장음표시 사용
191쪽
tgo E L E M E N T. E V C L I D I sQuod firmitas fieri non poterat,quam perfecto Parallelogrammo F H G Κ, ductaq, Diametro H κ. Ac tum duo Supplementa E F & E G apparent aequalia. In quo mira quaedam rerum colligatio & consecutio sese offert expendendam. Quod nos pra terire cogimur,alio properantes. id unum tamen dicemus, lineam C H tanto spatio egredi Circulum, quanto K F eundem invigreditur. Et Diametrum H xtamo distarea Centro Circuli, quantum duo. Parallelogramma H E & E K absunt a Quadratis. Si enim Quadrata essent,nempe si fuissent E C & E D aequales: totum P C Quadratum ei ter, Circulo circumscriptum : ipsiusq; Diameter H Κ,eadem cum Circuli Diametro. Hinc quoque desumptum est, ut seper data linea, dato Rectangulo aequale Rectangulum constitueretur. Hae enim super linea B E, quam pro data sumimus , constituitur Rectangi tum E C: aequale Rectangulo E F : Quod etiam pro dato si1 itur. Ex hac etiam facile habetur excessus Parallelogrammi m joris sit pra minus. Quid multa' ex hoe Theoremate innumerabiles considerationes, velut ex sente quodam, emanantequq ad Ptoportiones pertinent. Quas, quum illuc ventum erit, poterit sibi Lector effingere, ex hujus Propositionis recorda
Neque miretur quisquam , quod priora cum posterioribus
retexam. Id enim ad Demonstrationes eruendas tantum facio. Nam aliud est, artem tenere:aliudq;, artem docere. Multraque priora sunt natura, quae ars cogitur poseriora tradere: atque
econtrario: nempe aut compendii iaciendi,aut lucisaddenta, aut denique methodi obseruandae gratia. THEO REMA 3o, PROPOSITIO XXXV. 36.
192쪽
Si a puncto extra Circulum signato duae lineae du istae fuerint, quarum altera secet Circulum, altera rangat: quod ex tota secante in partem sui extimam fit Rectangulum, aequum est ei, quod ex tangente fit,
Sit punctiim A, signatum extra Circulum B C D, cujus Centrum E : ducanturq; duae lineae A D C quidem Circulum secans in D puncto: & A B eundcm tangens in B. Dico id quod fit ex tota Λ C in partem a D , este aequale Quadrato A B.
Aut enim A D C transit per Centrum, aut non transit. Si transiit. ducatur a Centro
Ε ad punctum contactus B, linea E B : Quae, per decimam septimam hujus, erit perpendicularis ipsi A B. Et quoniam linea D c du) uia est per aequalia in puncto E , additurq;
ei linea D A: erit,per sextam Secundi,quod fit ex tota A C in partem A D cum Quadrato E D i ob idq;,cum uuadrato E B) aequa-la Quadrato A E : atque ob id , Quadratis duarum AB & E A. Dempto igitur communi Quadrato E s: eri r quod fit ex A c I A D, aequale Quadrato A B : Quod erat probandum.
Si vero A e non transit per Centrum,dueatur A P E G per Centrum E : Et connectatur E D : Ducaturq; EH perpendicularis ad A e. Et erit D H aequalis H C, per tertiam hu-1us. Itaque, per sextam Secundi modo inductam , quod fit ex A C in D C cum Quadrato D H, aequale est Qtiadrato A M. Gan-mune ad 'rur Quadratum H E : Erit quod . fit ex A C in D C eum duobus Quadratis D H& HE s ob idq; , per quadragesimam septimam Primi , cum Quadrato E F, nani id fumo loco E D in aequale duobus A Η & HEQuadratis : ob idq; , Quadrato Λ ε , per eandem quadragesim septimam. At quod fit ex AG in FG cum ipso εν Quadrato aequale est pidem Quadrato A E. Quod igitur fit c xzc in AcQuadrato E F, aequale est ei Mod ex Λ G in FG cum eodem
193쪽
is1 Ε L E M E N T. E v C L i D I sdem E F Quadrato. Ablato itaque communi E p, erit quod fit ex A C in D C aequale ei quod ex A F in P C: Quare & Quadrato Α B, ut modo probauimus: Quod fuit demonstrandum. 'consectaalais campatrio.
Si ab eodem puncto extra Circulam signato , plures lineae Cium tum secent: qua ex unaquaque in sui partem extima sunt Rectangula, interse seno aequaba. Hoc autem ex eo manifestum est, quod singula hujusmodi Rectangula sint aequalia Quadrato lineae ab illo puncto ductae ad contactum Circuli, per hanc trigesimam quintam. Ex hoc etiam addit,
Si duae linea as eodem puncto ducta Circalam tangant, 'se inter se sunι aquales.
Quod quamuis Demonstratione non egeat, quum Vrraque sit aequalis ei quod fit ex linea, quae ab eodem puncto educta Circulum secat in sui partem extimam : ipse tamen sic probat: Sit punctum A cxtra Circulum a C D, cujus Centrum Ε : d Canturq; duae lineae A B S A D , quae Circulum tangant in punctis B de D. Dico ipsas este aequales. Ducam lineas EB&E D. Eritq; per decimam septimam hujus, uterque angulorum B & D rectus et quaproptcr Qii adratum A E, perquadragesi nam septimam Primi,aequa-
o te duobus Quadratis Aa&EB: similiter&duobus A D & E D. Igitur duo ABNE B Quadrata, sunt aequalia duobus A D & ε D duadratis. Et quia E B & E D sunt aequalia: runt duo reliqua A B & A D aequalia. Quar A B aequalis A D: Quod erat ostendendum. Idem rursiis. Connectatur linea BD. Eritq; , per quintam Primi, angulus E B D aequalis angulo E D B. Et quia duo A B E& A D E anguli sunt aequales , nempe recti: ablatis aequalibus EB D&ED B, ciunt duo A B D & A D B aequales. Quare' Persextam
194쪽
L I B E R I I l. sextam Primi, erit A s ipsi A D aequalis. Nos etiam haec addemus. pa cto extra Circulam senato, duae tantum tinea ad conIanum Circuli deducr Icssunt. Stante postrema descriptione a puncto A in Circulum B c Ddico non posse demitti plurus contingentes, quam duas A B &
Quod si fieri possit, educatur A p , contingens Cirgultini in puncto F: & connectatur E p. Eiitq; angulus p rectus, per decimam septimam hujus: quapropter aequalis angulo E B A rcpugnante vigesima Primi. id etiam ea ratione probabitur: quo omnes lincae ab uno puncto ductae, circulum tangentes, sint aequales: ut ante Ostendimus. At duae A EN A p aequales esse non possunt , aduersante octaua husus. THEO REMA 31. PROPOSITIO XXXVI.
. Si a puncto extra Circulum signato , duae lineae in Circulum ceciderint, quarum altera ipsum secet, altera ei applicetur: sit autem quod ex tota secante in sui partem extimam fit Rectangulum, aequale ei quod ex applicata fit Quadrato: Applicata Circulum tangit.
Sit punctum A , signatum extra Circulum BC D,cuius Ccntrum Eaeadantq; ab Apuncto duae lineae , A B o quidem Circulum secans, & A c ipsi Circulo applicata: sitq; quod fit ex A D in A 3,aequale ei quod
fit ex A C Quadrato. Dico lincam A C tangere Circulum. Conuersa antecedentis. . Primum enim si linea A B D transit per Centrum, ducatur recta C S. Et erit, per x 2 LxtDissiligod by Cooste
195쪽
164 ELEM. EVCL. LIB. III. sextam Secundi, quod fit ex A D in A B cum Quadrato E a , ob idq; , cum Odrato B C , aequale Quadrato A E. At quod fit ex a D in Α Β, ponitur aequale Quadrato A C. Et Quadratum igitur A C cum Quadrato C E, aequale est Quadrato A E Igitur per ultimam Primi, angulus C re tus. Quaro, per decimamquintam hujus, linea Accontingit
Quod si A B D non transit per Centrum , ducatur a puncto A linea A D , iuqua Centrum R. Et clitia quod fit ex hac tota in sui partem extimam, aequit m est ei quod fit ex A D in A B, per an incedentem: erit idipsum , ex communi Notione , aequale Quadrato A c. Quapropter E C A angulus, rectus est: ex iis quae modo probauimus: Ob idq; , A c contingens Circulum: Quod erat demonstrandum. Aci TER. Maneat jam inducta descriptio : atque insupera puncto A ad alteram partem Circuli demittatur Α F , per decimam sextam huius, contingens Circulum. Et connectatur E F. Eritq; angulus F rectus,per decimam septimam : Et,per antecedentem, quod fit ex A D in A B. aequale Quadrato A F. Α ex hypothesi, id ipsum est aequale Quadrato A C. Est igitur A clinea aequalis A F Quapropter,quum duo latera A p & E F,Tria-guli A E F, sint aequalia duobus AC&E C, Trianguli A E C: & basis A E utrique communis: sitq; angulus F rectus: erit 6c angulus C rectus, per octauam Primi. Quare A C tangit Circulum,per Consectarium decimaequintae hujus et Quod erat de
196쪽
ELEMENTA GEOMETRICA emonstrationum AZi-str climatus.
Figura Rectilinea, in altera Rectilinea inscribi dicitur,quum singuli inscriptae Figurae a guli, sangula ejus, in qua inscribitur, latera tangunt.
B Figura vero circa Figuram, quum singula latera circumscriptae, singulos ejus , circa quam describitur,
angulos tangunt. Satis constat Rectilineas Figuras eiusdem
Triangulum Triangulo: Quadrilateiu ini drilateromon diueris. Si enim plures sint an
guli unius, quam latera alterius , aut contra: non erit mutuus contactus singulorum,ut portet.
197쪽
describi dicitur, quum omnes ipsius anguli, Peripheriam tangunt.
ipsius Peripheria omnes interioris Figurς angulos tangit.
scribi dicitur, quu ipsius Peripheria sit gula 1nterioris Figurae latera tangit.
ς Figura vero Rectilinea circa Circulum , quum ipsius singula latera, Circuli Peripheriam tangunt.
ν Recta linea in Circulo accommΟ-
dari dicitur,quum ipsius extrema in Cimculi Peripheriam cadunt.
198쪽
In dato Circulo, datae lineae rectae, clitae Circuli Di ametro minime major existat, aequam lineam rectam accom
Sit datus Circulus A a c, cujus Diameter B c : data verδ lithea D, quae major non sit ipsa B c. volo in Circulo AB C aptare lineam , lineae D aequalem. Si o est ipsi a c aequalis, constat propositio. Sin minorint scindatur ex B C , pars B E aequalis ipsi D i Besecundum spatium B E,describatur Circulus A B F A, secans Circulum A BC in punctis A &F. Et connectatur A B: qua per secundam Te iij, secat Circulum A B C A : cstq;
ipsi s E aequalis , ex definitione Centri : Quare & ipsi D lineae aequalis: Quoil erat facien
Eri AM nulla Diametro posita, aptabitur linea. Tantum in puncto Peripheriae fortuito, ponatur Centrum e ac secum dum longitudinem lineae datae describatur alter Circulus, da- tum Circulum secans. PROBLEMA 1. PROPOSITIO II. Eἰς φ δόθεντα κυκλον, τυ ι θευπ-ιαρώνιον Fίγωνον
In dato Circulo, Triangulum dato Triangulo ae-
199쪽
Sit datus Circulus AB c, datum vero Triangulum , D E F. Volo in Circulo A B C describere Triangulum Triangulo D E Faequiangulum. Per punctum A duco G H, quae tangat Circulum in ipso A , per decimam sextam Tertii. Er duco rectam A B in Circulum, quae cum G A faciat angulum B A G,m qualem angulo p : itemq; ducta, A C , facio angulum C A H aequalem angulo E : Et connecto B C.' Dico AEc Triangulum este Triangulo D E F aequiangulum. Est enim angulus R. per trigesimam primam Tertii , aequalis angulo c AH: ob id Mangulo R. Eadem ratione angulus Caequalis est angulo B A G : ob id, & angulo p. Reliquus igiturn a C, per trigesimam secundam Primi,reliquo D aequalis. mare Triangulum B A c, ipsi DEF aequiangulum : Quod faciem
dum sule. PROBLEMA 3. PROPOSITIO II L
Circa datum Circulam , dato Triangulo aequia i gulum Triangulum describere.
Sit datus Circulus Aae, datum vero Triangulum D E F. Volo ipsi Aac Circulo circumscribere Triangulum, ipsi DEFTriangulo aequiangulum .. Protraham basin Ε F trimq;,ut fiant duo extrinsecus anguli E & F. Tum, Centro irculi. quod sit G, educam si a ad Peripheria: Et ab eodem a puncto educta G A , constituam angulum B G A, aequalem annuo E exteriori .. Similiter educta a d, iaciam a C C angulum, aequal
200쪽
aequalem angulo F exteriori. Tum per puncta A, B, & e ducam lineas HK, HL&κL, ad rectos angulos cum Semidiametris a G, B G, & C G. Atque harum unaquaeque, per decimamquintam Tertis, tanget Circulum : Et protractae, omnino Concurrent , Ut in punctis Η, Κ , L : Quum enim Vterque angulorum qui est ad A, & uterque qui ad A , sit rectus: linea quae ducetur ab A ad a , essiciet cum H κ & L R , duos angulos versus x, minores duobus rectis ε quia urerque pars recti). ltaque, per quintam Petitionem , concurrent Hκ &L κ. Atque eadem ratione concurrent H κ&KL et quum uterque angulorum qui ad c , sit rectus fietq; Triangulum NK M Quod dico esse aequiangulum Triangulo D EF. Quoniam enim in Quadrilatero A c 3 κ, duo anguli A & a sunt recti, erunt duo reliqui si & κ, duobus rectis aequales:sunt enim cujussi bet Quadrilateri quatuor anguli quatuor rectis aequales: ut ostensum est ad trigesimam secundam Plinii. Atqui duo anguli qui ad E, sunt duobus rectis aequales,per decimam- tertiam Primi. Quum igitur angulus G positus sit aequalis angulo E exteriori: erit angulus x , aequalis angulo E interiorLEadem ratione erit angulus L aequalis angulo F interiori. Qii re, per trigesimamsecundam Primi, reliquus Η reliquo D aequans. Et totum Triagulum toti Triangulo aequiangulum:Quod crat probandum. A LIT E Sit, ut prius, Circulo A BC Triangulum circum libendum, Triangulo DE Faequiangulum. . fIci ipse Ane Circulo, inscribo Triangulum GH κ ipsi D E paequiangulum, per antecedentem: ux si angulus G aequalis angulo D tangulus re, angulo E : & angulus R, angulo F. Duco
postmodum LM parallelum ipsi G H : quae tangat circvi, mi' puncto A : per ea quae addidimus ad decimamsextam Geth. L Duco fimiliter M N parallelum 2 ipsi HKM contingentem Circuise V is him in B; itemq; LN parallelumbe A ipsi si x , contingentem Circu-