장음표시 사용
231쪽
mitates inter quas est rationum similitudo, quae ηntea
. Proportionalitas vocata est,Proportion . ' les dicuntur.Vt si fuerit A ad 3 sicut B ad C: e erunt A,s, & C proportionales. Atque haec proportionalitas Continua: nam inter singulas continuatur ratio , propterea quod media consequitur ad primam, & antecedit ad tertiam. Si vero fuerit A ad B sicut Cad D: erunt de hae quatuor proportionales, sed incontinue: quia binae distinguuntur, ac velut . . interrumpuntur. Singulae enim unicam ' habent denominationem aut Antecedentis aut Consequentis.
8 Quum multiplex primae excesserit multiplex secundae, multiplax vero tertiae non excesserit multiplex quartae: majorem rationem habere dicetur prima ad secundam, quam tertia ad quartam . .
Haec manifesta est ex Sexta. Scilicet, Quatuor Magnitudinum nunquam major est proportio primae ad secundam quam tertiae ad quartam, quin contingat ali Oa aequemultiplicia primae&tertiae collata ad aliqua secundae& quartae aequemultiplicia, sic se habere, ut multiplex primae excedat multiplex se-c9ndae,neque multiplex tertiae excedat multiplex quartae. Neque hoc contingit unquam quin major sit proportio primaeia secundam,quam tertiae ad quartam. Et haec dicetur maior Improportionalitas. Quum vero multiplex primae minus fuerit, quam multiplex secundae: neque multiplex tertiae minus fuerit, quam multiplex quartae : erit minor ratio primae ad secundam, quam tertiae ad quartam. Atque haec minor Impro-hottiohalitas dicetur. P
232쪽
. 9 Proportionalitas, minimum, in tribus est termi
nis. - . '- Quia duarum Magnitudinum collatio latum ratio est, non rationum similitudo: fit viduae, Proportionalitatem non Constituant: Tres itaque, minimum , debent esse : Qui numerus Continuam semper Proportionali intem costituit. Possunt amtem & in Continua quatuor esse quantitates: hoc est, tam impari quam pari numero. At in incontinua , neque pauciores quam quatuor,neque impari sunt numero.Quod qui attentius considerauerit, coperiet Euclidem hac ratione inductum Proportiobalitatem Continuam & Incontinuam non separasse. Meminisse tamen oportet, Parem numerum praeesse omni Proportionalitati. Nam quum dico ut A ad n ita a ad C: duarum rationum fit comparatio,ut antea dixi is. Itaque Binarii vim sic innuit Euclides.
io Quum tres Magnitudines fuerint proportionales : dicetur proportio primae ad tertiam sicut proportio primae ad secundam duplicata.
Definit Proportionalitatcm trium Qualitatum. Cujus Definitionis explicatio haec est. In proportionalitate trium Qualitatum, latet Quadrati natura Scilicet tantum producunt duo extremi termini inter se,quantu medius in se. Ob id,proportio extremorum inter se , cit duplum proportionis primi ad secundum . Quod nssi per Numeros satis definite exponi nequit. Sint 2 ad qAEt ad 8. Haec est proportionalitas Contonua in dupla ratione. Duco 2 in 3,fiunt I 6:de tantundem producunt 4 in se. Itaque , ex definitione , erit proportio 2 ad 8, denominata a Quadrato Binarij , proportionem primi ad secundiim denominantis: nempe quadrupla. In tripla ratione, sint L ad 6 ut 6 ad I 8. Dcnominationem proportionis primi ad secundum,nempe 3,duco in se: fiunt nouem, denominator .proportionis 1 ad I 8. Atque haec est Definitionis sententia: ex qua binaris, ternarij, & quaternaris elicitur mira colligatio.
233쪽
L I B E R P. 1 3Nam In tribus Quantitatibus quatuor insunt: atque hujus affinitatis, binarius est index. Hujus enim numeri lingularis proprietas cst, quod tantum efficiat duplicarus, quantum in seductus. Ea re Euclides duplicaram proportionem dixit, quasi Quadraram : propterea qu6d binarius Quadrati est index: ut caeterae denominationes naturam primae sequerentur: scilicet tripla proportio duplicata, eadem esset quae in se ducta. Q ita-dratu itaq; per Binarium significatur , sicut Cubus per Tetnarium,Quadratum quadrati,seit,ut Vulgo dicunr, Censius census, per Quaternarium:& Super selidum Relatum primi. m dicunt, per Quinarium : sicq; infinite : Quod nos satis luculenter ex posuimus in priore libro nostr Algebrae. Quum igitur Qi aD-titatem quantitati comparamus , unita, repraes tatur in Numeris : in Continuis, linea. Trium vero iniantitatum collatio in Numeris, Quadratum in Continuis, Superficiem: quatuor denique proportio in Numeris. Cubum : in Continuis, Solidum. Hac autem speculatio in immensum patet. Hinc pendet infinitio sequens.
νε Quum quatuor 1lagnitudines continue proportionales fuerint: dicetur proportio primae ad quartam sicur ptimae ad secundam triplicata:ac semper oriadi ne una plus, donec sit absoluta proportionalitas.
Quatuor Quantitatum continua proportionalitas, cubi includit naturam : sicut trium , Quadrati, ut modo diximus. Cubi aurem index est Τernarius. Proportio iraque primae ad quartam, est proporrio primae ad secundam triplicata: nemphDenominatore tu se cubice ducto. Vr in Numesis , sinu 1 ad 4 ut 4 ad 8 & 8 ad 3 . Denominator Proportionis, est Binarius. Duco itaque Binarium in se cubice, fiunt 8: &tanta est proportio primi ad quartum : scilirer 2 ad 16, octupla. In quinque autem Positis, erit proportio Primi ad quintum Madrupla quam Primi ad secundum: In sex,quintupla: sic continenter, donec ad ultimum par Magnitudinum perueniamus. Atque
234쪽
1o ELEMENT. EUCLIDIs haec est Definitionis sententia. Sed quia natura supri Corpus nihil habet quod sensui exponat, in Geometria non considerantur proportionalia ultra qliatuor Posita. In numeris autem, qui sunt velut interpretes quidam rerum continuarum , ut omnia quae tormam habent, infinita esse ostenderentur , aperte in immensum exurgunt progressiones Proportionalitatum, omniumq; specierum quae normam recipiunt: Quasi sensus finitus Inici lectus vero interminatus esse comprobetur.Huc autem Numeros asterre fuit necessarium. Dupla en m& tripla ratio , Numerationem prae se sert: neque aliter quam per Numeros expediri potest.
i 1. Similis rationis Magnitudines dicuntur, Antecedentia antecedentibus dc Consequentia cosequen
tibus. . Similitudinem Rationum antea pr6posuit: hoc est, Propo itionalitatum : hic similis rationis Magnitudines, suis appellationibus nuncupat.ac si diceret,Magriitudines Proportionales significantur,quatenus antecedunt & Consequuntur. Scilicde, siumuntur aequemultiplicia' Antecedentit:m , di aeqv multiplicia Consequontium: ut ex iis proportionaliIatem Magnitudinum colligamus. Hanc itaque apposuit Euclides, ut vocabula, quae dicunt, artis exprimeret. 'Antecedentium au tem Consequeritium variae sunt comparationes: quae- De. finitionibus sequentibus explicantur. το ε μυον, i ,
i 3. Permutata Ratio ; est acceptio Antecedentis ad antecedens', Ut Coli sequentis ad consequens.
Primabomparatio Magnitudinum, quae, pronuciatione na- ωeall, est unius Antecedentis ad sumn Consequeris, sicut alte- 'ilus Antecederitis adsium Consequens, dux est atque oriso
235쪽
eaeterarurn comparationum: ac primum Per- mutatae: in qua mutatur secundum Antec dens in prius Consequens , & prius Conse-- . quens in secundum Anrecedens. ci rVt si fuerit Λ ad B sicut e ad D:& concludatur, A ad c sicut B ad D : haec Permutata dicetur Ratio. - Αναυγν, - εχπρονου ούς ἡ μενου, - ηγουμ νον ιοῦς ἐπομφον.
1 Conuersa Ratio, est acceptio Consequentis tanquam antecedentis, ad Antecedent tanquam con '
sequens. . , , In hac conuertuntur duo Consequentia in duo Antecedentia ,.&contra. Vt si fuerit ό A ad B sicut C ad D: & concludatur conuerso a modo, Bad Λ sicut Dadc.
is Conjuncta seu Composita Ratio, est acceptio Antecedentis cum consequenteinstar 'nius ad ipsum
. Vt si fuerit A ad n sicut cado:&- Concludatur totum Λ B ad B sicut totum c Dad Dr dicetur Cynjun seu
ic Disiuncta seu Diuisa Ratio, est quum augmenta Antecedentium supra Consequentia, ad ipsa Consequentia comparantur. OVt si suerit totum A Bad a sicut tae
ium c D ad D: dc concludatur, A ad B
236쪽
aos ELEMENT. EVCLIDIS sicut c ad p. Et est conuersiis modus Conjunetae. Αναποφη λιγου, - ἡγουμ- αγρος 3 et rata , li χαε
, Euersa Ratio , est quum Antecedentia comparantur ad excessus quos habent supra Consequentia.
. ' a Euersio Rationum, fit quum Antece-ἡ dens comparatur cum ea quam habet ad Consequens disserentia. Vt si fuerit A B ad B sicut c D ad D : & concludatur, scut A B ad a, ita C D ad C.
I 8 AEqua ratio dicitur, quum phares Magnitudianes hinc inde aequali numero sumptae, & binae comparata: fuerint: tum aequali mediorum numero subla
to, fit extremorum Utrimque comparatio. Vissumantur Magnitudines A, B, & C: aliaeq; totidem D E dis i siue sint ejusdem gerieris cum primis, siue diuersi: fue- , αν rintq; secundae interti it α- se in eadem ratione T' qua primae: siue eodem ordine, ut fi di catur A ad B Mur D ad E , & B ad c sicut a ad F : siue ordine conuerso, ut si dicatur A ad B sicut E ad ν, & a ad c sicut. D ad 3 ratque omissis mediis unisque ΒεζE,co ' cludatur A ad c sicut D ad 3: Haee -- gumentandi ratio dicetur, ab AEqua Proportionalitate.
237쪽
Si quaelibet Magnitudines totidem Magnitudinum singillatim aequemultiplices' fuerint: quam multiplices sunt singulae singularum, tam
tiplices erunt omnes Omnium. tal
Sint Magnitudines A a & c n. totidem Magnitudinum E &r aequemultiplices: scilicet A B ipsius E , & c o ipsius F. Dico, quam multiplex est A Bipsius E, & c D ipsius F : tam mestiplicea
esse ambas AB, CD, ambatum E,F. .
Quoniam enim aequemultiplex est A a ipsius B, ne a ipsius. P: quot in A B sunt Magnitudines , aequales ipsi E , totidem erunt&in CD ipsi P aequales. In An igitur sint Magnitudines AC, G H, & H B, aequales ipsi s :& in C D
. ' tudinum in AB M in cnsit eadem: - sitq; AG ipsi E aequalis, & c x ipsi ν:erunt, per communem Notionem, duae a c&ex simul sumptae, duabus si & r si inui sumptis aequales. Quum c Hsreide B aequalis:& Κ L eidem F: erunt quoq; Ο Η & x L simul sumptae, ipsis E N psimul sumptis inuales. Atq; eadem rationes aditibsimul sumptae,iisdem Ε & p simul sumptis aequales. Quot igitur in A a sunt Magnitudines quales ipsi E,quoiqi in c D ipsi F:tot sunt in Λ Η εt co smul sumptis,ipsis E & p simul sumptis ςqu leo. Quamultiplex igitur est A B ipsius E,& C D ipsius 3: tam mul tiplices sunt A B,c D, ipsisuma, F : Quod erat ostendendum.. Qv v M autem hu)us primae Propqsitioni. vim rationemq;
238쪽
,M E L E M E N T. E v C L ID I sperpenderimus, totam incommuni judicio sitam esse intelligemus. Nam quum dicitur, Si aequalibus aequalia addantur, conjuncta aequalia fieri: nihil aliud quam aequalitas proportionum significatur. Scilicet. si fuciit M aequalis N : & o aequalis p: quatuor habeo mantitates proportionales. Est enim sicut Mm ad N , ita o. ad p. Si igitur addamus o ipsi M,' 'dc p ipsi N: fiet totum Mo, aequale toti N P. Ira, quum dico AB triplum esse ipsius E , & C Dipsius F: hoc tacite dico, si A B addatur ad C D , & E addatur ad F: totum A B, CD, esse triplum totius E, F. Sic aequalitas omnes Proportionum species dirigit N gubernat. Ac quemadmodum aequalitas aequilatcri addita , aequalitatem conseruat: ita multi- plicitas ut sic dicam, multiplicitati addita,proportionalitatem retinet similem. Sed in quatuor Magnitudinibus aut pluribus aequalibus, nihil refert quae cui praeponatur: Mutato enim ordine, non mutatur denominatio. Quum vero Occurrit inaequalitas, distinctius animaduertendum est. Maiori enim arreopux est, in iis, quae non ordine collocata, confusionem parere solent. Tota igitur Proportionum materia Die in communi
intelligentia consstis. . Nam quod tam dissicilis habita sito ex praesempta quadam opinione factuni est. Proportionum enim tractatio obscura non est : sed eam ad usum traducere , id domum operosum est. Aliud enim est artem tenere, & aliud ad rem suam conuertere. Sicut in rebus gerendis, quid optimum fit multi in otio scienter disputant. At quum in rem praesentem Φerum est: quod ex usu est, vix unus aut alter exequi meminit. Multas itaque Propositiones in hunc Quintum Librum Euclides contulit, quae pro Principiis habendae fuerant. Sed id exquisite secit, ut fgnificarer, Propositionum quidem cognitionem in medio esse positam. ,.sed earum usum difficilem. Hunc 1gitur Librum diligenter amplectantur qui Geometriam serio facere volent. Ometria enim quantacumque est,tota in Proportionibus est: neque aliud quicquam spectat, quam ut Lineas: Lineis, Superficies Superficicbus , & Corpora Corporibus componat & comparer. Atque haec in hac prima Propositione praeiari , non abs re nobis visum est.. THEOREM A i, PROPOSITIO II: Eo πρωαν--ἰσαλις--, H 'είαν --A: ip
239쪽
Si prima secundae aeque fuerit multiplex ut tertia quartae, fuerit autem & quinta secundae aequem ultiplex Vt sexta quartae : prima quoque & quinta, secundae aeque multiplex erit ut tertia & sexta quartae.
In hac de sex Magnitudinibus agitur. Sit itaque A B prima, C secunda, D E tertia , F quarta: BG quinta , & E H sexta : sitq; prima A B , secundae C , ut tertia DiE , quartae F a qbemultiplex: Et quinta rursus B C,ejusdem C secundae : ut sexta EH , Musdem FJquaitae aequemultiplex. Dico compositam ex prima & quinta, scilicet A C, ipsi G secundae C aequemultiplicem, ut compinsitam ex tertia & sexta, scilicet D H ipsius quartae F.
-- -- - - C aeque est multiplex , ut D B
ω - ipsius 3: quot in AB sunt Ma- . H gnitudines ipsi C aequales tote & in D E ipsi P. Rursus quoniam BC aequὸ est multiplex ejusdem c, & E N ejusdem P. quot in B G sunt Magnitudines ipsi C aequales , tot & in E H eidem F. Quot igitur sunt Magnitudines in tota A C ipsi c ςquales,tot sunt & in tota D H ipsi F equales. Quammultiplex igitur est composita A G,ipsius C secunde, tam multiplex est, per antecedentem, composita D H , ipsius pquartae: Quod suit demonstrandum. THEO REMA 3, PROPOSITIO III.
Si primum secundi aeque fuerit multiplex ut tertiuquarti, sumantur autem aequemultiplicia primi de terrii erunt quoque multiplex primi, ad secundurn , &
240쪽
Sumantur x ad x & L ad r: itόmque M ad G-M ad Η , aequemultiplicia. Et quia E & ν sunt ipsorum A, & C aeque multiplicia: itemq; κ&Lipsorum E& F aequemultiplicia, erunt, per antecedentem ,κ & L ipserum A & C aequemultiplicia: ac per I eandem M&Nipsorum B&Dqqu j I ii multiplicia. Quare, per conuersionem sextae Definitionis, x ad M &L ad N similiter se habebunt in addendo,minuendo, & aequando. Quia ergo x &Lapsorum E &F sunt aeque multiplicia: itemque M & N ipsorum G & H : erit, per eandem direliam, E ad G sicut pad M: Quod erat demonstrandum. L E M M A, seu simptio. Quoniam igitur constitit, si x ex- Cedit M. etiam L excedere N : & si aequale, aequale: & si minus, minus: atque ob id , si Mexcedit x, etiam N excedere L r & si aequale, aequale: & si minus, minus: Erit ex hoc, si ad E & M adseadem ratio. Hinc consequitur,
Si quatuor Magnitudines proportionales fuerint,
conuerso quoque modo proportionales erunt.
Si Magnitudo Magnitudinis aeque suerit multiplex ut ablata ablatae: erit dc reliqua reliquae tam multiplex.
quam tota totius. Sit tota A B totius C D aequemultiplex, ut ablata A E ablatae C F. Dic reliquam E B reliquae D F tam multiplicem, quam citiain ΛΒ t'tiu&CD.