽
c C. Ar,per quintam Secundi, quod fit ex A. E in E C cum Quadrato G E, aequale est Quadrato G C. Ablato igitur utrimque Quadrato G E, erit quod fit ex s E in E D , aequale ei quod fit ex AE in E c di Quod erat probandum. QIONIAM vero haec Demonstratio ex iis est quae non expedite capiuntur: qui in similes incidet,studeat ipsa, in suos articulos diuidere. Verbi gratia, in hoc postremo schemate sic ratiocinetur. Quod fit ex B E in E DCum Quadrato E F, aequa-la est ei quod fit ex A E in E C cum eodem Qtiadrato E P. Quod igitur fit ex t E in Eo , aequale est, per animi Notionem, ei quod fit ex A E in E c. Assumptio sic probatur. Quod fit ex A E in Ec cum duobus Quadratis G E N a F hoc est cum Quadrato ε p est aequale duobus Quadratis cet& G F , per quin ram Secundi & animi Notionem : ob idq; Quadrato p C. Sed quod fit ex B ε in E D cum eodem Quadrato E F, 'probatum est aequale Quadrato F c Q uodio tutia ex na in E D cum Quadrato EF, aequale est ei quod fit ex A B in E C cum eo dem QMdrato E T. Probata Assumptione, coiaequitur, ut illato comuni Quadrato a F, maneat id quod fit ex B E in E D, aequale ei quod fit ex Λ E in E c: Quod fuerat
ὶ lam vero, ut ad Propositionem reuertamur, si neutra IInearum transeat per Centrum, siue aequaliter, sue inaequaliter se diuiserint: per punctum sectionis a ducam Diametrum GH, inqua. Centrum F. Ac tum, saltera illarum diutia datur aequaliter, ut A c ab ipsa a v : diuidetur quoque ipsa AC aequaliter a Diametro C H: idq- per tertiam hujus, ad angulos rectos. Quapropter, ex secunda specie hu usce Propositionis, quod fit ex C E in E H, aequa est ei quod fit ela B E in Eo. Quod igitur fit ex A E in E c, aequu est ei quod fit ex BE in E D: Quod erat probandum. si neutra alteram aequaliter diuidat: erit, ex tertia specie, quod fit ex G E in Ε Η , aequale ei quod fit ex A E in E c: re
aequale ei quod fit ex B D inae D. Qirare utrumque aequale ab
190쪽
teri. Ac sic constat ex omni parte Propositio I M T E R eas quae hoc Tertis libro demonstra inur Propositiones. haec CertEvtra est ex praecipuis. V sumeni in habet variis modis notabilem. In quam cornmentari pro dignitate longum estist. Capita igitur tantummodo aliqua seligemus,ut ex iis ad alia meditanda viam aperiamus. Primum itaqueex hac intueri licet Circuli vim dc auctor talem Ui quum lineas in Centros. scindentes. atque ex his producta aequalia. nempe Quadratas Figuras, in aequalitare contineat et idem Iuris etiam retinet in reliquorum punctorum dccusIationibus. Nam quocutique in loco sese scindant lineae: partes semper aequalia produm faciunt, ut modo ostendimus. Α tque ex hoc mutra in Geometriam dispersanant Theoremata de Problemata. Imprimis vltima propositio secundi,quaedato Rectangulo aequale Quadratum componit. Si erum atrem te inspexei unus secundam quam in hac descripsimus,speciem: intelligemus Rectangulum compositum ex duobus lateribus B E M E D et quae in unam dineam continuamus, qualis est B D; atque ex hac facimus Diametrum Circuli: & ex puncto diuisionis E, perpendicularem ducimus ad peripheriam,qualis hoc Ioco E A : quae continuata ad punctum oppositum C, constituita C lineam , bipartito diuisam in E : ob id g., quod si ex A E in E C est Quadratum: Z aequale et,quod cxBE in E D fit,Recta
Ex hac etiam deprompta est quadragesimatertia Primi.
Sint enim in Circulo A a C IMduae lineae in C, & B D , se scindentcs in puncto E : siiq. quod fit ex A E in E c, Reictagulum A E D F: quod vero ex B E in E D , sit Rectangulum
E B G C: commutatis partibus Ε C dc E D,Vt vides.
Quum itaque haec duo Rectangula, in selo puncto a iuncta sint, dc nudare quodammodo videantur: ea connectenda fuerunt, de stabilienda.