Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

271쪽

Nunc cum strtu XX, et x It Uu , atque a si , habebimus :

stante , ergo Om θ')zzzit: u. Sit iam ι constans fietque

Corollarium.

aos. Quemadmodum autem expressio inuenta - Θ: satisfaciat , disserentialibus rite stimiis perspicietur :vnde porro fit:

272쪽

Ios. Sumto sit Pp et a Py. et ax et P may V aa yy Φ aax , huius aequationis

integrale compleium inaestare.

Est autem quarum formularum euolutio deducit ad expressi nes nimis perplexas. At substitutiones ad scopum Drducentes sunt APYΡ-υν P et u P.

273쪽

C A P V T IILCorollarium.

274쪽

statuatur ergo , ac reperitur

ae unde ratio determinationis quantitatis Ρ per x et a definitur. Pro nouis autem variabilibus ι et u , ob '- P g) erit et ob a - PF f P sit cuius postremae Brmulae cum integrale sit

ideoque Diuitigod by Corale

275쪽

a 3 ideoque quare u aequabitur sunctioni ipsius P. In hoc autem negotio functiones qhiascunque accipere licet , quia sequente demum integratione uniuersalitas solutionis obtinetur. Quare ponamus: P- VP et M P existentea H PI s: P. Denique ad ipsum integrale inueniendum, quia est in qua integratione u seu P sumitur constans, per superiora est id Iob P constans, et unde fit

hincque porro

sumendo hic τ constans. Cum igitur sit

Ηh α ideoque

276쪽

n o autem iunctiones illae sunt discontinuae, talis r ductio neutiquam locum habet, etiamsi certum videatur , etiam tunc formam allatam Valorem rea-1em esse adepturam. Quis autem in curua quacunque libero manus ductu descripta applicatas abscissis x-- a V - 1 et a -x respondentes animo saltem imaginari , ac summam earum realem assignare valuerit; 'aut ditarentiam , quae per V-r diuisa etiam erit realisl Hic ergo haud exiguus destetus calculi cernitur, quem nullo adhuc modo supplere licet; atque ob hunc ipsum desectum huiusmodi solutiones uniuersiales plurimum de sua vi perdunt.

Problema 69

inquirere , quales iunctiones ipsarum x et a pro Passumere liceat , ut integratio ope reductionis suc

cedat.

Solutio.

Reductionem hanc ita fieri assumo, ut loco x et F , binae aliae variabiles ι et u introducantur, qua substitutione secundum et a I. in genere facta P dit haec aequatio:

Iam relatio inter binas variabiles x, u et Praee deatra

277쪽

st Identes x, I eiusmodi stati latur ut binae sermulae et eX calculo egrediantur , id quod fiet ponendo

Tum autem erit

at cum sit indidem erit similique modo sumendo Ρ negative

Quibus substitutis nostra aequatio hane induet --

quae cum unicam Ermulam secundi gradus sincontineat integrationem admittit si vel cΗὶ vel irae calculo excesserit. Ponamus ergo insuper qua aequatione indoles quaesitae iunctionis P definitur ; quo facto aequatio integranda per a P diuisia erit

278쪽

cuius integrale posito fit det Verum prius ipsam iunctionem P per x et I definiri oportet. Cum sit in m P γ ὶ erit hincque ponendo breuitatis ergo EJ p, fit d x V Ρ Ο , atque

cuius postremae formulae cum integrale sit

279쪽

2 a ideoque quare u aequabitur functioni ipsius P. In hoc autem negotio functiones quascunque accipere licet , quia sequente demum integratione uniuersalitas solutionis obtinetur. Quare ponamuS: P-2IVP et u P existentea: H PI s: P. Denique ad ipsum integrale inueniendum, quia est in qua integratione u seu P sumitur constans, per superiora est alia ob P constans, et , unde fit

hincque porro

280쪽

a 4 ideoque Unde conficitur

quae expressio F et O. duas continet sun stiones arbitrarias.

ao 3. Primum huius formae membrum ita transformari potest :

unde primum membrum erit

aol. Cum autem hoc primum membrum sit functio indefinita ipsius P si ea indicetur per II: Ρ, erit

unde Qrma integralis fit

coroll. a. Diuitiaso by Corale