Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

241쪽

Quin etiam utrumque problema latius extendi potest, ac prius resolutionem admittet, si mrmula laequetur iunistioni cuicunque trium quantitatum

R), posterius vero si linin aequetur

victioni cuicunque harnm trium quantitatum X, s et η ι, utroque enim cassi res redacitur ad aequationem dularentialem primi gradus. Neque Te ro haec soluendi methodus succedit, si utraque

Brmula primi gradus sερὶ et κὶ simul ingredia

tur , vel si iunctiones P et Q. etiam ipsem quantitatem a complectantur.

a 9. stineratur binarum variabitam

et spectata x vi constante erit , unde per V diuidendo' prodit - o .

ita. ut sit, .

et ν

242쪽

sumatur iatri ' constans , et denuo integrando obti

netur

ob functionem indeterminatam f: x , etsi s constans ponitur, in genere exprimi nequit, ita ut explicate per a et functiones ipsius x exhiberi possiti

Scholion.

28 I. Formula ergo secundi gradus non tam largam casuum resolubilium copiam admittit, quam

243쪽

4rimm binae reliquae et s*ὶ, elim in hismlutio succedat, etiamsi ipse quantitas et quoque in earum determinationem ingxediatur, quod hic secus euenit, eum methodus non pateat huiusmodet aeis quationem Mando litterae Pet Q quantitatem x continent resoluendi; neque etiam solutio locum habet; quando praeser inmulam primi gradus in simuI qumae alteris adest. Interim tamen dantur cassus, quibus Blutiones particulares exhiberi possunt, eaeque adeo Infinitae, quae iunctim sumtae istut oni generali aequi ualore videntur , etiamsi in applicatione ad usum practi eum parum subsidii plarumque aistrant; Drmas inmen huiusmodi 2Iutionum notasse iuuabit.

aga. si x eiusmiai debeat esse functio binarum variabilium X et I , ut fiat in- 'dolem huius iuncti is x particulariter saltem investigaro.

curti quantitas a unam Vbiqne teneat dimen- son m eu dens statuatur a , quantita tem exsonentlsem ex calculo evanescere. Ponamus igitur z - Y na ut T iunctionem ipsius sinatum contineat, eritque

244쪽

sicque iam solutionem particularem habem iax Aequae autem satis late patet, cum tam A quam pro Iubitu assumi possit. Plures autem valores ipsius a seorsim satis urientes, etiam iunctim sumti satis. ciunt, , unde huiusmodi expressionem multo gener liorem. deducimus:

etc.

ubi eum A, B C , etc. item α , β, γ, etc. omnes valores possibiles recipere queant, haec forma pro maxime uniuersali est habenda, neque si ad amplitudinem spectamus, quicquam cedere videtur superioribus solutionibus, quae binas functiones arbitrarias inuoluunt, propterea quod hic duplitis generis coessicientes arbitrarii occurrunt, interim tamen haud . liquet, quomodo iunctiones discontinuae hac relatione repraesentari queant.

asa. Pro Qtutione ergo particulari inuenienda, sumantur bini numeri m et ian, Vt, eorum Praductum Diuiligod by Corale

245쪽

eritque . Atque etiam ex iisden x numeris permutatis erit ara A. I.

28 . Ex tali numerorum m ct a pari ut sit mn a , solutiones quoque per sinus et cosinus exhiberi possunt; 'erit enim zzzBsin. mx-υ , vel a Bcos. mx-- , vel etiam permutando x Bsin. ux-υὶ vel a B cos. ηx -n J.

28s. Cum igitur huiusmodi formulae Inn merabiles exhiberi queant, singulae per constantes quascunque multiplicatae et in unam summam col- lectae dabunt istutionem generalem problematis.

286. Neque tamen haec solutio, etsi Infinities infinitas determinationes recipit, ita est comparata, ut eiusmodi solutionibus , quae binas functiones a bitrarias inuesuunt , aequiualens aestimari possit; . Propterea quod non patet, quomodo singulas liti os assumi oporteat , ut pro dato casu verbi gratias mo , quantitas a vel i2ὶ seu se in datis iunctioni

ipsius x aequalis euadat, cuiuscunque etiam indolis L . fuerit uiligeo by Corale

246쪽

saerit haec functio. Semper autem stlutio generalis duplicis huiusmodi deternrinationis capax esse dinot. Quando autem talem 1blutionem impetrare non licet , utique eiusmodi solutionibus, uti hie inuenimus, contenti esse debemus. Ac tales quidem Bliitiones simili modo obtinere possumus si proponatur eiusmodi aequatio et

si modo litterae P. Q. R denorent functiones ipsi *tantum. Posito enim a ut X sit iunctio stilius x , oberit

unde reperitur

sicque elicitur pro quovis numero α idoneus valor ipsius X. Qiare sumendis infinitis numeris α, hoc modo expcissio infinities infinitas determinationes recipiens .eolligitur: κ α X XV etc. Verum tamen dantur etiam casus eiusmodi aequa tionum , quae solutiones vere completas admittunt, quarum rationem in stquente Proesemate indagemus. . f Pres,lenia Diuitiam by Corale

247쪽

Problema q7

28I. Proposita aequatione resoluenda: investigare cuiusminii iunctiones ipsarum x 3 esse debeant quantitates P. Q, R et S. ut haec aequatio solutionem vere completam admittat.

Solutio.

sit V iunctio quaecunque ipsarum x et x , ac ponatur a 'e' O, ita ut iambo sit quantitas incognita , cuius Valorem inuestigari oporteat. Cum igitur sit D sta substitutione totaque aequatione per e diuisa prodibit sequens aequatio :

-- R U Efficiendum iam est, H haec aequatio resolutionem completam admittat ; cum igitur ante viderimus talem aequationem

248쪽

generaliter reislui posse, quilescunque etiam functi nes ipsarum X et a pro S et V accipiantur , ad hanc aequationem illam redigamus. Necesse igitur est statui :

unde obtinemus:

Cum igitur per s. a s. reperiatur :υ AT 'VS νοῦ erit aequationis propositae

si modo litterae P , Q, R assignatos teneant VaIores , integrala completum : Vo-IT a Maeses T β γ Sθε V-x HF: quandoquidem hic formae Jfae et Fu iunctiones quascunque ipsius at et ipsius a denotant.

Coroll. I.

283. Quaecunque ergo functiones ipsarum x et a pro litteris T et V accipiantur, inde oriuntur valores idoaei pro litteris P, Q, R assumendi, ut

249쪽

aequatio resolutionem completam admittat, sanctio autem S arbitrio nostro relinquitur.

289. Possunt etiam in aequatione proposita functiones P et-Indefinitae relinqui , eritque tum V m Qdx et γα atque

πnde tantum quantitas R ita determinari debet, ut sit

denotante Y iunctionem quamcunque ipsius'. ob VQdx--Y complete integrabilis erit haec aequatio:

cuius integrale est existente existente, F f a ac Diuiligod by Corale

250쪽

ac propterea

unde valor ipsius vi facile definitur.

yr. In hoc calculo quo disserentialia formularum integrabum capi oportet, dum alia quantitas variabilis assumitur , atque in integratione 'supponitur, haec regula est tenenda, quod si fuerit

unde vicissim colligitur si fucrit S i dx gin iure ob IS IIV, integrando ISθὰ fcbae; quod cum

ex principiis ante stabilitis per se sit manifestum , non opus esse iudico, pro De quasi nououlgorithmi genere praecepta seorsim tradere. Videamus autem in aliquot exemplis , cuiusmodi aequationes ope huius methodi complete resoluere liceat.

Exemplum I.

usa. Proposia aequatione disserent k-disserentiali desnire indolem functiones R, et hare aequatio resolutiorum admittat, exserue S functiora quacunque 'μ-rum x et y. cum