장음표시 사용
241쪽
111 ELEMENT. EUCLIDI sinam multiplex est AB ipsius C F , tam multiplex: fiat E is ipsius C G. Eritq, , per primam hujus, quam a multiplex A E ipsius C F, tam multiplex AB ipsius C F. At quam multiplex est A E ipsius C r,tam multiplex est A n ipsius C D , per hypothesin. Et A B igitur utriusque. o F & C D , est aequemultiplex. AEqualis est itaq;, per Comunem Notionem, G F ipsi C D : quapropter ablata, communi C F : erit reliqua G C , reliquae FD aequalis. Sed E B aequemultiplex posita est ipsius C C ut A E ipsius CF. Igitur tam multiplex est E B ipsius F D , quam multiplex est A E ipsius C p. Atqui, per hypothesin,A E tam multiplex est ipsius C F, quam tota A B totius C D. Et E E igitur ipsius p D tam multiplex , quam tota A B totiu, C Dd Quod erat demoniti andum: H AE C Demonstratio, ut vulgata , ita cerra est. Sed tamen quia id exigitAluod nondum docuit Euclides: stilicet ut tam multiplex fiat E B ipfius C G , quam multiplex est A E ipsius c r: scrupulo non vacat, apud eos praesertim qui res perspicacius examinant. Nam si linea A E esset, verbi gratia, it iplex ipsius C p: qua ratione fiet E B triplex ipsus CC, quum id non ante doceat Euclides quam in duodecima Sexti ΘεDuriusculum enim est ut id cogamur facere aut concedere, quod posterius crit ediscendum. ' Huic igitur obiectationii sic occurremus, ut dicamus hanci diuisionem' in bunc locum tantum rocipi doctrinae gratia : scilicet ut procedat Demonstratio, non quo sit ad usum praesentem exquisite necessaria. Ponimus enim Lineam Lineae aequalem : licet hujusmodi aequationem Hondum didicerimus. Sunt enim hypotheses liberae: ut disciplinarum fundamenta jacia
E Sed tamen hunc scrupulum vitabimus hac ratio- , ne. Sit Magnitudo ΑΒ Magnitudinis C Daequem ultiplex , ut ablata A E ablatae C F. Dico reliquam E s reliquae D F aequemultiplicent , ut totam A B totIus C D:
mam multiplex ess A E ipsius C F, tam multiplexe ponatur A G ipsius F D. Eritq;. per primam hujus. quam, multiplex A E ipsius C F , tam multiplex E G ipsius C D. Sed si e fuit multiplex A B ejusdem c b. Sunt igitur ι G& A B aequales. Communis auseratur A s: Etit a C ipsi
242쪽
E B aequalis. Et quia sicut A E ad c F ob idq; , sicut A n ad c Din
ita AG ad F D: erit&sicut AB ad CD, ita EB ad CF: moderat demonstrandum. ALrv D igitur est , lineam terminatam &coactam squalis hoc loco est E 3ὶ in partes necessarias secare:& aliud,lineae te minatae,qualis est F D, partes aequales Creare ut in A G. Demon strationem tamen aliorum nolui omittere: quod subtilis si,&ad similes reperiendas ingenium acuat. iProbabimus & ab impossibili. Sit tota A B totius C D tam' multiplex , quam ablata A E ablatae C F. Dico reliquam E B reli
quae D F tam multiplicem , quam tota est A B totius C D. -
Si enim non tam sit multiplex ,erunt in EB aut plures aut pauciores Magnitudines ipsi P D aequales, quam in A E ipsi c F. S nt ergo , si possint, plures: Et ponatur E G tam multiplex ipsius F D, quam A E ipsius C F. Eritq, , per pi imam hujus, ram multiplex A et ipsius C D , quam A E ipsius C p. Sed A B posita est tam multiplex ipsius C D, quam eadem A E cjusdem C F. Erit igitur,pcr communem Notionem, A G ipsi A Be qualis . pars toti: Quod est absurdum. Simili argumentatione probabimus pauciores non esse Magnitudines in E Baequales ipsi F D,quam in A E ipsi C F. Sunt igitur totidem multitudine. Quare & totidem quot in rota AB toti CD: Quod fuit demonstrandum. Hoc Theorema Campanus sic proponit.
Si fuerint duae Quantitates, quarum una sit pars ab terius, minuaturq; ab utraque ipsarum ipsa pars:erit redi quum reliqui ut totum totius aeque multiplex.
Partem hoc loco pro Submultiplici sumit. Sit itaq; Quantitas A B larua paes Quantitatis C D,quanta EB ipsius A B: minua- turq; ΛΒ ex Quanx late C D,&reliquum sit FC: ut D stςqua' lis A B., minuatur etiam E B ex Quantitate AS. & si reliquum Ε A. Dico reliquum F C tam multiplex esse reliqui A E , quam multiplex est totum C D tOIius Α B. - s.c L π D G Quum enim P sic qualis A s,ei rit F. D ita multiplex'E CD ςstra a multiplex A. B. Ponam itaque D G
243쪽
V 2 E primam huJus, FG tam multiplex A B, quam F D est multiplex E B. Et si a quia sic fitit c D multiplex A p, vi F D multiplex E B : erit utraque duarum Quantitatum C D & F C aequaliter multiplex Quantitatis A B. Quapropter, ex Communi Notione , C D & F G simi aequales. Dempta igitur p D ab utraque ipsarum: erit c F aequalis D G. Et quia D G sic fuit multiplex A E sicut p D multiplex E B : ob id, sicut A E multiplex E B: ob idq; sicut c D multiplex A B:erit c F ita multiplex A E ut tota C D totius AB: Quod erat demonstrandum.
si duae Magnitudines duarum Magnitudinum aequemultiplices fuerint,auseranturq; aliquae earumdem aequemultiplices: erunt & reliquae vel eisdem aequales,
: Sint duae Magnitudines, AB quideris, Magnitudinis Ε : &c D, Magnitudinis E aequemultiplices: & ablatae ex his A G &e Η, earundem E &Faeque sint multiplices. Dico reliquas C B&Η o eisdem E N F aut aequales, aut ipsaram aequemultipli
a m sit enim primum c a aequalis ipsi x a. Dico &H Dipsi Eesse aequalem. . - . Ponatur ipsi F aequalis ex. Et quo-
' ν Riam aequemultiplex est A ci ipsius Bili , ut C Hipsius Ee aequalis autem a B ipsi
E,&Cκ ipsi Fraeque igitur, per primam hujus,est multiplex AB Ipsus a , ut H K ipsius F. AEque autem ponitur multiplex AB ipsius E , ut CD ipsius F. AEqualis igitur est Bκ ipsi c D. Communis auseratur cΗ. Reliqua igitur c κ, reliquae H D est aequa-lin. Sed p ipsi c x est aequalis. Quare & F ipsi H D est aequalis: Quod erat ostendendum. . . : ci si
244쪽
multiplicem. Eritq;, ut prius, A s ipsus E aequemultiplex, per primam hujus, ut H K ipsius v. Sed & sic posita fuit aeqvcmultiplex Aa ipsius E ut C D ipsius F. Erit igitur H x ipsi C D aequalis:
G Α Ε t ablata communi H, reliqua CK, reliquae H D aequalis. Quare N C H v quum G Κ sit ipsius p aeque muti tiplex ut C B ipsius Ε: erit &ADipsius p aequemultiplex ut a B
ipsius et: Quod suit demonstrandum.
H AE C Demonstratio prima specie videbitur non plane satisfacere menti Euclidis Nego enim, inquiet aduersarius,ablatam a s posse cile aequalem ipsi ε : nego id quoque, possc esse , multiplicem ejusdem. quin tu hoc proba. Sed id propius ivtuenti probatione non indigebit. Nam quum AB sit multiplex ipsius h: erunt aliquot Magnitudines in Λ a aequales ipsi h. Quumq; A et itidem sit multiplex ipsius Ererunt de aliquot Magnitudines in A C aequales ipsi E . sed pau- Ciores quam in A B. Supererit ergo, ut reliqua a B sit aequalis ipsi E,aut ejusdem multiplex. V T tamen omni ex parte integram demus Demonstrationem.Sic Magnitudo A B, Magnitudinis C D multiplex equalium
- partivm scilicet C o contineatur' ' aliquoties in A B, Vt nihil supei sit :C M Et ex A a auferatur A E,quae sic multiplex & aequalium partium esusdem c D Dico reliquam E B, ci-dem CD aut cile aequalem, aut ipsius multiplicem aequalium
Si enim neque sit aequalis , neque multiplex: ponatur E Fipsi C D aequalis: vi reliqua P a sit minor C D, si seri possit. Et diuidatur Λ E in Magnitudines ipsi c D aequales: scilicet in A C,S G E. Quoniam igitur A G, G E, & E F sunt ipsi C D aequalcs, sed F B minor ipsa C D : non diuiditur ergo tota AB in partes ipsic D aequales.Non est igitur ipsius multiplex aequat una parti in, quod eit contra hypothesin. Addidi aequalium partium propter id quod diximus initio Definitionum , vel bLm Multiplici Retiam ad inaequalitatem extendi. Sed inter docendLm , ob facilitatem assumuntur aequalia Multiplicia. ἰάaequalium enim, nem PQ
245쪽
ris ELEMENT. EVCLIDIs' nempe Superpartientium & Superparticularium, taediosa &obscura est diuisio. Sed tamen utrobiq; ratiqeadem. THEO REMA τ, PROPOSITIO VII.
AEqtrales, ad eandem habent eandem rationem: Neadem ad aequales.
Sint aequales Magnitudines A & B : alia autem quaevis Magnitudo C. Dico utramque A & B , ad ipsam C eandem habere rationcm : Et C, eandem rationem habere ad utramque. Sumantur ipsirum A & B aeqvcmultiplices D h: ipsius vero C, alia utcunque multiplex F. moniam igitur aeque naultiplex est D ipsius A ut E ipsius B:aequalis autem est A ipsi ου : aequalis igitur, per communem Notionem erit D ipsi E. bi ergo excedit D ipsam P excedit & E eandem F: & si aequalis, aequalis:& si minor, minor. Eit igitur ut A ad C, sic B au c, per sextam Definitionem hujus: Qtiod est prius. Dico etiam Cad utramque ipsarum A&a , tandem habere rationem. Nam iisdem positis , erit, ex communi sententia, aequalis D ipsi E. Si igitur exce-D -- - - dii p ipsam D, excedit & ipsam ' a t& s aequalis, aequalis:&simi- nor,minor. Quare, per eandem sextam Definitionem, erit sicute ad A, Ita c ad B: Quod erat demonstrandum. Hoc posterius poterit expeditius demonstrari. Nam quum, constiterit sicut D ad C,ita E ad C:erit conuerso modo, per Conia sectarium quartae hujus, scut c ad A, ita C ad B. Et hoc Theorema ex iis est, quae inter animi sensa habenda esse videba
InaequaliumMagnitudinum major ad eandem,ma
246쪽
jorem habet rationem, quam minor:Et eadem ad minorem,majorem habet rationem, quam ad majorem.
Sint duae Magnitudines inaequales, A & B C, quarum major B C: sit autem tertia Magnitudo D. Dico, ma)orem esse rationem B C ad D, quam A ad eandem D: Contra , masorem esse rationem D ad Α, quam D ad B C.
Ad prioris partis demonstrationem, intelligendae sunt a cprima, D secunda: A tertia,&rursus D quarta. Deinde primae &tertiae aequemultiplicia, itemq; secundae&quartae sic consti tuenda: vi multiplex primae excedat multiplex secundae, multi κ. , o ripleX ero rertiae non excedat mul H tiplex quartae:juxta sententiam odi A B C uae Definitionis. Quod hac ratione fiet. Quoniam major est B C quam A:
. -- - ponam B E ipsi A aequalem : ac eous
' ' que multiplicabo aequaliter utramq; partem Ec&EB, ut ex Rc proueniat quantitas major quam D: quae sit E c: & ex Ε Β , quantitas non minor quam eadem Drquae sit F κ. Eritq; , propter aequalem multiplicationem, ν xtam multiplex E B , quam F G multiplex E C et ob idq, , per primam hujus, erit tota G Κ totius B C aequemultiplex vi Fκ ipsius E c. Ponam insuper H tam mutriplicem ipsius A , quam G κ ipsius B e, ac per hoc. quam F x ipsius E B. Erumq; F κ & Hoequales : quum utriusque submultiplices positae snt aequales. Quia igitur F κ non est ipsa D minor: neque H eadem D minor erit. Nunc autem multiplico D , donec proueniat quantitas Proxime major quam H. Scilicet sumo duplum ipsus D: inde triplum: ac deinceps uno plus, quoad proueniat quantitas M, Proxime major quam H. sumo postmodum ipsus D multiplicem quantitarem proxime minorem multiplici M : quae sit L: ut Ipsa M constet ex L & D. Eritq; L non minor quam H : quum M sit proxime major ipsa H. Quumsim sit aequalis F Κ : non exit F x minor L: Neque item F Κ-D, minores erunt quam L &D: ac propterea non minores quam M. Et quia F G est maior D: erit tota G K maior M. umq; ad primam B E & tertiam A, sia prae sint aequemultiplices GK & H: ad secundam vero &quartam i quae est eadem D aequemultiplex M sumpta sit, E instar
247쪽
instar duarum: &ci x multiplex primae excedat M multiplex secundae, neque H multiplex tertiae excedat eandem M multiplicem quartae: Erit, per octauam Definitionem huius, major proportio B C ad D, quam A ad eandem D : QAod est prius. - is Secundum autem demonstratur ex eadem Definitione, conuerso Ordine Magnitudinum: ut D sit prima, A secunda: D rursias tertia, & B C quarta. Excedit enim M multiplex primae, H multiplicem secundae: neque eadeM multiplex tertiae, excedit G x multiplicem quartae. Quare major est proportio D ad A, quam D ad s. Sim; patet tora Propositio. HANc Campani Demonstrationem,quum paulo esset clarior Demonstratione Theonis, aliquanto etiam clariorem se-eimus. Quae sic tamen obscura est. ln quo mirari subit , quum hujus Quinti Libri Propositiones in communi intelligentia positae sint, sicut antea monuimus, ac prima specie quendam veluti consensum in animis pariant : quod tam implicate demonstrentur. Huic igitur loco rursus compendium simul de lucem attulimus. Sint duae Magnitudines A & B C , quarum maior B c : sitq; tertia quantacumque Magnitudo D. Dico majorem esse rati nem B C ad D, quam' A ad D. Intelligantur,ut prius,BC prima D secunda , A tertia , & rursus D quarta. Earumqi parentur aeque multiplicia ad hunc modum. Quo-- - - : niam major est B C, quam A: ponor a ipsi A aequalem : Et Vtramque E C & E B aequaliter sic mutitiplico , ut cx E c proueniat quantitas major quam D : quae sier Ce & ex E B,quantitas non minor quam eadem D: quae sit G H. Eritq;. propter aequalem multiplicationem , G F aequemultiplex ipsius E c ut G H ipsius ε B: ob idq;, per primam hujus,tam multiplex est G H ipsius E B , sicq; ipsius Α, quam tota F H totius a c. Habeo itaque F H aequemultiplicem ipsius B C primae, & G Hiipsius A tertiae. Nunc autem multifico D donec exurgat quan
titas proxime major quam G H : scilicet sumo ipsius D duplum
248쪽
triplum: ac continenter uno plus. Et produco Κ L , quae sit prima multiplex, major ipse G H. Et ex K L,reseco L M simplum & aequale ipsi o. Est igitur κ L ipsius D utcumque multiplex,inmir duarum, quatenus est D secunda & quarta. Et quoniam x L est proxime major ipsa GH : non erit eadem G H mi nor x M. Et quia F ci est major D , & L M eidem D aequalis: excedet F H multiplex primae, ipsam K L multiplicem secundae. Sed quum K L posita sit major quam G H : non excedet ipsaci H multiplex tertiae, Κ L multiplicem quartae Quare,per Oct uam Definitionem hujus, major est ratio B C, ad D, quam A ado: Quae est prior pars Theorematis. Altera autem modo probata est: scilicet ex eadem Definitione , conuerso ordine Magnitudinum & Multiplicium. THEOREM A di, PROPOSITIO IX. Τα-το αὐτὸ φ ---M ον, 1--ω- ωρὶς α αυτὸν κακῶα 1--ω.
. Quae ad eandem habent eandem rationem, Ma- gnitudines, inter se sunt requalis: Et ad quas eadem habet eandem rationem, eae quoque sant aequales.
Sit duarum Magnitudinum A & a eadem ratio ad C Magni- tudinem. Dico a & B esse aequales. E conuerse, si eadem si ra- ι .. tio c ad utramque earum : dico δε- C 'aequales. conuersa se primae hujus. 'Prior pars sic probatur. Si enim non sint aequales: erit autera ipsarum, ut A, major. Et erit, per priorem partem antec dentis,maior ratio A ad C, quam Bad contra hypothesin. S cunda vero M. Si A est maior B: erit,per secundam partem a tecedentis , major ratio C ad B , γλ si ad A, contra hypoth
Quae duarum Magnitudinum ad eandem majorem
249쪽
rationem habet, haec imior est. Ad quam autem dua. rum, eadem majorem rationem habet, haec minor est
Si fuerit ratio major A ad C, qu1m a ad Dr dico A esse mas rem a. Si vero fuerit ratio major c ad a , quam c ad A : dico contrario a majorem esse quam A. Conuersa octauae , , Prior pars constat ex ptiori parte septimae & priori octauae. Nam per' priorem septimae, non erit A aequalisa: Et per priorem octauae, non erit minor. secunda voto p ret ex locundis partibus earundem. ι
Quae eidem sunt aequales rationes. & inter se sunt
Sit ratio A ad B Se Moc ad D cvtraque aequalis rations quae est x ad p. Dico duas rationes xvi a & c ad p esse aequales: es se scilicet sicut A ad a, ita C ad D.
& M ad Faliae utcumque aequemultiplices. Et quia ponitur E ads sicut A ad B, & sicut c ad D: erit, per conuersam sextae Definitionis bis sumptam, si x excedat N , ut G excedat L, & H excedat M: si aequale,aequale: & si minus, minus. Si igitur G -- cedat N. excedet H ipsum M : Si si aequale, aequale: & si minus, minus.mare, per sextam Definitionem,erit ut A ad B, ita e ado: Quod erar probandum. . IN hac demonstratur idem, ut dicitur, per idem. Tam nim consessa est simplicium comparatio , quam excessus & α- qualitas AEquemustiplicium: quamuis aliter probari posse non negem. Sed quorsum quum sit animi sensiim ac seb co Principio audiatur: Quae eidem simiaeqitalia , inter se sunt aequalia Z Quod certe ita maerale est & uniuersum ut in omni ari
250쪽
: L 1 B2E R .R EMἐn omni specie, in omni denique ingenij exercitatione, assensionem & probationem prae se terat. Sed tamen hiusce rei defensionem iam antε occupauimus in prima hujus. THEOREM A ti, PROPOSITIO XII. .
si singulae Magnitudines ad singulas eandem ha
beant rationem : erunt , sicut una antecedentium ad unam consequentium, sic omnes antecedentes ad omnes consequentes. .
Quod prima proposuit de multiplicibus, haec in uniuersiam de quibuscumque Magnitudinibus. bini Magnitudines singulae A, C , 1. ad singulaS B, D, P, eandem rationem habentes: nempe sicut A ad a, iis c ad D & E ad Dico esse sicut A ad a, ita omnium simul A c E, ad omnes si
Sumantur ipsarum -- F , aequemultipliciacinac: & ipsarum B D,F, alia utcumque aeque-
que, per primam huius, totum ex G, H, Κ. ita multiplex totius ex A, C, E, ut G est multiplex A : itidemq; totum ex L, M, N. ita multiplex totius ex B, D, F,Vt Leit multiplex B. Et, per conue sionem sextae Definitionis bis simplani,s c excedit L, di H excedet M, & K excedet M : & si aequale aeqtiale:& si minus,minus. Itaque, per communem Notionem, si G excedit L : excedit Betotum ex G, H,Κ,sotum ςX L, M, & si aequale, aequale: & s m .nus, minus. Quare, per eandcm Dcfinitionem, erit sicut A ad B , ita tosum ex A, C,E, ad totum ex B,D,F : Quod erat proba diam.