Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

131쪽

C A' P V Τ V. 1 cithine Wz: Elmo. Hie autem casus manifesto reducitur ad praecedentem ponendo a loco a Uo.

Exemplum I.

13a. Si posvo det pdx--qdy debeat essindolis functionis 2 tmesigare. Hic ergo est

lam erit

Quare pro solutione huius exempIi habebimus

seu ob S xν erit h

132쪽

Cum hie sit erit . , et V LV ax II ). Ergo , qua e capiatur χα

Hinc oritura: α Sr et V m n V I -- s s in , - - , ideoque posito S constante erit

ita ut Blutio nostrae quaestionis in

vbi f: h denotat functionem quamcunque naitig dimensionis ipsarum x et F.

Exemplum I

133쪽

bebimus

Consequenter ob t . '

s s. Ex solutione huius problematis etiam haec quaestio latius patens resolui potest. Sint P, Q item V , U functiones quaecunque datae ipsarum X et/, et quaeri oporteat functionem et ut sit de Ρdx --L V dx-- U seu quod eodem redit, iunctio L inuestigari debet, ut ista mrmula disserentials integrationem admittat. Ad hoc praestandum quaeratur primo multiplicatorri sormulam V dx-UO integrabilem essiciens, ponaturque dS M Udx--Uιθὶ, unde functio SQ a repe-

134쪽

reperietur per et '. expressa. Ex ea quaeratur valor ipsius x per 3 et S expellus; et cum sit da P dx-- θ D P , hic ubique laco x valor ille substituatur; sit autem inde dae ΕΟ-FdS , unde etiam E et F ian

tescenteritque

Ceterum ob permutata litatem ipserum st, x ee φ, ν etiam hinc sequentia probremata xesblua possunt, quae propterea stratim percurram. Probla-Diuitiguo by Cooste

135쪽

. Problema 2

si posito dxαρ dx- qis requiratur Vt sit qzVx-FU , existente tam V quam' V functione quacunque data ipsarum p et 3, inuestigare indolem iunctionis quaesitae α

Solutio.

Scilutio

136쪽

rasi CAP v T. V. D solutio igitur per binas, variabita 1 et s ita se habebit x α M A)H-Mns et x pee T -fs ubi nune huidem S per p et datur.'

Problema Is.

Solutio.

ae tam M quam S erunt iunctiones ipsarum πειρ, ex quarum posteriori valor ipsius ρ per x et S expressus eliciatur , in sequenti operatione pro q su stituendus. Scilicet cum nunc sit sumto Dissilired by Cooste

137쪽

licet. .

Is 8. Si posito da dae 4-qo requiratiar Vt st 3ITVx-HU existentibus V et V mistionibus quibuscunque datis ipsarum p et ρ, indolem functio. nis et in genere inuestigare.

Ille utendum est Brmula - -

statuatur I x - Idq)α3 , eritque pro ' valorern praescriptum substituendod mxdp-Vxdq- Ud pQuaeratur iam multiplicator M Brmulam δε- - Vis integrabilem reddens, sitque

eliciatur valor ipsius p ef S expressus', quo deinceps uti oportet. Milicet eum sit sumto

138쪽

dantur, ita determinabuntur ut sit

Exemplum.

139쪽

Scholion.

16o. Quatuor problemata haec coniunctim considerata admodum late patent, atque pro formula da pdx- go omnes relationes inter p, g, x i et Ii complectuntur ' in quibus vel x et , Vel p et , vel x et ρ, vel p et ρ nu uam unam dimensionem superant. Ex quo saepe fieri pote st, ut eadem quaestio per duo pluraue horum quatuor problematum resolui possit ; veluti euenit in exemplo hoc postremo, in quo cuni non solum X ct etiam X et q, itemque pet a nusquam plus una dimensione Occupant, id ad tria praecedentia problemata refierri queat, haecque conditio primo tantum problemati aduersatur. Quod si autem inter p , ρ , x, I haec relatio prae scribatur, ut esse debeat

resolutio per omnia quatuor problemata aeque in .stitui potest. Verum etiam resolutiones inde ortae, etiamsi forma discrepent, tamen per reductionem III. R aute Dissilired by Cooste

140쪽

ra ante expositam ad e sensum reuocari possunt. At sequens casus latissime patens resolutionem quoque admittit, quem propterea euolui conueniet

Problem, an

Is r. si posito danzpdx qθ inter φ, get x ,3 eiusmiai relatio detur, ut runctio quaedamiparum p et x aequetur iunctioni cuipiam ipsarum g et a ; iunctionis x indolem in genere inuestigare

Soluti

sit P iunctio illa ipserum p et x, et Q sim

ctio illa ipsarum ρ et quast inter se aequales etackbent. Cum igitur sit PI Q, ponatu Vtraque v, ut sit Ραο et Ex priori ergo p definire licebit per x et v. ex posteriori vero ρ per Felm quo facto in inmuta dzzzzpdx go , cum p sit functio ipsariam X et υ, integretur pars p dx sum- in O constante sitque D R , simili modo cum e sit functio ipsarum a et v , integretur quoque ab tera pars qo sumto v constante, sitque sqo S ;erit ergo R functioni ipsarum x et vi, et SI functioni ipsarum s et . At sumto etiam vi vinxistili sit dR-pώ-- Udo et G ρθ-FU- , unde colligitur

quae Diuitiguo by Coosl