장음표시 사용
211쪽
iM E L E M E N T. E v c L I D I sinscribendum spectat: ut In sequemti Propositione doeetur. A T ME animaduertendum, lineam A C,esse latus Pentagoni aequi-
lateri, Circulo a CD inscribendL Quod sic demonstratur:
Ex posteriori constructione constitit, tres Arcus A C, C D, & D E minoris Circuli,esse aequales Quumq, ex eadem constiterit duas lineas A D& A E esse aequales: erit & Arcus a B aequalis Arcui A D per vigesimam septimam Terth: quaproptcr corum dimidia aequalia. Si igitur A E diuidatur aequaliter, erit tota Peripheria AC D E Adiuisa in quinque Arcus aequales. Qv orum quum subtensae sint aequales per vigesimam octauam eiusdem: erit unaquaeque illarum latus Pentagoni: Quod erat demonstrandum. Et erit idem A c , latus Decagoni, Circulo a D E inscribendi: quod adsequentes Demonstrationes pertinet. In summa , haec omnia ex Proportionibus dependent. Et,ut nostrum de hac tota re iudicium ingenue explicemus, huic tractationi Proportiones erant praemittendae.
Nos huic loco hoc tibnectemus Problemat
Super data recta linea Pentagonum aquilaterum se quia ι-
Sit si per data linea Aa constituendum Pentagonum aequi- laterum &aequiangulum. Super ipsa A a constituo per vigesimam tertiam & trigesimam secundam Primi, Triangulum Isbsceles AB c, quale proponit haec decima: ut scilicet super basi A B,
duo anguli c A B & C B A , sint aequales duobus modoc structis: numpe uterque duae quintae duorum rectorum, & angulus verticis C una
uinta eorundem. Diuido postmo-um angulum C aequaliter, ducta linea c D: Ac super puncto A coniti
212쪽
LIBER I III. trimo angulum C A D qualem angulo A C D : ducta linia A D,quae concurrat cum C D ad punctum Dadq; intra Triangulum A a cenam C D protracta cadet in basin A a , & A D in latus a c. Tum
Et quia in Triangulo A c D , duo anguli a & C sunt aequales: erunt,per sextam Primi,duo A D & C D latera aequalia. Rursus. quia duo latera c a & c D, Trianguli c a D,sunt aequalia duobusCA & C D , Trianguli AC D, & angulus C huius, aequalis a gulo c illius: erit, per quartam Primi, basis D a basi D A , sicllineae DC, aequalis. Erit igitur, per nonam Tertij, D Centrum Circuli. Et ducatur Circulus A a E C p. Iamq; angulus A D B duplus est anguli Aco, per decimam nonam Terth : Ipse igitura D B angulus facit duas quintas duorum rectorum: hoc est, nam quintam quatuor rectorum. Quum itaque spatium circa D Centrum , sit aequale quatuor rectis angulis: omnino diuidetur spatium ipsum in quinque angulos,qquales ipsi A D Bine-pe in quinque quinta ,: ductis lineis D E & D F,quaecum D Α,D B, ω DC aequalitatem quinariam distinguant. Connexisq; a F, F C, C E. & E B,erit Rectilineum A B E c F,Pentagonum aequilaterum,
per legem Centri &Peripheriae, adhibita quarta Propositi ne Primi: Et aequiangulum, per quartam & quintam ejusdem: quum quinque anguli A, B, E, C, F, dividantur in decem aequalia: Quod erat faciendum. Hoc Problema Bouillus Ideb dissicile putavit,quia ab E clide esset praetermissum. Sed & caeteras Figuras, quarum posterius inscriptio demonstranda est, super data linea facilὶ construet, qui hanc nostram perspexerit Demonstrationem. PROBLEMA ii, PROPOSITIO XLUο ν δεθινὼ κύκλον , -ν--οπ- ri , e λωνιον ἔγ-
In dato Circulo Pentagonum aequilaterum & a:- quiangulum describere.
Sit datus Circulus A a e , cui inscribendum sit Pentagonum aequilaterum & aequiangulum. Construatur Triangulum i sceles DE F, quale prascripsit antecedens Propositio: Et in dato Circulo inscribatur Tria
213쪽
ELEMENT. EVCLIDIS gulum ABC, ipsi DEF aequiangulum, per secundam hujus: ut sci-
duplus se ad angulum verticis A. Horum utrumque diuido aequali- . ter, ductis lineis ac & c H hinc atque hinc ad Peripheriam. Eritq; totus Circulus in quinque Arcus diuisus , in punctis
A, H, B, C, G:eosq; aequales, per Vigesimamquintam TertiJ, propter c qualitatem quinque angulorum qui in ipsos cadunt:qu rum quatuor ad basin Trianguli A B C : quintus vero ad verti-Cem A. Connexis itaque AH, H B: AG.&Gc: erit Pentagonum A Naco Circulo inscriptum, aequi laterum, per vigemimam- octauam Tertio , propter aequalitatem Arcuum quos quinque latera subtendunt : Et aequiangulum, per vigesimam scxtam ejusdem:propterea quod quinque Arcus A B, H C,B C, C A & G H,
in quos anguli ipsius Pentagoni cadunt. sunt aequatus: quum ipsorum dimidia sint aequalia. Sicq; constat Propositio. ΑLrTER. Constructo Triangulo D E p in speciem antecedentis Propositionis , sit Centrum K ipsius Circuli propositia B c : & super Centro constituatur angulus B Κ C, aequalis al- . terutri angulorum E aut F,Trianguli D E F : Connectaturq; B C. Dico a c esse latus Pentagoni. Diuido angulum x aequalitCr, ducta Diametro A Κ L. Tum cona, nec o B A & C A. Et Mnstat, ex de-
duplum totius anguli A. Igitur t Lus A angulus aequalis est angulo D, ν cujus duplus est ipse K. Et quia Trianguli A B Κ , duo anguli A & B sint aequales, per quintam Primi, sunt enim K A & K B a Centro : erit, per trigesimamsecundam ejusdem,angulus B Κ L duplus ad utrumlibet angulorum K A B & K B A, exterior interiori: Atq; eadem ratione angulus c x L duplus ad utrumlibet duorum K A C & K C A. Itaque,quum ambo qui ad x anguli sint in quales , erunt duo anguli A & n , Trianguli ABK, duobus ANC, Trianguli A c K , mutuo aequales: ob idi, per vigesimam- sextam
214쪽
ABC Is sceles . inumq; angulus totus A , aequalis sit angulo D: erunt duo reliqui anguli A BC & ACB , per rrigesimam secundana Primi, duobus reliquis E &F aequales. are Triangulum A B C, Triangulo D E paequiangulum. Ac iam procedet Demonstratio, ut modo instituta fuit: intellcctis scilicet BC&CHE-n eis.
Hanc Demonstrationem adscripsimus, ut ostenderemus, inscribendarum in Circulis Figurarum rationem a Ccntro re Di ametro pendere. V t etiam i ntelligeremus,duos angulos qui ad K. Trianguli AC x, super Centro incumbentes, esse cognitos. Quod in Heptagono Bouillus non putat. Sed utinam tam facilis citet Heptagoni inuentio, quam ipsi sunt noti. Atque hoc loco jucundum est intueri Triangulorum Vari . rates. Vterque enim angulorum qui ad λ, efficit, quintam v-nius recti: unde emergit latus Decagoni eidem Circulo inscribendi:vt constat intellectis lineis B L & L c. Arcus enim BC diuiditur in duo aequalia in puncto I. per vigesimam quintam Te
Ex Trianguli itaque aequi lateri inscriptione, notum fit Hexagonum : sicq; semper ex simplici numero laterum , Cogn scitur duplum : vi ex Quadrato octogonum : ex octogono Sedecangulum. ac sic continenter in caeteris. Immo etiam ex hac nostra Demonstratione statim innotescit Pentagoni cirri Cum scriptio: ut in sequenti apparebit.
ALITER rursius poterimus variare Pentagoni inscriptione. Sit Circulus,quem modo exhibuimus, A B C: maneatqi Trian gulum ipsena D E F. Duco ad Circulum , linearet M A N tangentem ipsum, per decimam sextam Tertii: Et ad punctum A,constituo angulum M AB aequalem alteri anguloruin E aut F quem
satis constat esse minorem recto H ducta linea AB, quae secet Peripheriam in puncto p . Rursus ad idcm plinctum A , constituo angulum N A C aequalem ipsi, M A B: ducta litua A e , quae secet Peripheriam in C. Et connecto BC. Dico B C csse latus Pentagoni. Quod patet diuiso Arcu A B per c qii alia in puncto H, ductisq; A H & AH : itcmq; diuisi, Arcu A C per aequalia in G, , duo isq; A G & C G Sumpto enim Quadransulti 'A B C G constat, ex trigestinaprima Ter iij, angulum AB C aequalem esse an
215쪽
angulo A C B H , erit angulus A c B aequalis angulo M A B alte
no: ob id, de angulo F. Quare, per trigesimamsecundam Priami , erit, ut prim, Triangulum A B C ipsi D E F Triangulo aequiangulum: & procedet Demonstratio ut in superioribus. S E D & constituto ad Peripheriam angulo B, triplo anguli D, ductis lineis A H&s H, erit utraque ipsarum ΛΗ & AH latus Pentagoni: sicut intelligent ij qui ex comparatione angui rum ratiocinari volent. Nam in priori specie, duo anguli a & cPentagoni, ad Periphcriam , in tres angulos aequales diuiduntur: quorum singuli sunt aequales angulo D. Hujusinodi autem
Demonstiationes articulatim non exponimus, quo breuirati consulamus : ac satis nobis est, si eas utcumque informatas ex aliarum argumento, studiosis examinandas relinquamus. In
hac enim Figurarum inscriptione tam late patet 'eculandi eampus, ut Ggula assequi meditando nemo unqu- possit.
Quanquam nos initio cum Campano rem non admodum vintilem eiis putabamus. Quum vero attemius exploraremus quδspectaret haec tam ordinata tamq; artificiosa consti tutio di sanὶ gomperimus non seustra ereditum esse, Figuras quanto propius ad Circuli compositionem accedunt, tanto perfectiores esse. Res igitur haec tanta est, quanta fortasse in toto opere Geometrico nulla : Mut nos aliquando ostendemus propria commentatione, si nostris inuentis quae in Geometria quot die molimur, simmus ille Geometer annuerit. Ex hac enim materia, nouum velut opificium Echactenus non exeogitatum
Circa datum Circulum, Pentagonum aequilaterum aequiangulum describere.
Sit Circulus a BC, cujus Centrum r, cui circumscribendum sit Pentagonum aequilaterum de aequiangulum. Diuido Peripheriam totam in quinque aequalia, per an receden
216쪽
. 'Li ii B E R I I I I. l l cedentem I in punctis A , D ; a ; C. E. Et a Centro F educo quinque lineas, F A,F DAE B, F C8c F E: ad qua1 hinc inde duco quin que perpendiculares : Quae concurrent in punctis Η, Κ, L,M, - tangentq; Circulum, per Consectarium docimaequintae,Te iij. Tum ad puncta concursus ipsarum, duco a Centro lineas F GJ H,F Κ,F L,F M. Et quia G A & GD ab yno puncto cadunt in Circulum': ipsae erunt aequalas , pet ea qaae demonitiavimus ad trigesimam-q i in tam Tert ij. Arque eadem ratione erit H Dipsi H a aequalis : &κη ipsi x crsicq, ordinatim. Et quoniam quinque
ris, quinque anguli qui ad Centrum,
les. Et quia duo latera A G & F Α , Trianguli F G Λ , sunt aequalia duobus D C & p o , Trianguli F G D , & larus G F Commune: erunt, per octauam Primi , duo ipserum anguli qui ad ν, inter se: duoq, anguli qui ad C, inter se quoque aequales. Similiter erunt duo anguli qui ad F, Triangulorum D F H N H FB inter se: duoq, qui ad H,inter se aequales. Sicq, trium reliquorum Triangulorum Esc, CPE, & EF A, singuli diuidentur pur aequalia, lineis F Κ , F L, & F M : eruntq; decem anguli qumd Centrum, aequales. Quoniam igitur duo anguli A N F , Trianguli G A p, sunt aequales duobus angulis A & F , Trianguli M A FGatus
a F. Commune: erit, per vigesmaam sextam Primi , angulus CVnius, aequalis angulo M alterius: latusq; GA, aequale lateria M. Eadem ratione erit angulus G, Trianguli G F D , aequalis angulo H, Trianguli D F H : latusq, G D aequale lateri D H. Dum itaque et A sit dimidium C M , N G. D dimidium C si: fintq; c A& G D aequalia: erunt, per animi Notioncm, G M dc G H eorum. dupla, aequalia. Similiter probabimus C M M L,LX,8c K Hesse aequalia. Quare Pentagonum G H κ L M, aequi laterum. Sed & aequiangulum.
Quum enim duo anguli qui iac , probari sint aequales: duoq; qui ad M, aequales : & a dimidius I aqualis M dimidio : erit
Totus G,toti M aequalis. Atque eadem ratione reliqui angissi
ipsius Pentagoni probabuntur aequalo: Quod erat faciendum.
217쪽
,inscribo Pentagonum aequi laterum & aequiangulum ABCDE sicut docet antecedens: per cujus quinque angulos duco a Centro ultra Peripheriarn, quinque lineas F G H. F Κ, F L,& .r M. Et constat quinque angulos qui ad F Centrum.eise aequa .les quum latera quinque intrinsecus Triangulorum sint aequalia ,& bases aequales. Constat etiam quinque angulos Pentagoni, qui ad Peripheriam , esse diuisos in decem angulos aequales, per quartam Primi. Duco itaque inter duas lineas r a& p H , lineam G H, parallelum lateri A B , & tangentem Circulum A B C.per ea quae docuimus ad decimam sextam Terth : atque hilic similes duco H x,Κ L M, ungulis lateribus B c, C D,& o E parallelos
Et quoniam F c cadit in duas parali
los A B & G H , erunt duo anguli F G H 8cr H G, duobus p A B & F B A mutuo aequa- les, per secundam partem vigesimaen Onae Primi: ob idq; , inter se aequales. Et per sextam igitur Primi, duae lineae r c& F H aequales. Eadem ratione erunt duo anguli F H κ & F Κ H, duobus p G Η& p H C mutuo aequales: & F K aequalis
r H : quapropter & ipsi F c. inum itaq; anguli qui ad F, sint aequales erit, per quartam Primi, basis H κ basi GH aequalis. SI- militer probabuntur tres lineae F k, F L , & F M , aequales duabus p a & p H : Duae item bases K L SI L M , aequales duabus C H STH x : Et anguli,quos cum ipsis FK, FL,&FM faciunr, aequales inter se. Iam connecto quintam lineam M G : quae erit aequalis quatuor prioribus , per ipsam quartam Primi: quum duae lineaer a & p M probentur aequales: sitq; angulus G F M aequalis unicuique angulorum qui ad F. Haec etiam tangit Circulum. Ad punctum enim contactus ipsius L M cum Circulo, quod si is, ducor M. Et constat, ex decimaseptima Terth, utrumque angulum qui ad N , esse rectum. Q propter quum angulus L, Trianguli F L N.sit aequalis angulo M, Trianguli F M N:& angulus N unius , aequalis angulo M alterius: & F N utrique Communis : erit, per vigesimamsextam Primi , N L aequalis N M : sic ,
x rus diuisa qqualiter in puncto N.Et quoniam tria latera Triari-
218쪽
ὰ i I IDE ' R I I:l I. , is guli, F o P, tribus latesibus Trianguli F M p terit angulus P unius, aequalis angulo Patre ius, per octauam Primi: quapropter v xerque rectus , per de Minam tertiam ejusdem. Quum itaque duo anguli F--F p M . Trianguli F M p', sint aequales duobus angulis h MN N F N M,Trianguli F M N:& latusF M vrrique communς:erit F p aequalis fi N. Sed F N est a Centro ad Periptim iam. Et erit Jgitur F p a Centro ad Peripheriam. Quumq, Ma sit ad E p perpendicularis : ipla , per Consecta- .rium decimaequintae: Tertis, contingit Circulum. Quare. HK, LM Pentagonum circumscriptum circulo a qui laterimi: Quod & aequi anguluin probatum est, ex aequalitate dimidiorum: sicut facere Oportuit. i. Atque haec Demonstratio quamuis amplior videatur,tamen ipso intuitu sese explicat. PROBLEMA 13, PROPOSITIO XIII.
In dato Pentagono aequi latero & aequiangulo Cir
myIαγαπον, o τε Γ ἰαλνιον, κύκλον ε Sit datum Pentagoniim ABC DE aequilaterum&aequiangu- lum, in quo describendus sit Circulus. . . . . i' Duos angulos ad unum quempiam laterum ipsius Pentag ἔ, adiacentes , ut A & E , diuido aequaliter, ductis lineis Arde- , p : Quae con eurrent intra Pentagonum ad punctum T. A quo ad unumquodque laterum Pentagoni, duco quinque perpe diculares P C,F H,F R,F L,& F M. Tum ad duos angulos hinc in- . de proximos a & D, duco P B & F D. Et quia duo anguli Α & M, Trianguli Α F M , sum aequales duobus angulis A&G , Trianguli Ap G : o lanis AF commune uerit; per vi gesimxmsextam Primia M aequalis r c. Ac similiter, per eandem, erit F L aequalis PM, sumptis duobusTriangulis E F L& E F M. Rursus,quum duo latera A R & A F,Tria- guli A a F,sint aequalia duobus A E N A P, Triangu i A E E : & angulus Α unius, ae-A α qualis
219쪽
its ELEMENT. EVCLI squalis angulo A alterius rerit, per quartam Primi , angulus
A B F aequalis angulo A E F. Et quia totus B toti E est aequalis,& E diuisus aequaliter: erit & n diuisus aequaliter. ' Eadem ratione probabitur rotus B aequaliter diuisus: sumptis Triangulis E A D & E D p.
Quia ergo duo anguli si & ε, Triangulici ν B, sunt aequales duobus angulis H δc B, Trianguli H F B i & latus FB Commune: erit per vigesimam sextam Primi, F H aequalis p C. Eadem ratione probabitur P K aequalis F L, sumptis Triangulis L F D&KF o. inum igitur quinque lineaes c, FH, F x. F L,&p M sint aequales: erit F Centrum Circuli. per nonam Terti j. Qui secundum ipsarum quantitatem descriptus, tanget latcra Pentagoni, per primam partem decimaequintae Terti j: Quod erat faciendum. INIT io con structionis praemonstrat Campanus , lineas
A p & Ep, diuidentes duos angulos A dc E , concurrere intra Pervagonum. Sed hoc conitabat ex antecedentis compositione : in qua F G & F H , ad Centrum F terminatae probabantur
aequales. Nam ex hujusmodi constructionibus, Consectari acqlligi solent. Quod ex prima Terti j,&decimaquinta ejusdem, moxq; ex decimaquinta hujus aliisq; Propositionibus satis
multis videre est. Sicut etiam ex hac sequitur, immo ex antecedente : Lineas perpendiculares a punctis mediis laterum Pentagoni eductast, per Centrum Circuli transire. angulosq, oppositos aequaliter diuidere. Vt hoc loco, Ax est linea una, diuidens angulum A, latusq; C D aequaliter: ac reliquae in eun- .dem modum. Quod sic ostenditur. Spatium illud circa Centrum F, aequale est quatuor restis: qui in decem aequales diuiduntur, decem lineis in F conuenieraeibus. Quinque igitu anguli AFM, MFc, EFL,LFD 3c D p x sunt duobus rectis aequales. Qitapropter A F & F K , per decimamquartam Primi, unam lineam cisciunt. Eadem & de caeteris lineis erit probatio. Atque hoc in omnibus Figuris aequilateris impatium laterum est pcrpetuum. . PROBLEMA. t , PROPOSITIO XIIII.