장음표시 사용
251쪽
Si primae ad secundam eadem suerit ratio, Prae ter tiae ad quartam : tertiae vero ad quartam 'major fuerit ratio, quam quintae ad sextam: primae quoque ad se
cundam major erit ratio, quam quintae ad sextam.
Sit eadem ratio A ad B quae C ad D: major autem C ad D,quam x ad p. Dico majorem quoque esse rationem A ad B quam 3 'ad p. G . J , Sumam Gad A,&Had C aequemultiplμcia: Itemq; L ad a, & M ad D, & N ad F , si aequemultiplicia. . . . Et quia eadem est ratio cad D quae est A ad η sed major quam E ad F : erit, per coma uersionem sextae Definitionis, si H excediti, , Μ λε, ut necessatio excedat L. At, percon-Li ι δ' uersionem octauae Definitionis,sM exceduM , non necessario x excedet N. Si igitur Gi, i s l excedit L,non necessario K excedet NQu a ' e , ά , maJor est ratio A ad B quam E ad p:Quod i filii probandum. , H o c autem totum nil aliud est, quam Si fuerint duo Inter
se aequalia, unum vero illorum tertio quopiam majus: erit de reliquum tertio majus.
Ex CAMνANo. Quod si sit eadem ratio A ad a quae e ad D, sed e ad n major quam E ad F : erit & A ad B major quam Eadri Namsi sit cad D minor quam E ad F: erit Ead F major quam c ad D. Per conuersionem igitur maioris Improportio nalitatis, si x excedit N, non necessario H excedet M. Sed si Hnon excedit M, neque G excedet L. Per Definitionem Igitur maioris improportionalitatis , maior erit proportio E ad ν, - quam A ad B. Itaque econuersis, minor erit a ad B, quam E ν:Quod erat ostendendum. Sed hoc non admodum exquisitae probationis. Quod autem sequitur m oris est momenti, .
. Siseritrima quature , adsecundam majori tertia ad quanam: meruns aquemultipheus prima
252쪽
L I B E R V. . 223o tenta, qua quum comparabuntur a.d aliqua alaemastylisias eamia o quartae, muemetur mustiplex prima maj- esse multi uisecanda: non autem must lex ιrem, mailtiplici quam, Quod sic probatur: Sit major proportio A s ad C, quam D ad E. Ponaturq; proportio A p ad c sicut D ad E. Et erit, per hanc & decimam, , Tminor A B. Et sit minor in quantitate F B. Hanc F B multiplicabo , donec proueniat quantitas major C: quae sit G H : hac lege, yto toties multiplicata, producat quantitatem non minorem - Ε : quae iii K. Tunc faciam ut L citi a se sit tam multiplex A F , quam G HA T a D est multiplex ipsius F B , aut Κ ipsius D. Eritq; , per primam hu-
--.---, jus , L H ita multiplex ipsius a sa---- -- ut x ipsius D.Ponam postmodum
' M primam quantitatem multiplicem E , quae sit major x: & ponam N ita multiplicem C, ut Mest multiplex E. Eritq,, ex positionibus,& ex conuersione sextς Definitionis , quantitas N prima multiplicium C, quae erit major L G : nec erit L C minois C. Sumam itaque seb N , maximam multiplicium c : aut ipsi aequalem , si sorte es sit prima multi plicium illius: quae sit o: Constabitq; N , ex o & C. Quia ergo L G non est minor o,& G N est major C: erit L H major N.Quare quum K sit minor M , patet proposito. H AZ C Campanus. Cujus breuitatem sere ubique laudauLHic vero ob compendium, manca apparet Demonstratio. Non enim satis explicat , quantitatem N esse primam multiplicium quae sit major LG. Hoc igitur probandum fuit ex quartativius. Quum enim sit sicut D ad E : ita A p ad C: sitq; κ ipsius o aequemultiplex ut Glc ipsius A F: itemq; M ipsius g ut N ipsius crevit, per quartam huius, sicut x ad M , ita o L ad M. Sed x ad si proxime minor est ipsa M. Et a L igitur proxime minor est
Quod autem dicit,ex positionibus,hoc innuit: quod quum GL sit eodem modo multiplex ipsius A F,quis & x ipsius D: sitq;x, ad E sicut L a ad Λ F: erit L G major c, quum K major quain
253쪽
a1 ELEMENT EUCLIDIsstrare poterimus. Videlicet, si reperiantur aliqua aeque multiplicia primae de tertiae r itemq; alia secundae & quartae aeque- multiplicia:& multiplex primae superet multiplex secundae,neque multiplex tertiae superet multiplex quartae : major erit proportio primae ad secundam,quam tertiae ad quartam. Quod Ee demonstratur: Sine quatuor Quantitates, A prima, B secunda : C D tertia,& E quarta: sintq; F ad A & c ad c D aeque multiplicia: similiter H ad B M K ad E , aequemultiplicia : & F superet H , neque a superet K. Dico majorem esse rationem A ad B , quam C D ad E. Si enim suerit aequalis : fiet ut G superet K. per conuersionem sextae Definio Oni, e quod est comtra hypothesin. Si autem minor: Ponatur C L ad E sicut Λ ad a. Eritaque, per hujus decimam, C L mianor c D. Et sit minor in quantitate L D.Ponam igitur ut M N sit ita multiplex C L, & N P ira multiplex L D, sicut F est multiplex A. Eritq; , per primam hujus,Mν ita multiplex CD, ut F est multiplex A. Vtraque igitur duarum Quantitatum M p & G.estaequemultiplex Santitatis c D: quapropter ipsae inter se aequales, per ea quae demonstrata sunt in septima hujus. Et quia si non est major Κ , non erit M P major eadem. Sed,per conuersionem sextae Desnitionis, M N est' major x : quum F sit major H. Major igitur M N, ipsi M P: Quod fieri non potest. Quare constat propositio. Haec ille. Sed ne haec quidem Demonstratio quicquam habet egregium. Probat enim quod probarione non.indiget, immo quod jam si ne in probationem assumpsimus iuperiorum Theorematum. Prior tamen non contemne ar quod ostendat rationem sic constituendorum AEquem ultiplicium , ut multiplex primae superet multiplex secundae, sed multiplex tertia non supercimultiplex quartae.
t Siptimae ad 1-ndam eaiam fuerit ratio quae ter
254쪽
LIBER vi l l l l 111tiae ad quartam, prima vero major fuerit, quam tertia: erit & secunda major, quam quarta i Et si aequalis, ae
qualis :& si minor, minor ' . . . Sit ratio A primae. ad B secundam: ut C tertiae, ad B quartam:& sir masor A, quam C. Dico & n maiorem esse quam D: & si in qualis, aequalem: & si minor, minorem- Quma enim A sit major B , quam C; erit, per priorem partem octauae hujus,major ratio A ad D , quam C ad D: ob idq; , major A ad D, quam A ad B. Quare,per secundam partem decimae hujus,erit B major quam
- Si vero A sit aequalis c: erit, per priorem partem septimae, A ad D sicut c ad D. Quare, per secundam partem nonae, erit Baequalis D. Quod si A si minor quam c. erit, per priorem partem odi uae,minor ratio A ad D, quam C ad D: ob id, major A ad B, quam ad D. Quare, per secundam partem decimae,erit B minor quam D. Ac sic patet Propositio. THEOREM A q, PROPOSIT O XU.
Magnitudines inter se, eandem habent rationem quam earum 2Equem uita plicia inter se.
Sint c ad A, & Dad haequemultipliciλ. Dico eandem esse intionem e ad P quae est A ad 2. . ., i 'o ' Diuidatur er secundum L A , a quantitatem ipsius A r & D se L cundum quantitatem Ipsius 'Eruntq; tot partes in C, aequales ipsi A: quot in D,ipsi a. Et quia quaeliber pars ipsius c , ad quamlibet partem ipsius D , est sicut A ad B: erit, per duodecimam hujus , e ad D sicut A ad αQuod erat ostendendum. ' . ., THEOREM A is, PROPOSITIO XvL
255쪽
si quatuor Magnitu sines proportionales fuerim
permutatim quoque proportionales erunt.
Sit proportio A ad a sicut C ad D. Dico permistatim, esse Aad C. sicut Bad D. Ponam E ad A , & F ad n aequemultiplices: itemq; G ad c , de H ad D aequemultiplices. Et erit, per antecedentem, E ad F sicut G ad H. Itaque, per decimam quartam, si E est major c : erit des major H : & si aequalis qualis : & si minor, minor. O uare,pers sextam Definitionem hujus,erit - . . A ad C sicut Dad D: Quod elat
Ex hoc manifestum est, ut ex ' ' Continua proportionalitate fiat Permutata, oportere quatuor Magnitudines ine ejusdem ge
Si fuerint Magnitudines conjunctina proportion tes, disiunctim quoque proportionales erunt.
ia N ad p E , singulas sngulariam aequemultiplices et Ac rursus ipsarum C A & F s,alias utcumque inuemultiplices x P & N .EC erit, per primam hujus, a K ira mutripleas A B ut C H est multiplex A C : M L N ita multiplex D E ut L M est multiplex D r. Sed quam multiplex est a H ipsius A C , tam multiplex posita est is ipsius D F : ac continue , quam multiplex L M ipsus D p , intrimultiplex est, per primam hujus, L N ipsius D E. Quis multia plex igitur a K ipsius ΛΒ,tam multiplex est,per undecimam hujus,L N ipsius D AEEt quoniam H K& M N iunt ipsarum C B & s Eaequemultiplices: item κ p&-aliae earundem aequemultiplices: erunt, per secundam h sac p & M u earundem c ὁ ω
256쪽
L I B E R V. 127ν E etquemultiplices. Per conuersionem igitur sextae Definitionis, si G κ naultiplex A B,excedat H P multiplicem C m excedet L N multiplex D E, ipsam M Q ultiplicem F E: & si aequalis, aequalis : 8e si minor , minor. Ablatis itaque communibus Η κει M N, si si H exeedit κ ν, excedet & L M, per animi Notionem, Mnes& si aequalis, aequalis: & si minor, minor. Quare , per λxtam Definitionem, erit sicut A c ad c B , ita D F - F E: Quod erat demonstrandum. THEO REMA ,s, PROPOSITIO XVIII. ε μεγέθη αἰάυγν η, rum .ssia Meeusον ες .
Si fuerint Magnitudines diguctim proportionaleis conjunctim cseoque proportionales erunt.
' Manente eodem Magnitudinum positu, sit A C ad c a sicut D p ad F E Dico esse a B ad a C sicut D E ad E F. Conuersa antec
257쪽
ELEMENT. EUCLIDIS E F quarta. Sed c a posita fuit major. Quare euertitur positIo D vi ν - χ sit jam sicut AB ada c, ita os
e , S minorem quam E F Et erit, per antecedentem, A C ad c B sicut D H ad H E. Itaque, per undecimam , D H ad H E sicut D F ad F E. Et quia o H prima, est major D r tertia:erit, per decimamquM- .rum , E H, secunda . major a P quiirta: Quod fieri non potest. re, sicut A B ad B C, ita D E ad E F: Quod erat demonstrandum.
THEOREM A iis, PROPOSITIO XIX.
Si fuerit ut totum ad totum'; sic ablatum ad ablatum: erit dc reliquum ad re liquum sicut totum ad to
b. Quod quinta proposuit de Multiplicibus, haec de Magni-
.tudinibus in η'iuersam. , Sit itaque yt totum A. ad totum C D, ita ablatum B E ad ablatum D ε. Dico esse& reliquum A E ad reliquum C F , ut to- . tum A Bad locum CD. , IT , R RAum enim isti A B Ad c D sicuti D F: erit permutasima B ad E B
ae a ad F DP, sic crax A B ad C D,constat propositio AppENoxx ex Campano. Ex hac de P mutata propor-
258쪽
L I B E R V. 22ssin minus: Sit D ad E sicut B ad A. Et quia Aada . est sicut c ad D: erit permutatim A ad C sicut sad n. Et quia iterum 3 ad A sicut Dad Et erit quoque permutatim, Bad D sicut A ad E. Quare A ad E sicut A . ad c. Si igitur Ε non sit aequalis C: fiet contra secun- A a e is T dam parcem nonae. Si autem aequalis: erit B ad A sicut D ad c : Quod fuit ostendendum. Haec Campanus. Hoc autem postremum probatum fuerat supra ad quam tam hujus. ιΤHEOREM A io, PROPOSITIO XX. Eo ii αλλα talila sin τὸ σωυδεο λααζα- νομῆα, έ ων, πιπύ λβίω , Α ἴσου γ π πρωτον ἡ γω ωῖζον η' iam τέταρίν - ιῶν-.ς ' - ι ν, ι '-ε ανον, o TonSi fuerint tres Magnitudines unius ordinis, & aliae totidem alterius, fuerint, duae unius in eadem ratione cum iduabus alterius eodem satu positis, prima autem unius fuerit major tertia: erit & prima alterius major tertia: ει si aequalis, aequalis:& si nainor, minor.
Hoc Theorema,cum sequenti, proponitur ad amnam proportionalitatem probandam. Sint tres Magnitudines A, B, E, unius ordinis : tresq; C, D, F, ulterius: sitq; A ad a sicut c ad D: & a ad E sicut Dad s.
. Si enim est major: erit, per priorem putem octauae hujus, major ratio A ad B , quam E ad B: ob id, per duodecimam, major erit c ad D, quam E ad B. Et quia, per Conueram in portionalitatem, E ad a est sicut F ad D r erit Cad D mMor quam P ad D. Quare, per priorem partem decimae , ma3or est C, quam r. Quod si A sit minor quam Et probabitur iisdem argu-
C mentis C minor quam F. Erit . enim,per morem Parte octa
- . . I uae,m xior ratio Aaa B, quam
259쪽
tiona, 2 2m, minor erit C ad D, quam F ad D. Q Uar per primrem partem Decimae, eris C minor F. Si autem Asidaequalis E, A c erit, per priorem partem se- - ptimae , A ad B siciat Ead a r ob
decimae, & Conuersam proportionalitatem , erio Q ad D sicutis ad D. Quare, perpriorem partem nonat, ins C aequalis 3: Quod erat demonstrandum. Hic subijcit Campanus. Hanc Propositionein demonstra. uerunt quidam ex Permutata proportionalitatC , ad hunc modum. Est A ad a sicut c ad D sergo permutatim Α ad c sicut a ad D. Et rursus quia B ad E sicut D ad F : erit permutatim κ ad c sicut E ad p. Sed erat B ad n sicut A ad C. Ergo, per undecimam. erit A ad c sicut E ad F. Qirare, per decimas, quartam si A prima , est major ε tertia : erit & C secunda , iam jor r quarta: & si aequalis, aequalis: & si minor,minor Sed sic non recte demonstrant. Nam si a Permutara proportionalitate argumentationem, ut Coeperunt, perficiant et v xandem :AEquam proportionalitatem concludent et, scilicet A ad C sicut E ad Fi x, Ope mutatim A ad a scut C ad F : ae est AEqua proportionalitas.
Quod si E uclides sic c- udi posse vidisset: bustia 'hoc praemisiiset Theorema: sed AEquam proportionalitatem stativi astruxiiset. mumitaque haec ratiocinatio non procedat, nisi' utriusque ordinis Magnitudines sint e dum. generis: minus conuenienter ad Angulare contrahunt quod Euclides gener rim proposuit 'i i
Si fuerint tres Magnitudines unius ordinis , totidemq Magnitudines alterius, fuerit, earum Perturbata ratio, prima Nero unius ordinis, fuerit major te etia : erit quoque'prima alterius, major tertia.
260쪽
L I B E R v. Est sint tres MagnItudines A ME,unius ordinis:tresq; allae F,C,ν, alterius :& sit proportio intereas Perturbata: scilicet A ad asicut et ad D, & a ad E sicut r ad c. Dico si A est major E: esse N E ma orem D: & si minor, minorem: & si aequalis, aequalem.
HOC autem probatur η-- c Iisdem argumentis qui-Σ- M bus seperior. Si enim Ast maior E , erit major ratio A ad B , quam E ad B: atque ob id, maior C ad D, quam E ad B : quapropter & maior quam c ad Rr quia ut E ad B, sic C ad F, per Conuersam proportionalitatem. Quare, per secundam partem decimae, major est F quam D. A F . Quod si A minor sit quam Ε
Σ.-- C. , erit, gradatim argumentando. a. D- minor C ad D,quam ad F.Qu
re, per secundam partem ejusdem,erit F minor D. εμ ν .Si vero A sit aequalis 3 , erit' a. . c- -. Cad D sicut C ad F. Quare, per E secundam patiem nonae, erit
F aequalis D. Ac sic constat Propositio. HAE C itaque cum antecedente, quia ad probationem quae proportionalitatis spectat, AEquemultiplicium rationem utraque praecipue considerat. Atquc hunc sensum habent, venon possit prima unius ordinis major esse tertia, quin prima alterius sit quoque major tertia: & si aequalis , aequalis : & si minor, minor Breuiter, haec verba excessus & aequalitatis mnino sic accipienda . ut in Definitione sexta hujus. Atque hoc ad duarum sequentium intelligentiam monere comm
dum fuit. THEO REMA 11, pROPOSITIO XXII.
Si fuerint tres Magnitudines unius ordinis, totidemq; alterius, suerint. binae unius ordinis in eadem ratione cum binis alterius similiter sumptis: eae & exaequali proportionales erunt.
Sint tres Magnitudines A; E, unius ordinis: aliaeq; totidem alae