Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

201쪽

ω Bemulis autem disserentialibus secundi gradus: ubi determinatio litterarum tetu per alteras a et considerari debet. Quoniam stilicet in condit onibus praescriptis binis variabilibus x et F uti solemus, earum ioco alias quasclinque s et u introducendo, loco illarum sermularum disserentialium has nouas lamas ad variabiles 3 et u relatas adhibere poteri-- mus, Hi deinceps relatio inter Variabiles x , I et r.u ita est constituenda, ut quaestio solutu lacilior euadat. Pro variis igitur huiusmodi relationibus exempla euoluamus.

Exemplum I.

202쪽

Cum sit hincque Drmulae pro .undo gradu evanescant; habebimus pro Rrmulis primi gradus:

pro Brmulis autem secundi gradus:

Coroll. 2.2ss. Etsi ergo hic est tamen non est

cli zz .' cuius rei ratio est, quod in larma

203쪽

quantitas F sumitur constans, in vero quantitas M at y, id quod in genere notasse iuuat, ne ex a ualitate σπx ad aequalitatem inmuIuum te

et concludamus.

Exemplum a.

dias. Si inter Cariabiles t, u et X , y hare elatis constituatur ἐπ si ita αA' M u gy', re qctionem exhibere. Hic ergo erit

vnde obtinemus pro iumulis primi gradus rpto inmulis autem mundi gradustin quibus Brmulis iam Ioco x et ν earum Ytiores per 3 et u induci debent.

204쪽

t aar. Si inter Cariatiis t, u A x, 1 Meerelatio crestituatur vi sis x t et V u, Draudarum disseremiasium reductim exhibere. Cum sit a x et erit hineque Brmulae inuoluentes ddi evane uni diris

unde pro Brmulis primi gradus habebimus: pro inmutis autem .secundi gradus:

Exemplum s

205쪽

C A P. V T L

Deinde

tum vero -

Quare pro formulis primi gradus habebimus: Pro formulis autem seeundi gradus:

Scholion.

Is. In formulis generalibus 9. 23Ij datis, assumsimus valores variabilium t et u pςr. ςx γexpressos dari, et uniuersa demum pro x et a variabiles t et umodius ergo videatur , si statim variabilium x et F

cate eXprimerentur, quam ut eas In calculum Introducere liceret. Scilicet si x et per i et u den-

206쪽

ac formulae secundi gradus multo mag s proditurae sunt perplexae. Quouis ergo casu, quo huiusmodi, reductione utendum videtur ' , conieetura potius squam certa ratione idone m variabilium ia, ut tionem colligi conueniet. Alia vero etiam datur reductio saepe insignem utilitatem . afferens . , dum ipsius functionis a quaesitae forma mutatur, veluti si ponatur denotapto V mustionem datam ipsarum x et s , ita ut iam O sit functio quaesita ;quin .etiam haec noua quaesita v alio. . modo curui

implicari potest.

Problema M.

α O. Proposita iunctione et hinarum variabilium x et ν , ac posita et 'PO, ita. vi P sit, data quaedam funistio imrum x et , mrmulas differentiales ipsius a per sormulas dictrentiales novae iunctionis v exprimere.

Solutio.

Cum sit zzzPς ex regulis disserentiandi tra ditisi habebimus primo Brmulas dimen is a primi gradus: Atque

207쪽

Atque hinc deinceps Ermulae disserentiales secundi ordinis ita prodibunt expressae :

ubi cum P sit iunctio data i rum x et=, 'eiusiurmulae differentiales simul habentur.'

. i.

2 2. Transmrmatio haee emeni vulabiles xet , seruat et talitum loco functionis et 'alia vi imi oducitur; euin iste ' manviae einem finiistinista binae variabiles x et 3 ad Qtas i et . sint reducti. Ex quo hae duae transismationes genere me dis

208쪽

x s. Casus simplicior fuisset, si per ad litionem posuissemus et T. PH-υ, ut esset P functio quaedam data ipsarum X et I; verum tum trans-mrmatio ita fit obuia, ut inuestigatione non iu- digeat : est enim manifesto

Neque vero etiam formas magis compositas euolui necesse est , veluti, si ponamus a V PP CU), quandoquidem talis Praea vix unquam usum foret habitura.

Scholion 2.

24 . Praemissis his principiis et transBrmationibus , negotium aggrediamur, et methodos aperiamus , ex data relatione inter inmutas differentiales secundi gradus, et primi gradus, itemque ipsas quastitates principales , harum ipsarum relationem inuestigandi. Hic scilicet pnaeter ipsas quan titates x , ν , et a , earumque formulas differentia

les primi gradus θἱὶ et in considerandae veniunt tres Brmulae ditarentiales secundi gradus sta

ὸ,'ὶ; quarum Vel una vel binae, vel omnesuci ia relationem propositam instodi possunt, ubi

209쪽

19 insuper ingens discrimen formulae primi gradus, sue in relationem ingrediantur , siue secus, constituunt. Non solum autem nimis longum foret omnes combinationes uti in praecedente sectione secimus, prosequi, sed etiam deiectus idonearum methodorum impedit, quo minus singula quaestionum huc pertinentium genera percurramus. Capita igitur pertractanda ita instituamus , prout methodus Qtuendi patietur, ea , ubi nihil praestare licet penitus praetermissuri.

210쪽

UM A FORMULA DIFFEREN

TIALI SECUNDI GRADUS PER RELIQUAS QUANTITATES UTCv VE, DATA.

Problema εἶ.

si x debeat esse eiusmodi sinctio aptarum x et rvt fiormula secundi gradus aequetur functioni datae ipserum x et indolem iunctionis ainuestigare.

Solutio.

. sit Ρ iunctio ista data ipsarum x et F , ita ut esse debeat 'P. Sumatur iam 3 co stans , et cum sit erit unde integrando prodits 12ὶαfΡda: Constintegratione fΡ d x quantitas ' pro constante habetur, et constans adiicienda iunctionem quam

cunque Diuitigeo by Corale