장음표시 사용
221쪽
xso E L ENE N T. E V C LIDIS esse Hexagonum quale proponitur. , A. Erit enim ex Themate primae Propositonis Prim , trutaque Triangulorum B E C &CED aequilaterum : Ec per quintam Mustam,t 4 aequiagulum. Duo igitur anguli 3 E C & C E D
quopiam aequali, cssicient, per triagesimamsecundam ejusdem , duos tectos: i, quum uterque sit tertia pars duorum recto- Ium. Et quia ijdem Buc & CE Daeum angetilo D E c, essiciunt duos Hectos, per decimam. , .' , DP tertiam ejussiem erit D , C aequalis utrique illorum. sunt liaque sex anoli qua ad E , aequaJe . Et sex igitur Arcui qu6s compyehendunt, Huales. per vigesimamquintam Τertij: Quapropter & sex illorum subtensae aequales , per viagesimamOctauam ejusdem. AEquilaterum igitur Hexagonum. Sed &requiangultim , per rigesimamsextam ejusde .propte- qaod Arcu, in quos caduri , he ales sunt: nempe singuli sexta pati Peripheriae:Quod fuit consti furiam. . , Α L, I T ER. Sit in Circulo ΛηC DE , cuius Centrum F, de scribendum Hexagonum aequilaterum re aequiangulum. Α Centro p duco Semidiametrum F A. . Tum ex puncto per primam hujus,accommodo lineam AB aequalem ipsi Semidiametro: Q inundimus e latus Hexagoni aequilateri & aequi- Connecto F s. Et quia A B est aequalis p A : est & aequalis PB. Triangusum 'igitur A F η' equitaterum: St, per quintam primi. aequiangulum. Constituo postmodum super F Centro, angu
Ium RF C aequalem angulo A F B , Vel angulo F B A , quod perin- , I .de est , ducta linea p C: & connecto B C.Et - quia Ap B est tertia pars duorum rect
Primi,erunt duς tertiς duorum rectorum, per trigefimam fecundam ejusdem. V Ves pes Marram Primi, quum angulus Erc sit aequalis F BA. duoq, laterar u&rc sint aequalia duobus A a & B p : erit basiv
222쪽
LIBER I IIIo syrn e aequalis basi a v : quapropter & ipsi ν c. Triangulum igiturr a eaequi laterum &aequiangulum. Demum constituo angulum CFD aequalem utrique angulorum qui ad F, positi sunt,ducta linea F D:&connecto CD. Eritq; jam exposita ratione,Tri ' gulum T c D aequi laterum & aequiangulum. Quiamq; irps 3nguli qui ad F, duobus rectis sint aequales, est enim unusquisquem tia pars duorum rectorum : erit, per aecimamquartam Primi, An linea una: ob idq;. Diameter Circuli. Alter igi- . tur Semicirculus A F D,in eoi partes aequales diuidetur, in quot A B c. totq; aequales subtensas comprehendet. Quare A sest νrus Hexagoni aequilateri Circulo inscribendi. Quod &πqu angulum erit: nam dimidium totius a , aequale est totius,c α- dio : QEod fuit faciendum. i et . ' .Q vvM 'igitur duxerimus ab v Centro perpendicularem
P E,&connexuerimus B E & C E:effecerinius Triangulum B E er Cujus angissus E,qui ad verticem, erit sexta pars duorum rect ' Tum, per decimam nonamTerth. Nam B F C angulus, ad ipsum. duplus. Vterque vero duorum E B C & E C B angulorum ad b
sin, erit duplus sesquiplex , seu duplus sesquialter. ad ipsium Riangulum. Atque haec erat ars inueniendi lateris Hexagonici. 4 Duae igitur Demosistrationes modo inductae, compendiariae
Poterat. etiam inscribi Hexagonum ex Trianguli AEqua teri inscriptione, diuisis unoquoque trium Arcuum per aequa
' - SED jam hoc Figurarum inscribendarum negotium eiu
Quaecumque imparium sunt laterum Figurae, ere Circulo inscribuntur adminiculo Triangulorum Isoscelium , quorum duo anguli qui ad basin , multiplices sine ejus anguli qui adverticem. Triangulum itaque 2Εquilaterum quod est primum imparium laterum, atque ob id, tot habet Privilegia ὶ seipsum explicat: idq; habet ab Unitate, per quam designatur. Constituto euim Triangulo Isosceli ad Peripheriam,Cujus duo anguli,qui ad basin. aequales sint angulo qui ad verticem AEquale vero sutipsius multiplex est, ve Unitas) ipsa basis erit latus Trianguli AEquilateri Circulo inscribendi.Ac sicaEquilaterum, tauquam Isosceles consideratur.
223쪽
tyr E L E M E N T. E V C L I D I s Pentagonum autem, quod est secundum imparium, repe- .ritur officio Trianguli I sicelis, cujus uterque angulus qui ad basin, duplus sit ejus qui ad verticem: sicut demonstratum est ni viidecima hujus. Heptagonum vero,per Triangulum cujus uterque anmius, qui ad basin; triplus sit ejus qui ad verticem: Ennagonum: quadruplus: Undecangulum, quintuplus : Tredecangulum, sextuplus: ac sic continenter. I PAR IvM autem laterum Figurae aequilaterae Circulo inscribuntur, ossicio Triangulorum Isoscelium , in quibus amguli qui ad basin , sint multiplices sesquiplices ejus anguli qui
Vt Quadratum t primum parium laterum , atque eam ob .cauiam etiam tot habet priuilegia) inseribitur Circulo: ex Triangulo I sceli ad peripheriam collocato , cujus uterque angulus qui ad basin, si sesquiplex. seu sesquialter, ejus anguli qui ad verticem. Sed, compendij caussa, aliter docuit Euclides an iuxta hujus. Hexagonum, secundum parium, ossicio lisse iis,cuius uterque angulus qui ad basin, si duplus sesquiplex jus qui ad verticem : Octogonum triplus sesquiplex: Decago .num, quadruplus sesquiplex: sicq, in continuum , per Figuras parium Iarerum. Atque ex iis innumerabiles abundant med
. . At vero immu tum laterum Figurae, ideo dissiciliores cognti tu . quod pleraeque ipsarum per numeros Primos repraesen- xpurus; Qualys sunt 3, S, T, I 3, 17 acs miles. Sed de his alias uberius, ut ante polliciti sumus. Haec tamen in Hexagono do- .cere potius vissim est, quod ipsum sit maxime perspicuum :at que ob eam cati sim quod per senarium numerum significetur,
qui primus est Perse morum.. l. consecta m
Latus Hexagoni Circulo inscripti, aequale est Cirmculi Semidiametro.
a Hoc veris sitis constat ex utraque Demonstrati onum: Ina me ex secunda . quae per Triangula AEquilatera pto dir, quorum latera simi Semidiametria .
224쪽
culum , Hexagonum aequi laterum & aequiangulum ut describatur : neque ut inrr.h aut circa Hexagonum , Circulus : quod fatis esse putaret de Pentagono proposui sie:ex cu us comparatione, reliquae species AEqui laterae Circulis accommodabuntur,atque iisdem Circuli. Illud insuper obseruandum, Omnem Figuram aequalium laterum Circulo inscriptam aut circumscriptam aequalium quoque esse angulorum. De inscripta constat ex vigesima septima&vigesimasexta Tertii: sumptis binis quibusque Arcubus contiguis, quos duo latera angulum continentia subtendunt. De circumscripta autem, ductis lineis Centro Circuli ad omnes angulos ipsius Figurae N ad punctae Contactuum : sicut ex themate decimaetertiae hujus ostendi
Hic etiam animaduerremus, quod & supra in quadragesima sexta Primi monuimus, in Figuris parium laterum, lineas ab angulis per Centrum ad angulos duci: sed in Figuris imp rium laterum,ab angulis per Centrum ad latera. PROBLEMA ig, PROPOSITIO XVI.
In dato Circulo , Superficiem quindecim laterum
aequilateram & aequiangulam inscribere.
Sit in dato Circulo ABCD in stribenda Superficies quindecangula 'aequilatera & aequiangula. lii tra Circulum . per doctrinam secundae hujus , & primae ejusdem, applico latus Trianguli AEquitateri, quod sit A C : & , per undecimam hujusce , latus Pentagoni, quod sit A B, in Arcu A C. Qualium itaque segmentorum aequalium tota A E c D Peripheria est quindecim, talium Arcus ABC , tertia pars ipsius, erit quinque : de Arcus A B quinta pars cadem erit trium: ob idq; , residuum BC, duorum aequalium.
225쪽
i94 ELEM: EVCL. L B. IIII. a Secetur , per trigesimam Teriij, Arcus a C bifariam in E puncto. Et erit uterque Arcuum BE&E C d I , ' cimaquinta pars totius Periphe-N. , . riae. Si igitur conjunxerimus rectas
canguli a qui lateri Et tales tres ad-
mittet Arcus Ag, sicut astruximus: fientq; in Arcu A C , quinque deci- maequintae totius Peripheriae. Qui quum sit tertia pars ipsius, reliquae duae tertiae C D & D A, in tot tantasq; sectiones diuidentur: quarum subtensae, erunt latera Quindecanguli aequilateri: Quod erat faciendum. SIMILITER autem ut in Pentagono,si per quindecim puncta diuisionum aequalium Circuli, duxerimus lineas tangentes: circa ipsum Circulu describe . . tur L indecangulum aequilaterum &quiangulum: Atque injuper iisdem, quibus illic, obseruationibus, dato Quindecangulo Circulum inseria
226쪽
Pars est Magnitu do Magnitu dinis mi
nor majoris,quum minor majorem me
Iti explicandis hujus Quinti Definitionibus , Numeros nobis accommodabimus. id enim disciplinae gratia in Principio rum ostensione licet: in demonstrationibus autem Proposi tionum,Geometrica dignitas seruanda est: Alia quippe ratio& natura Continuorum , atque alia Discretorum. In quibus dam tamen adeo religiosi non erimus: nempedum inantitatis vocabulum pro Magnitudine viurpabimus. Quamuis nim hoc peculiarius, illud generalius sir:Vtrumq; tamen Gepo- metria paruo discrimine sibi vendicar. Partem itaq; hoc loco plerique esse purarunt, quae rorum aequaliter diuidit : scilicet quae aliquoties sumpta, Totum integre constituit. Ac sic binaria denominatio neque Ternarij, neq; Quinarij , neque ullius imparis integri pars erit: sed tantum Quarer irh, Senarij, &' parium. Sed, meo iudicio, non recte accipiunt. . Neque enim Proportiones aliter quam generatim considerandae sunt. Αtque ut, in Discretis, omnis Numerus est pars aut partes majo- ris sic& in Proportionum materia, omnis Magnitudo rars aut partes majoris, quum Propoetici rationalis ostr hoc est, B L Pςr
227쪽
L I B E R RRatio seu Proportio intereas aduenit Magnitudines . quae
sunt ejusdem generis. Vt enim neque Numerum ad Sonum, neque Tempus ad Locum recte quisquam Comparauerit: sic neque Lineam ad Superficiem, neque Superficiem ad Soll-dum. Linearum vero ad Lineas. Su cierum ad Superficies.& Solidorum ad Solida conueniens fiet collatio. Quaedam autem dicitur, non certa. Omnis enim Linea ad alteram habet rationem aliquam,non tamen Certam. Atque eiusmodi Quantitates dicuntur irrationales , incommensurabiles, seu incommunicantes: qualis est lateris Quadrati ad Diametrum. Certae vero rationes seu nominatae, sunt quae per Numeros indicantur. Quarum denominationes ex Arithmeticis petuntur. ΑναυγIα δι-ομό-.
4 Proportionalitas, est Proportionum similitudo.
, Ut si dicatur ea esse proportio A ad a, , quae est C ad D t ejusmodi similitudo seu
Comparatio , Proportionalitas vocatur. Male igitur verterunt quidam Proportio' ' nem loco Proportionalitatis. Αναλγία nim alias Proportionem significat Quintilianor hic vero Proportionum iuniii tudii iein,quam Proportionalitatem diximus, utcumque vox parum Latina sit:quales & huc fuis multae incl-dunt Λογν μοι, λεγο , αδ-LI οπλλαπλασγα-- λων
1 Rationem habere inter se Magnitudines dicun
tur,quae multiplicatae, possunt altera alteram excedere.
Non poterat alio ingenio vim substantiamq; Rationis inter Magnitudines exponere , quam Multiplicationis vocabulor ut etiam incommensurabiles includeret. Excessus enim, index Comparationis Quantitatum Quum ergo latus Quadrati multiplicatum possit Diametrum excedere: Diameter item multiplicata, Peripheriam : habebit rationem larus ad Diametrum: atque inde Diameter ad Peripheriam,licet incognitam. Atqdeest hoc loco satis colligitur ,Angulum, quem contactus vocavit
228쪽
Euclides ili xv Tertii, quantitatem non esse , quum multiplicatus nullam magnitudipem possit excedere : immo , quum multiplicari non possit ut illic demonstrauimus. Multiplic tionem autem hoc loco accipiemus', pro eo augmento quod fit in partes , quas vocant homogeneas. . Linea enim multiplicata . id est; aucta partibus sui similibus , lineam excedet: sed non superficiem: sicq, .ad superficiem non habebit rationem.
In eadem ratione Magnitudines dicuntur esse, prima ad secundam ut tertia ad quartam : quum primae & tertiae aequemultiplicia; seeundae item & quartae sequemultiplicia, fuerint primum secundo & tertium quarto secundum quamuis multiplicationem, aut simul aequalia, aut sim hil majora, aut simul minora..
Quia in Geometricis plerumque Rationes occurrunt Ihc 'gnitae : seu inn 'minatae: ad earum probationem, AEquemulitiplicium officium nobis accersimus: quae quidem varicitamparamus, ut scopum attingamus.Hoc igitur innuit Definitio, Si fuerinv quatuor magnitudines, videlicet A prima , B secunda,Ctertia, & D quarta : sumantur autem ipsarum A & C aequemultu. plicia E & F, itemq; ipsa-
i 'st alterum alteroma uS: , etiam r& Η sese inuicen equare, aut esse alterum altero m
jus: Erit tum A ad a, sicut C ad D. Scilicet , si a & F per duplum: auctis sed ci& H, vetes caussa, per triplum: sit E aequale G, & si aqui sit s aequale Mi aut si E sit majus c, sit simul p majus H: aut si minus, minus: idq; porsat , seu per triplum. per qua-
229쪽
L I B E R V. ' ' I9sdruplum, seu per quamcumque denominationem sumantur ae quemultiplicia:erit omnino A ad B sicut C ad D. Erat igitur hu jus Definitionis sententia: Quum primae & tertiae aeque multiplicia, aliaq; secundae& quartae utcumque aequemultiplicia sic fuerint, ut si multiplex primae aequale fuerit multiplici secundae , sit & multiplex tertie aequale multiplici ipsius quartae:& si majus,majus: & si minus, minus : Erit prima ad secundam;
ut tertia ad quartam. Sed in haec verba non pronunciauit Euclides , ne Theorematis speciem daret,non Principit. Multo minus sic pronunciauit,In eadem ratione Magnitudines dicu-tur esse, prima ad secundam ut tertia ad quartam,quum prima:& tertiae aequemultiplicia, seCundae item Se quartae aequem ultiplicia, fuerint primum ad secundum, ut tertium ad quartum. Ignotum enim per aeque ignotum dcfiniiter. . .
At dices, Tam difficilis est, immo sortasse difficilior hujus
inodi aequalitas aut Excessus AEquem ultiplicium, quam simplicium inter se ratio. Non est sane. Maiorum enim Quantitatum facilior est comparatio, ob partium numerum .i Multiplicia enim pro arbitrio collocare & accommodare possumus, de ex ipsorum artificiola constructio he, simplicium rationem cotiligere. Praeterea, quum duas Magnitudines duabus conferor
Vnum tamen uni confero, nempe rationem rationi: sicq, in-.tra binarium consisto. Qtium vero multiplicia .multiplicibus: Maternarium considerem oportet, nempe multiplex primae, secundM,tertiae, quartae cum simplicibus ipsis. . Atqui latius. Patet quarernarius binario. Quum igitur tractabiliora sint aeque multiplicia, jure obiicio n poterit,quod ignotum per aeque ignotum ostendatur. Huc accedit quod quum mox egeremus Incoli tua Proportionalitate, ejus omnino fuit facienda naetio sub Definitionis titulo: ne in Demonstrationibus futuris inge- .nia auscultantium interciperentur, re inaudita. Nemo itaque.
offendatur quod Principium difficile sit. Definitiones enim
subtiles esse nihil vetat, praesertim quum res complicata defini, tur qualis est ratio Magnitudinum. Nam & in traditionibus Dialecticis saepe euenti, ut Definitum celerius promptiinq; Capiamus,quam Definitionem ipsam. Nemo enim est qui prius non capta Hominem;quam animal rationale. Quu veho se stantiam Hominis cognoscere cupimus , tum uobis plenius
230쪽
sitis facit De finitio. Possunt aute e)usdem esse generis Magnitudines: & possunt non esse. Dicemus enim, sicut Linea ad Lineam, ita Lineam ad alteram: sed & sicut Linea ad Lineam, ita Superficiem ad Superficiem. Neque omittendum duxi quod hoc loco Euclides generatim locutus est,sicut prima ad lecundam ita tertia ad quartam: ut utramque intelligeremus & Continuam & Incontinuam Pi oportionalitatem. Vtrobique enim quatuor sunt Magnitudines : in hac expressae, in illa tacitae. Nam quum dicimus Continue, sicut A ad n ita a ad C, quatuor sunt Magnitudines.Nam ipsi a magnitudo, duarum vicem stipplet, dum consequi rur de antecedit. traque non ex Euclidis sententia fecerunt, qui Continuam Proportionalitatem separatiin definierunt: ut hic Campanus quinta sua Definitione. Nam quae utriusque sunt propria, hoc loco Euclides dissimulauit, communiter ambas una hac sexta Definitiope Complexus. . Quod vero dicitur,primum secundo & tertium quarto:hunc sensim habet, ut inaequalitatis & excessus ratione, Conseratur
multiplex primae, multiplici secundae : & multiplex tertiae. multiplici quartae: licet initio multiplex primae cum multiplici rertiae: & multiplex secundae cum multiplici quartae consum
gendum fiterit.'Hanc Definitionem quam potuimus clarissime expIIcau Gmus: ut controuersiam abigeremus ex huius Quinti Definitionibus ortam. Nam qui in his Campanum reprehendunt, meo judicio non recte reprehendunt. Neque enim Euclidem non liuellexit : Sed dum voces easdem identidem inculcati quae res fere una Proportionum materiam obscuram facit :ipse in orationis implicationem se conlicrt: ob Dialecticae, Ut apparer, ignorantiam. Unicuique tamen quod libere sentiae - de Lampano relinquimus, dummodo nos Proportiones Geometrice tractemus.
., 7 Magnitudines vero, quae in eadem sunt ration Propintionales dicuntur. '