Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

251쪽

Cum sit P a. et Q b erit R Izab, et V bae reuo enim iunctio Y omitti potest, qu ain sequente integratione iam binae lanctiones arbitrariae introducuntur, erit T a. Vnde posito habebjtur haec aequatio

Aliter.

Si sumsissemus V m -bx-'is' , prodii ideoque .posito Eme ρη quantitas u ex hac aequatione

252쪽

definiri deberet quae datvi α-fdS -I: x F ta et quae Brma simplicior est praecedente , etiamsi e dem redeat, estque lim integrale completum aequationis :

αρ a. Proposita aequatione disserentio-disserentiali id ire im P mictio'ir R, in baec aequatio resolutionem admiιtat, ensente S Dinime quacunque is

Cum sit Ρα - et Q. P, erit Uz-b Ix-Y, hincque R IJ, et aequatio integrabilis erit Quoniam igitur fit

253쪽

Scholion I.

ας . Hinc igitur patet hanc aequationem ope istius methodi in genere integrari posse:

quaecunque iunctiones ipsarum x et ' pro P, Q. et Saccipiantur. Ac reinlutio quidem ita se habet, ut posito , haec quantitas υ determinetur hac aequatione:

bi iam pro Y talis functio ipsius a accipi potest , ut huius aequationis forma simplicissima euadat ; id quod potissimum euenit si expressio

ad Diuiligod by Corale

254쪽

ad nihiIum redigi qi t. In genere autem reperitur qui valor ergo per multiplicatus praebet sormam functionis a. Hoc modo autem functio Vab arbitrici nostro pendens penitus o calculo egreditur , fitque - - - e-sa 4 - s e 4 I- ιι η fiss P ddi s Iad se se AEI I 4 dxfa quod est integrale complpium huius aequationis

ass. Permutandis frutem Variabilibus ex et retiam haec aequatio complete integrari potest :

cuius integrale erit: ubi praecipue hic casus in traque sorma contentus notari meretur, si fuerit PT Y et sen X, existente X1unctione ipsius x et Y ipsius a tantum ; cum enim huius aequationis

256쪽

LAE SECUNDI GRADUS PER RELIQUAS QUANTITATU DETERMINANTUR.

Problema 68.

Si x eiusmodi debeat esse iunctio ipsarum x et νο si t- aa ), indolem functio

nis et determidare.

Solutio.

Introducantur binae nouae variabiles t et v, ut sit ιπα x - βF et u atque ex g. 231. omnes sormulae disserentiales sequentes mutationes subibunt:

257쪽

nde nostra aequatio transibit in hane:

ponatur ergo ββ ααaa et δδαγγ aa, stuα I ; VTTI ; β a et sea , ut binae krmulae extremae evanescant quod fit ponendor IIx--aa et v x-GI , eritque

Coroll. I.

258쪽

sty . Valor igitur ipsius et aequatur aggregato duarum functionum arbitrariarum alterius ipsius X- - , alterius ipsius x- , atque ambae hae iunctiones ita ad arbitrium assumi possunt , ut etiam iunctiones discontinuas earum loco capere liceati

a98. Pro lubitu ergo binae curuae quaecunque etiam libero manus tractu desicriptae ad hune usum adhiberi possunt. Scilicet si in 'na abscissa capiatur , in altera Vero abscissa TX-aF, summa applicatarum semper valorem idoneum pro functione a suppeditabiti

Scholion I.

299. Hoc sere primum est problema , quod

in hoc nouo calculi genere soluendum occurrit ιperduxerat autem solutio generalis proe,lematis decordis vibrantibus ad hanc ipsam aequationem , quam hic tractauimus. Celeb. Alemberius , qui hoc problama primus felici successu est aggressus, methodo singulari aequationem integrauit; scilicet cum esse oporteat , posito da pdx-ρο, indeque 4 rdx--so et dq r dx - ιθ , illa se-- quatio Diqitiam by GOrale

259쪽

Atque quia a aeque negative ac positive accipi potest, habentur duae huiusmodi aequationes rap-qmaas: x Φο) et q-π zaa F : x-υ unde colligitur: ρ πύη: X D )--a Ff x--πὶ et petrat: lx- - )-Fst x- hincque aequatio da pdx--go sponte integratur fitque zms: x π -F: X-ay). Hoc modo sagacissimus Vir integrale completum est adeptus, sed non . animaduertit, loco functionum harum introductarum, non solum omnis generis iunctiones continuas sed etiam omni continuitatis lege destitutas accipi licere.

Scholion I.

a oo. Cum plurimum intersit, in hoc nouo calculi genere quam plurimas methodos persequi , ab aliis solutio nostrae aequationis ita est tentata ,

260쪽

a vi ponerent vado primo imbri 'tum vero ) As ex quo colligitur in Euidens ergo est pro nostro

casu capi debere kk aa seu λ - Ψα Sit ergo

hincque manifestum est fore a fix M I et ob a ambiguum , quoniam bini valores seorsim sati facientes etiam iuncti satisfacient, concluditur ipsa solutio inuenta. Hoc etiam modo negotium confici potest. Statuatur eritque

Inuentis nunc formulis primi gradus in et in obhabebimus has aequationes:

Ex quarum combinatione colligimus: