장음표시 사용
201쪽
H x, donec secent L M,L Η,& M H in punctis O, P, , S, T. Dico jain L M M Triangulum Circulo GH K circumstrii tum , esse aequianguiumTriangulo D EF. Est t enim euidenter aequiangulum Triangulo G H K, per legem parallelorum: quum angulus M Tsit aequalis angulo et, Trianguli G H Κ, ex vigesima nona Primi: ob id angulus L eidem G aequalis, per eandem. Sic & angulus M, angulo H ejusdem Trianguli:& angulus N,angulo Κ. T luna igitur L M N Triangulum , toti G Η Κ Triangulo aequia gulum e quapropter de ipsi D E F : Quod erat faciendum.' H AE: c constructio ex iis est,quae licet taediola videantur,tamen ob concinnitatem facile, sunt. Vnica etiam Propositione, nempe vigesimanona Tert ij,probatur.; , - PROBLEMA, M' PROPOSITIO HIL
In dato Triangulo Circulum describere. .
Sit datum Triangulum ABC, in quo describendus sit Circulus Diuido
duos ipsius angulos A 5 B aequaliter, per nonam Primi, ductis lineis A o de BD: quae Concurrent intra Triangulum in puncto D. A quo ad tria latera ipsius A ac Trianguli,ducam tres perpendiculares NE, D F, & D G. Et quoniam duorum Triangulorum A E v & AC D , duci a guli qui ad A , sunt aequales , duoq; anguli E & G recti, de latus A D commune: erit, per vigesimam sextam Primi, linea D E ae- . qualis lineae o G. Rursus, quum duorum Triangulorum B E Dde B F D , duo anguli qui ad B , sint aequales,anguliq; E de F recti, εἱ latus B D commune:erit,per eandem, linea D E aequalis lineae F. Quapropter tres lineae D E, D F, dc D G,aequales. Posito itaq, Centio in D. Circulus descriptus secundum cmuscumque ipsa rum interuallum transibit per extremitates reliquarum dii . t rum,
202쪽
r i L H B E R I I L . r arum, ex nona Texiij. Et quia per Consectarium decimae Im ejusdem, unaquaeque linearum AB, Ac,&EC tangit Circulum . quia perpendicularis ad extremum Semidiametri: eo stat Proposito. . ,
Circa datum Triangulum Circulum describere.
Sudatum Triangulum a B c , circa quod describendus sit Circulus. ' i Duo ipsius latera divido aequaliter :'A B quidem in puncto D,& A C in puncto E. Tum excito perpendiculares ab ipsis D &Σ punctis: quae protractae concurrent, ut ad punctum F. Nam si intelligatur duci linea rea ab angulis rectis D de E : ipsi emiciet angulosor F.minores duobus rectis. Α punuo itaque concursus F, quod dico e se Centrum Cittuli, duco ad trea ansulos Trianguli Α, b, c : lineas TA . FB N Fc. mutnq; duo latera a Dre Dr, Trianguli aDν, sint ae pratia duobus lateribus a B denν, Trianguli a DB: N angulus P Vnius, m qualis' angula Dalterius , nempe uterque rectus: erir,per quartam Primi , ν a aequalis FB. Eadem ratione , comparato A E F- Triangulo eum c Er: erit eadem ν a aequalis ipsi Fc. Tres ign turF Αἰν,5 ν Gaequale' Q re , per nonam Terti , erit F Ce-- reum Cinculi: Uoderat constituturi. .
H AE e est in uniuersum circuli Triangulo circumstrib cu constructio. Sed nominatis Triangulorum speciebus , sic erit laetendumώ
Ae . primum , fit Triangulum A Ru Rectangulum , cum angulus A rectus. Diuidolatus a C anguis recto oppositum , mra qualia, in puncto R. A quo ad media puncta duorum a B & A e , d o F D & νE : quarum quum s D secet duo latera A a & a C aequaliatier: ipsi erit tertio A c aequidistans et ut de-: Monstruum est ad trigesimamnonam Primi et Ead mue -
203쪽
alo ieetits E aequustans AB. Et quia intus ' A angulus rectus est: erunt & anguli qui ad Na. resti: per vigesimamnonam Primi. Ducta itaque F a , erunt duo latera A D de
D F, Trianguli B D F. Ob id, quum uterque angulus qui ad D , sit rectus: erit, per qua tam Primi , T A aequalis ν B, quapropter &ipsi F c.Tribus igitur F A, F B, & F C aequalibus , erit ν Centrum Circuli: Quod iuu. constitutum- . Sed & id constabat ex primo capite erigesimae Tertibvr nos illic probauimus. i, b. Sed sit . Triangulum Ao lygonium ictus angulus. Aubi
Diuido latus B c bipartito in puncto H. A quo ad media pu-cta D & E, dum lineas H D dc H E. Et erit H D aequidistans A C: MΗ E aequissimus A., ut pauloante ostendimus: propter terque angulorum BD H&CEH, aequalis angulo A: ob idq;. 3 obti su Deductist itaque perpendicu- laribus a punctis D N E, utraque iparum V a C et & protractae Concur- intellecta linea
m mananonam Primi, uterque angulorum et a zaDHεε c as, aequalis pngulo A: sicq, stitus Ductri igitur perpendicularibus, D F quidem ad A n , oc E F ad H C, quae eoncutient intra Trianolum AB ast ad puneumst F: . ' η connect
204쪽
eonnectantiae F AJ s. de F c. mae, perq)virtam Plist bis G1-ptam, ut in seperioribus, erunt aequales. Quare F, ut pri , mrit Centrum Circuli: Quod erat faciendum. Modi igitur omnes in primum recidunt e nemph H diuisis duobus lateribus Trianguli bifariam , ducantur a duobus punctis diuisionum pei pendiculares: &in concursu ambarum statuatur Centrum Circuli. Hauc manifestum est,THangulum, cuiusinodicumque sit, id priuilegii habere, quod ipsi Circulo inscribi & circumscribi possit. In circulis autem inscribendis, diuiduntur anguli: ci cunscribendis, latera. , Ex eadem hac depromptum est compςndium illud artificibus usitatum,
mamquartam TetthVe, si sint tria puncta A , B , εο C: haec intestiguntur esse connexa per lineas rectas in Triangesum:diuidl-ν eurq; bifatiam spatium Inrer Α & B: itidem spatium inter a&er, educuntur .a punctis diuisonum, duae perpendiculares r quales hoc loco sunt D E & F msecantes se in H Centro. Quod fit Circuli officio: sicut ante demonsti asinus , ad vigesi-
Si Derit Triangulum Orthogonium , cadit Cen- truta Circuli in medium latus ieet, angulo opposi-' tum : si Amblygonium,extra Triangulum: si Oxygonium, inti Si vero Centrum in medium latus cecid dor, orthogonium est Triangulum: si extrinsecus,Am-ς Hrenium: si introrsum, Oxygoniurii. J- t in textis,quae a demonstrata sunt.
205쪽
In dato Circulo Quadratum describere-
Sit datus Circulus A a C D , cujus Centrum E. Volo in Ipse Circulo Quadratum inscribere. Duco duas Diametros. se ad angulos rectos secantes in
ruor lineis A B, B c, C D, & D A. Dicu A B C Desse Quadratum. j Erunt enim, per quartam primi, qua tuor latera aequalia : quum sint bases quatuor laterum aequalium, quae a centro ad Peripheriam exeunt , aequalesque angulos ad a , continent. Et unusquisque quatuor angulorum A, B, C, D rectus, per primam partem trigesimae Tertij: quum .sne In Semicirculo. Quadratum igitur est ABCD : Quod erat siciendum. , Qv I a Centro originem Quaarati ducunt, duas lineas ad angulos rectos te scindentes , hinc inde ad Peripheriam continuam, &quatuor bases connectunt. Ac tum per si rectos
Circa datum Girculum, Quadratum describere.
Sit datus Greulus A acn,criu&Centrum 1. Circa hunc vo-la Quadratum describere. t Dueo dua metrosa e Ern D, se seindisntes in Centro a ad nsulos rei hos, per A tu6r ipiarum extrema A, . C,P, , k duco quatuor perpendiculares FG, GH, ΗΚ,& κ ν , sibi inter se occurrentes ad quatuor l punctar, c, H,κ. Eruntque, pervigcsmam , p x octauam Primi:. Fc &Hκ, inter se & ipsi. , . A c aequidistantes: quum in ipsas cadat a D utrimque ad angulos rectos. Itidem Ffi de E - u GH, inter se & ipsi a D aequissistanto: Qda-
206쪽
tuor anguli F. G, H. x recti, quia rectis oppositi. Quumq; duae Fc &Hx snt Diametro A c aequales per eandem : quia Quadrilatera ν c & A H , sunt aevidistantium laterum: similitet de duae F Κ & cai, Diametro B D aeqtiales rerunt omnes inter se mquales , propter aequalitatem Diametrorum. Quare F c H KQuadratum , Circulo circumscriptum: Quod erat L intemdum PROBLEMA 3, PROPOSITIO VII l. - : Eie πιδεθὲν eIn dato Quadrato, Circulum describere. . - - Sit datum Quiaratum A a c D, intra quod describendus se
circulus. Diuido quatuor ipsius latera aequaliter in punctis E , F , G, H et ducta et E parallelo &: aequali ipsis A O &ε c : itiemq; F H parallelo α-- η & aequali ipsis A a D: quae secet c E in
i is punsio K: Quod dico esse Centrisma Cumisi
Ν Sunt enim quatuor dimidia Κε, KF, T i&xH, per trigesimamquartam Primi, aequalia quatuor dimindiis lateribus ipsius Quadrati: ob id .&inter aequalia. Q l .m, per nonam Tertia ,κ est Centrum Circuli inscribendi: Quod erat constitutum.
Circa datum Quadratum, Circulum describere. -
Sit datum Quadratum A B C D, Circa τ 'qύod deseribendus sit Circulus. , Duco duas Diametros A c&a D, se- il cantes se in puncto Eiridq; aequaliter, per . sextam Primi:quia bini quique anguli qui
207쪽
a s ELEMENT EUCLIDIsa est Centrum Circuli circumscribendi. Quod erat faciendum
S v a has Q drati & Circuli mutuas inscriptiones visum est adscribere peruulgatum hoc Theorema. di ad tum circulo circumscriptum, duplam es Madrati eidem Circulo inscripti.
Sit Quadrarum A a C D circumscrIptum Circulo Ε F G H, jus Centrum x et puncta comaetuum, E, F,G,H. Et ductis duabus Diametris E G-ν H , inscribatur ipsi Circulo, per sextam hujus, adratum E F G H. Dico a BC D Quadratum,esse
duplum ipsius E p αH Quadrati. A T. A Nam quum latus A is maioris Quadrati, fit, per ilige fimamquartam Primi, aequale Z ν B Diametro Q Ladrati minoris: Quadra Tl - --- - mlh tum autem ipsius T is duplum sit Quadrati cuius est Diameter,scilicet Quadrati EFGH, per Q ragefimamseptimam Primi : erit M t o & Quadratum ipsius A a , quod est a B C in duplum Quadrati a ν et M : Quod erat ostendendum. PossET aliis expositionibus demonstrari, ut ex aequalita te Triangulorum & Quadrarorum: Sed nos hac una contentistiimus fietii 5t compendiosa ostensione. Hoc autem Theorema ab Euclide non filii appositum, sitassὸ quod ista Problemata in hoc quarto libro tractaree: fortasse etiam quod de aliarum Figurarum proportione tradendum Lisset: quamuis tamen hane ordinis ratione non seruet. Paucas enim Figuras Circulo inscribere docet, caeteras praetermittit:infinitate quidem deuirans, sed & difficultate deterritus. Id ipsum vero, ut cuju considi datio erit usitata, in apponere non dubitau PROBLLMA M. PROPOSITIO X.
208쪽
Sumatur, ad arbitrium, linea A B : qtiae sc diuidatur in pun- cto c ut docet undecima Secundi: scilicet ut quod fit ex A a in B c , sit aequale Quadrato A C. Tum posito Centro in A, describatur interuallo A B,Circulus B D E B : in quo, per primam hujus , accommodetur linea B D aequin A C : Et connectantur D A & D C. Dico utrumque angulorum A B D & A D B, Trianguli A E sse duplum anguli A. Ac primum satis constat Tritngulum esse Iso sceles et quum duo A B& A D latera sint ex Centro: ac propterea duos angulos A B D & A D n e se aequales, per quintam Primi. Iam ci*ca Triangulum ac D describo Circulum D C A D,per quintam h jus. Et quia B D est aequalis A e r erit quod fit ex A B in B C , aequale Quadrato B D: ac propterea B D tangit Circulu,per ultimam Tertii. E t anguIus C D 3 per trigesimamprimassi ejusdem,aequalis est angulo alterno c A D. Posito itaq; COmuni angulo C D A, erit totus BDA angulus aequalis duobus C A D & C D A. At angulus B E D.per tri simam secutam Primi qualis est iisdem C A D & e D A, dum bus interioribus odiostis, Erit igitur B c D toti a DA aequalis- ob id, & ipsiA E D. Quare, per sextam Primi, linea e D aequalis tineae a D: ob id,& lineae C A. Angulus igitur C D A,per quintam Primi, aequat is est angulo C A D: Ob idq;, angulo C D B. Duplus liaque est angulus B D A , anguli B A D: Quare & angulus A a Dauplus ejusdem: Quod erat finiendum.
AppENDI x Campani. Forsan contendet aliquisCirculum A c D se. care Circulum BD E in puncto alia quo Arcus B D,simulque secare lineam a D. quo fiet ur a D linea non sit Cir culo ACB applicatar ut in Dcmonstratione astruitur,sed ipsam secans.
Secem igitur inter se, si fieri po
sit, ducaturq; a puncto B , linea B ptangens Circulum a C Dr & conn Σ ctantur
209쪽
fit ex A a in a C , aequale .adrato B r: ob id q, B F aequalis B D: Vnde, per quintam Primi, angulus B F D aequalis angulo B D F. Et quia , per trigcsimam primam Tertii, angulus B p A , est aequalis aligulo A D r alterno : erit angulus B D F major angulo A D F , pars toto.
Refellit & idem aliter. Nam si sorte dicatur Circulus A C D
secare lineam B D, neque tamen secare Arcum B D majoris Circuli : Secut ipsam, si possit, in puncto H. Eritq; quod fit ex.
A B in B C, aequale ei quod fit ex D Alia B H, per trigesimam quintam Tertii : quum utraque B A-B D ab eodem puncto B, cadat ad suctionem Circuli. Et quia quod fit ex A B in BC , aequale est Quadrato B D : erit quod fit ex D Bin B H, aequale eidem Quadrato DB: repugnante secunda Propositione Secundi. Sed haec irustra in dubitationem adducuntur a Campano. Linea enim ath non tantum astruitiar in Demonstratiqne tangere Circulum A C D, sed etiam probatur. A r notabilius est quod ipse sub ij cit, Duos Circulos AC D& B D ε se mytuo secate: & Circulum A C D abscindere a Circulo a D E, Arcum aequalem Arcuia in Circulum vero B qεobscindere a Circulis Aco Arcum aequalem Arcui D C. Prior pars constat ex eo, quod si minor non secet majorem , scd tam gat ipsum in puncto D : erit, per undecimam Terib, Ccntrum utrius. que in linea una , sei licet in A D:prO- prclea quod in ipsia est Centium .maioris, & in eadem punctum contactus. Erit igis ur angulus A C D. pertrigcsimam Tertii. rectus: &, pcrdecimam tertiam Primi , angulus DF s rectus : sicq; A B D rectus, utpo .c huic aequalis: Quod, per
trigesimam secundam Primi, fieri non poteli. . Secabunt igitur iii cesse, ut in punctis D N E Dico jam Am
210쪽
LIBER I I I I. i 9 cum E D majoris, esse aequalem Arcui D B: & Arcum E D minoris,aequalem Arcui D C. Connecto E A, E C, & E D. Eruntq;, per viges mam sextam Terru, quatuor anguli DEC, C EA, EAC, NA, C, aequales: quum sint Arcus C A& C D aequales per vigesimam septimam ejusdem. Totus itaque angulus A Ε D duplus est anguli a A D: ob idq; , aequalis utrique angulorum A B D & Λ D B. quia angulus A E D aequalis cli angulo Α D E , per quintam Primi, quoniam A D& A E sunt a Centro : erunt duo anguli E & D, Trianguli A E D , aequales duobus angulis D N B, Trianguli A D A : ob id , per trigesimam secundam Primi, reliquus angulus A unius, aequalis reliquo angulo A alterius. Quare , per vigcssimam secundam Terth, Arcus ED mMoris, aequalis Arcui I B : Et, per eandem, Arcus E D minoris, aequalis Arcui DC : Quod erat Probandum. S v p E R haec obseruandum, In omni Triangulo , quale hoc loco est A B D, angulum verticis, ut hid angulum A , esse unam tertiam Cum una quinta unius tertiae recti: hoc est, duas quintas unius recti: ac breuiter, unam quintam duorum rectorum. Vtrumque Vero angulorum qui ad basin, esse duas quintas duorum rectorum, seu quatuor quintas unius recti. Quod clarum est,diuisis duobus angulis rectis in partes quintas. Tum enim in Triangulo, angulus verticis erit unius quiniae: & Vteruis duorum qui ad basin duarum quintarum. Haec autem diuisio lineae A B , qualis est in puncto C , dicetur ab Euclide, in
erigesima Sexti, proportio secundum mediam & extremam rationem : vrpote quum A C sit medium proportionale inter B C.&B A. in qua quidem, numerus Quinarius praecipuam habet vim. Nam in omni quantitate, quae sic diuiditur . Quadratum totius lungitur cum Quadrato dimidiae: Quod aggregatum perpetuo est quintuplum Quadrati ipsius dimidiae. Id
vero ex ea quam proposuimus specie in undecima Secundi repetemus Sint 8 diuidenda sicut proponitur. Duco 8 in se,fiunt 64: Duco etiam ejus dimidium nempe . quanta est illic linea D E aut E B, in se : fiunt Isi. Haec juncta , scilicet σε & is, s Ciunt 8o , quintuplum I 6. Itaque ad hujusinodi Triangulum inuestigandum, opus fuit tali diuisione lineae: cui praeeit Phi- Tarius numerus.Hoc igitur Problema ad Pentagonum Circulo 2 2 inscrib