장음표시 사용
261쪽
α,1 E L E M E N T. E V C L I D I salterius, C, D , F : sitq; A ad B sicut C ad D , & B ad E sicut D ad p. Dico esse A ad B sicut C ad F. Ponam G ad Α, & H ad c aequemultiplicia: itemq: K ad B , &L ad D, alia aequemultiplicia. Rursus M ad E , & N ad F , alia
aequemultiplicia.Et erit,per quartam,aut,si mauis,per decima--- quartam hujus', C ad κ sicut Had L :&xad M sicut Ladu. - Itaque per vigesimam ejusce, si C est major M , erit H major . . M-- - N :& si aequalis, aequalis :& si A e minor, minor mare. per se-
. Σ-- A ad E sicut c ad p: inod fuit -' ostendendum.
IA M vero, si fuerint Magnitudines plures tribus in utroque ordine: erit omnino prima ad ultimam unius, ur prima ad vutimam alterius: scilicet in AEqua proportionalitate. V t, si addantur ν Se m & sit E ad ν sicut F ad Dico esse A ad p sicute ad ues Erit enim A ad E sicut C ad F, ut modo demo strauimus. Sepositis igitur B dc D , erunt tres Magnitudines, Α, E, P, unius ordinis tresq; alterius C, F , D ejusdem conditionis eum prioribus. Quare A ad P sicut c ad Qes Quod erat osten
Si iuerint . tres Magnitudines unius ordinis, totidem alterius fueriti perturbata inter ipsas latio : eae& ex aequali proportionales erunt.
Sint tres Magnitudines unius ordinis A , B , C et atque aliae totidem alterius D, E, F. Sitq; A ad 3 sicut E ad ri de a ad c sicuet ad E Dico esse A ad c ficut Dad F. iPonam G, H, K. ad A , B, D , aequemultiplicia : aliaq, L, M , NUM C, E, F, aequemultiplicia. Et erit, per decimamquintam hu
262쪽
' decimamquintam : dfit &,per undecimam, ut C ad H, sic M ad N. Et quoniam via ad l I scis ad kr erit,per quartam huiusce , ut Hlij ad LGl sex ad M.' Mira illaqueo, H; L tres i. Magnitudines u&K, M,N, liser i dem, L κ Μ H perturbatim proportionales. Si uixur C excedit L, dcx excedet M : & si aequalis, xqualis: & si minor, minor. Ἀδre, per sextam Definitionem, erit ut A ad B, sic Dad F: Quod erat ostendendum. ' . . . AL TER p sint sum L aequemultiplicia. Sint enim tres MAgnitudines unius, ordinis A, B, a, totidemq, F,C, P, at xerius: desit ut A ad a, sic c ad D: EQ ut 3 ad E, sic p ad C. Dico esse A ad E sicut F ad D. -- Sumam μ, H, K, ad A, C, F, aequemultiplicia : aliaq; N ad B, E, D, aeque multiplicia. Et eriri per quartam hujus, o ad L sicut H ad N :mper de cimam quintam, L ad 'M sicut κ ad Η. Erunt itaque,ut prius, AEquem usit plic utriusque ordinis, in ratione perturbata inter se. Ob id, per vigesimamprimam, si si excedat M , & κ excedet ri: M si aequalis, aequalis: & si minor, minor. Quare, per sextam Definisionem,elit ut A ad E , sio F ad D: Quod erat probandum. Quod si plures tribus fuerint Magnitudines in utroque ordine : verbi causa, quatuor: sitq; A ad B sicut D ad aad E sicut C ad D : de E ad ν sicut F ad c :
erit & in aequa proportionalitate, A ad Psicut Fadiu Nam quum probatum si A H E sicut c ad sublatis B, & D ,. erunt tres quantitates, A , E, P, aliaeqi totidem F , C , in Perturbata ratione inter se. Quare A ad p scut F astus Quod erat demonstrandum. A c quemadmodum ex Tornarii d monstratione probatur Quaternarius,
263쪽
- Si fueris primum ad secundum,Vt tertium 3d quartum: &item' quintum ad secunda, visextum id quartum: erit & compositum ex primo quinto ad secundum, ut compositu ex tertio & sexto ad quartum. R. od secunda proposuit de Multiplicibus, haee generatim
de Magnitudinisus propbnit, . 'Sit itaque A a ad c ut o E a d F : itemq; a C ad C ut E H ad F Dico esse A c ad c sicut D H ad ii. 'prit ei lin, per Conuersam prὀportionalitatem , C ad BG H. F ad E H: quapropter, ex vigesima secunda,erit in .ssiqua ration e A A ad a a vis bad E H: iptis scilicet A v prima,c secunda.
264쪽
Si quatuor Magnitudines proportionales fuerint:
maxima de minima reliquis duabus majores erunt.
Sint quatuor Magnitudines proportiopaleS: A B, C D, E,&F: ut AE ad c D, sic E ad F : sitq; earum maxan a Am . minima vero p. Dico ambas A B & p ,' maiores eiseisinbab iis c 'o &h. Ponam A a' aequalem ipsi i : & c H aequalem ipsi P. Et quoniatis sicut tota 1 3 ad totam c D: sic ablata A G ad ablatam C H , erit & reliqua C B: per decimaremonam hulbs, ad testquam H D , si- Cur tota A B ad rotam e D. Maior autem est A B. ipsa c or Et major igitur u B ipsa H D. Et quo niam aequalis est A G ipsi E , & C H ipsi F rerunt A c & p aeqv les ipsis C H N E. Addita ergo G n majori ad duas Ad Sc F:8c Nio minori ad duas& p, majores quam c'D & Eh mod era demonstrandum. - HAcua Nus Euclide, hujus minxi proportiones tha-didit. Nouem aurem sequentes proysiijones a Campano additae sunt, ex alieno quopam 'exemplari. siem & Ope alias ordinem Euclidis deserit,paucasea termittir,non nulla si abstituir, aliaq, addit de seo. Neque hi liui opera. pleraque enim in e monstrando iacit meliora de clariora . compendii officio: licet in quibusdam dormitet. Utvrest, C impani constructionem seriouu in citando. E uclidet, s m ori trusus' nos t ae aetatis Mathematicus clarissimus. . Quin & sequentus Propo-stiones ab eo ςitatas inuenimus o in ea quam in ''tolemaeum reliquit Epirome. Quae res effecit ut illas apponeremus: alioqui libenter praetermissuri. Nam praeter id quod probationes quas ex iis venatur Rε tofontanus, abundo ςx Euclide ςon tr
ti'nes resecandae potius qu in in langliis ducendae N. m qtiae per se Elisae sunt, locum tantu occupanta ingemum etiambnera i aedium' enim multitudo ubique pari r. Eae itaque sic
Si ria erit quatuor Quantitatum proportio primae
265쪽
.,η ELEMENT. EVCLIDIS ad secundam,major quam tertiae ad quartam:erit con uersim e contrario, secundae ad primam, minor quam quartae ad tertiam.
Si e proportio A ad a major quam C ad D. Dico conuersim e- contrario, rhino ςm esse proportionem Bad A , quam D ad C. Si enim est eadem B ρd A , quae est D ad C: erit econuerso Aad n ut C ad D , contra sypothesin. Si vero major est B ad A, quam D ad C: ponatur B ad A ut D ad C. Eritq; , per duodecimam , E ad A pr qu in v ad A. mapropter, ex priori parte
quam A ad B., Et quia, per Conuersam propritionalitatem, est A ad E sicut C ad D : erit, per du'decimaR,prop2rxjqF ad ram; tol qu/m,A ad B. Sed erat minor. repugnantia uicur , astruitur propositi9. . . Possumus.&a male dςmonstrare.Ponatur E HBJt, .ad D. Et erit jeconuςrso 3 d B ut D ad C. Et quia major est A.quam E, per priorem partim decimae: rit, ex secunda parte octauae, Bad A minor quam B ad E. Quare, per duodecimam, Bad Λ m,nor quam o ad c Quod erat Probandum. . i
Si , quatuora Quantuatum . si erit m proportio primae ad secundam, quam te itiae ad quartam: erit pei mutatim: majos proportio primae ad tertiam,quam
in orem .esse A ad C, diram B ad D. ά . ' nauem enim non erit: quia
minor: ponatur E ad C ut B ad D. EritqK ex duodecima, E adsim quam A ad C. Itaque, ex ' - , priori Diuitiaco by Coos e
266쪽
, i , , L is ni S R. V. asypriori parte octauae, E ad a major quis A ad B. Et quia posita
est E ad c sicut B ad D: erit permutatim, E ad B sicut C ad D. Quare, ex duodecima, major eris proportio C ad D , quam Aad s: Quod est contra hypothesin. . IDEM per affirmationem. Sumatur E ad B ut C ad D. Eriti, ex priori parte decimae , E minor A et propterea quod, ex priori parte octauae, maJor est A ad ci quam E ad C. Sed ex Permuta ita proportionalitate, est B ad C ut B ad D. Quare, per duodecimam , A ad C major quam 3 ad D: Quod erat ostendendum.
Si fuerint quatuor Quantitates, quarum primae ad secundam sit major proportio; quam tertiae ad quartam : erit quoque conjuneum , major proportio primae & secundae ad secundam,quam tertiae & quartae ad
Sit major proportio A ad 3 , quam c ad q. Dico fle maiorem esse ei oportioncm totius AB ads, quam totius coad i' Neque enim erit eadem : quia sic quoque diu unistim esset
267쪽
238 ELEMENT. EVCLIDIS B, quam C D ad D: QSod erat ostendendum.
. Si fuerint quatuor Quantitates quarum primae &secutidae ad secundam si; major prop0rtim quam tertiae & quart* ad quartam : erit quoq; disiunctim pro . portio primae ad secundam maior quam tertiae ad
quartam. Sit proportio A B ad A major quam C D ad D. Dico & disiunaim, A ad amatorem esse, quian Cad D. i . Moalis quippe nouerir. Nam, per Coniunctam propor- tibnalitatem, esset A B ad B ut C D ad D. Si vero mitior elle possit, ut sit major C ad D, quam A ad A : erit,per antecedentem, maior C D ad D, quam A Bad s.Quod minime conuenit: quum
Si fuerint quatuor. Quintitates, quarum primae de , se rund*i ad Mundam major sit proportio, quam tertiae & qum die ad quartamaerit eversiin, min 'r Proportio primae, seeundae id primarer quam tertie & Quar-N: ad tertiam. Si tetriaim projoralba nias quam; D ad Dico euetis
268쪽
si fuerim tres Qualitates unius ordinis, totidem salterius: fuerit m primae priorum ad secundam , major proportio, quam primae posteriorum ad secundam: erit quoque primae priorum ad tertiam,major propor-xjO, qu m primae. posteriorum ad tertiam. 'Sint tres mantitat s unius ordinis AF y , c . ali eq; Uxidem alterius, D, E major proportise A ad quam D ad E: ILemq; m or B ag ci, quM E ad F. . Dipo in Aona esse
igitur est A ad C, quam n ad E.sit itaque H ad φ ut o ad E, Eritqi, ex priori parte decimae, A major quatit h. Ub idq; , ex priori parte octauae, major ratio A ad e, qbIm H ad C. Atqui H ad c,per AEquam proportionalitatem ce' ν t. D ad .F; in eni H ad cnutu ad E : & G ad C vx E ad F. ,:imare, per duodecimam ; Λ dimara es est , quam p ad ε': Quod erat dςo ousitandum.
Si fuerint tres Quantitates Νnius ordinis, totidem que alterius, fueritq; proportio secundae priorum ad tertiam major quam primae posteriorum ad 'secudam. 1lemq; primae priorum ad secundam, maj*Ι-secundae posterioruni ad tertiam: erit & major proportio primae priorum ad tertia quam poste iorum ad tertiani
269쪽
, o E L E M E N T. iE v C L I D I s 'D, E, F, alterius: major proportio B ad C, quis Dad x t de major A ad B, quam E ad F. Dico majorem esse A ad C, quam Dad s. Haec ad Λquam proportionalitatem pertiner.
- - E. Et erit,per priore parte - . decimae hujus, G minor 3:i ob id, per secundam partem octavaeo major prinportio A ad G, quam ad NQuapropter multo ma-R g ad c , quam I ad . Sit Itaque H ut E ad F. Eritq; , ex priori parte decimae , A major H : ob idq; , proportio A ad cimajor quam H ad c, per priorem partem octauae. Arqui, per vigesimam tertiam , proportio H ad C est ut Dads : quum sita' ad c ut D ad F, & A ad G ut B ad F. Quare,per duodecimam,m jor est proportio A ad e, quam D ad F : Quod erat demonstra dum '. 1 1
ablati ad ablatum: erit & rὸliqui ad reliquum,m pr
proportio, quam istius ad totumia . '- Sintduae Quantitates , 'A E & e D : a quibus abscind.mur Α Ε Eeor Isintq; reliqua a B Fm : & si major proportio A B ad C D, quam AE ad c ν. Dico de majbrem esse propolitiobem E B
a 1 ad F D,quam A B ad C D. Erit enim, e G τ ὰ, secundam additarum permu- i . tatim.major proportio A B ad A E, quam c Dad C F.. Ob idq;, ex quinta earundem , erit euetam,
minor proprii' A 3 ψ ε ' m c D ad c F. Qilare rursus Hutatim, minor proportio A Bad c D, quam E a ad Fo: Quod erat demohstrandum.
Si fuerint 'tres mamitates cius ordinis, ac totidem alterius, fuerit, cujussibet antecedentis ad comparem,m os proportiorquatir cujus quani subsequ
270쪽
tis ad suam:erit & harum omnium ad omnes illas major proportio, quam alicujus subsequentium ad suam comparem, aut etiam quam omnium ad omnes: minor autem, quam prima ad primam.
Sint tres Magnitudines unius ordinis,A B,C : ac totidem auterius, D , E , F : iitq; major proportio A ad D , quam B ad Et Bad F , quam C ad F. Dico proportionem A B c smul sumptiarum, ad D E p simul sumptas, majorem quam B ad E , Ad quam C ad F: majorem etiam quam A & c simul sumptarum ad E & ς simul sumptas: minorem autem, quam A ad D. Quum enim sit A ad D major quam B ad E: erit permutatim, A ad n major quam D ad E:& conjunctim, A B ad B,major quam D E ad E. Et iterum permutatim, A B ad D E major quam B ad E. A Quare , per antece-B ------ E i Mntem , A ad D majores quam A s ad D E. Atque codem modo probabitur major ratio B ad 1 , quam B C ad E P. Major itaque est A ad D, quam B c ad E F. Quare, permuratim, major est A ad a mquam o ad E F. Et conjunctim , major a B C ad B C,quamn E νad E F: Et iterum permutatim, major A B C ad D E F, quam C B ad E F : Quare, per antecedentem, major est A ad D , quam a B D ad Da r: Quot erat demonstrandum.