Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

191쪽

S E U

RUM VARIABILIUM EX DATA DIFFERENTIALImCvIvSUIS GRADUS RELATIONE.

SECTIO SECUNDA

193쪽

FORMULIS DIFFERENTIALIBVs

sEGNDI GRADUS IN GENERE.

Problema 38.

Si a sit iunctio quaecunque binarum variabilium

x et I , eius formulas dictreatiales secundi gradus exhibere.

Solutio.

Cum a sit iunctio binarum variabilium x et Meius differentiale huiusmodi habebit formam

194쪽

gradus, quas ita denotare solemus: Cum nunc sint quoque p et ρ iunctiones ipsarum x et γ, sormulae differcntiaus inde natae erunt formulae disserentiales secundi gradus ipsius et, unde intelligitur quatuor huiusmodi formulas nasci:

quarum autem secundam ac tertiam inter se eongruere in Calculo differentiali est demonstratum. Sed cum sit p Ain, simili scriben. i ratione erit cuius scripturae significatus hinc sponte. Patet. Deinde eodem modo erit i κὶα

atque ob q in habebimus

Quia ergo est , functioni et convenitini tres formulae distesentiales secundi gradus , quae sunt:

Cor oll. I.

22 T. Vt ergo iunctio a duarum variabilium x et di duas habet mrmulas ditarentiales primi gradus ita habet tres Ermulas disserentiales secundi gradus

195쪽

222. Hae ergo sormulae per duplicem disserentiationem nascuntur, v mcam tantum qua uitatem pro variabili accipienda. In prima scilicet bis eadem x variabilis sumitur, in secunda vero in glicraditarentiatione x , in altera autem a Variabilis acciapitur ; in tertia autem bis 1.

aza. Simili modo patet eiusdem iunctionis equatuor dari formulas differentiales tertii gradus stilicet :. t . t 4 η . EI

quarti autem gradus quinque; quinti , sex etc.

224 Formulac hae disserentiales secundi gradus ope subiti tutionis saltem ad formam primi gradus D uocari possunt. Veluti formula v in , si Pinatur A p , transformabitur in Al ; formula autem si eadem substitutione in hane Sin. At posito ita formula stransis mutatur in hanc formula autem ) in hune s 3 l. Vicissim autem uti ex aequalitatep SE J deduximus

ita Diuiligod by Corale

196쪽

18 ita ex his Vlterius progrediendo colligemus: Tum Vero etiam si ponamus sequentur istae aequalitates

Hicque est quasi nouus algorithmus, cuius principia per se ita sunt manifesta, ut maiore illustratione non indigeant.

Exemplum I.

stas. Si sit et xy eius formulas diseremiales . secvndi gradus exhibere. Cum sit

et a: erit Exemplum a.

et 26. Si β 2zzz y' eius formulas disseremia- . les se 'di gradus exhibere. Cum sit

197쪽

Exemplum I.

a a T. Si fit x V xx-Hyyὶ, eiur foramgar disseremiales secundi gradus exhibere. Cum sit

i in

na 8. Quemadmodum binae formulae disserentiales primi gradus cuiusque functionis x lia' sunt

comparatae , ut sit et integrando . ' r .

ita quoque in Brmulis secundi gradus rant; ex . Tres .igitur sormulae secundi gradus semper ita sunt comparatae , ut geminam integrationem praebeant.

198쪽

si scilicet cum disserentialibus dx dt 6 rite combi- .nentur, haecque proprietas quae probe notetur , insequentibus insigne adiumentum afferet.

. Problema 39- b

' γα 29. Si a isit iunctio binarum variabilium x et 3, ino x et I introducantur binae nouge varia-bilas r et u , ita ut tam x quam aequetur certae iunctioni ipsarum s et Q vias disisentiales' secundi gradus ipsius a respectu harum nouarum v riabilium definire.

Solutio. .

Quatenus et per x et .r datur, datae sunt eius . formulae disserentiales tam primi gradus siξὶ,

ex quibus quomodo Rrmulae disserentiales respectu nouarum variabilium ν et u determinentur definiri oportet. Pro primo gradu autem cum sit quia tam x quam θη datur per x et u erit

quibus valoribus . substitutis ha bitur ipsius x disserentiale plenum ex variatione utriusque 3 et u

ortum :

199쪽

primo generaliter . rum vero laeo x et ν etiam rei u introducamus; hincque 'nanciscemur e

litate tam solius ι quam Blivs u assignare ; stilicen cum sit:

Inueniemus I

200쪽

aso in Proposita ergo conditione quadam inter Brmulas differentiales functionis Σ 'quatenus perivariabiles t et u definitur, eadem e ditio- pro eadem functione a transstrtur ad alias bimS vari biles x et F, ab illis utcunque penden .

Coroll. 2.

' na I. Formulae quidem per ret u exprimuntur, ex ' relatione , quae iusteor , F et i , u assumitur verum indidem caedem sormulae ad variabiles X et a reuocari possum

Scholion.

Eaa. Quemadmoduin his variabilitas quamltatum t et u per Brmulas disserentiales ex variabi- Iibus x et 3 natas est expressa, ita vicissim si v riabiles t et u proponantur, ex quibus certo modo alterae X et 3 determinentur , sequentes reductiones habes,untur, secta tantum variabilium permutatione. . primo stilicet pro inmutis primi gradust , Pro Diuili od by Corale