Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

281쪽

aos. Solutio magis particularis nascitur sumendo II: P o hincque et aequabitur functioni cuicunque quantitatis se et ' VP , quae Oba' PF I: P per x et I exhiberi censenda est.

Scholion. .

so s. Quanquam. hic eadem methodo sum usus atque in problemate praecedente, tamen quod mirum videatur, casus praecedentis problematis quo erat P a in hac solutione non continetur. Ratio huius paradoxi in resolutione aequationis P glest sita cui manifesto satisfacit valor P a, etiamsi in sorma indo derivata xH-υ DP non contineatur. Hic scilicet simile quiddam usu venit, quod iam supra obseruauimus, saepe aequationi disserentialivatorem quendam latisfacere posse , qui in integrali non contineatur, veluti aequationi d)V a x)αιix satisficere videmus Valorem arma, quem tamen integralis I C a V a -x) excludit. Qilare etiam nostro casu valor P a peculiarem euolutionem postulat in prioru problemate peractam de reliquis , ubi pro f: P certa quaedam functio ipsius P assumi-tur exempla quaedam euoluamus.

282쪽

Exemplum I.

Cum sit f: Ρzo, solutio inuenta ob 1. 1 4ΡzCPraebet

isi xae: denotat iunctionem quamcunque homogeneam unius dime risionis ipsarum x et F. Resolutio autem instituetur loco X et a has nouas variabiles t et u introducendo ut sit tm C et M a I et a -E vel etiam simplicius et v I , unde fit:

et Diuili do by Corale

283쪽

et ob PP E aequatio proposita hanc induit

Nunc cum sit xtum XX, et x ζιYu , atque , habebimus:

ut sit o is sin et sumto u constante v , ergo Om 2 zzzis: u. Sit iam φ constans fietque

Corollarium.

Ios. Quemadmodum autem expressio inuenta at XΓ: satisfaciat , differentialibus rite sumtis perspicietur:

284쪽

Exemplum I.

integrale completum inaestigare.

unde forma generalis supra inuenta abit in

Est autem quarum Brmularum euolutio deducit ad expressi nes nimis perplexas. At substitutiones ad scopum Vrdacentes sunt να APYΡ-υ VΡ et uta P. Corol-Diuiligod by Corale

285쪽

C A P V T ULCorollarium.

286쪽

quod nulla reductione indiget

ideoque x Π: Ρ. V Pt: Ρ - Ρ. Π: Ρ. V Rr: P V P. in Pstatuatur porro

. quae Brma sine dubio multo est simplicior quam primo inuenta.

Problema SP.

ara. Proposita aequatione inuenire cassis quantituum P, Q, R, quibus i tegratio ope reductionis ante adhibitae succediti

soluti

287쪽

Solutio.

Introductis binis nouis variabilibus t et habebimus :

Statuamus ergo ut ante i

unde fit

atque

et sequatio resoluenda erit: '

Iam euidens est integrationem institui posse , si al- temtra formula l&ὶ vel l ex calculo a at.

Ponamus ergo esse

288쪽

et aequatio resuItans permi diuisa fit Fiat erit

sumatur i constans , ut fiat

per nouas Variabiles x et u exprimantur. His ergo primum definiri conuenit. Cum sit

res formulas dae Ρo et dx-Po, non enim opus est ut hinc Valares x et u geueralissime definiantur. Sint p et g tala& multiplicatores, per x et a dati eritque t fp dx-FPol et u fer dx-Po, unde superiod integratio sit

289쪽

in qua integrationτ quantitas i fp dx Po constans est spectanda- Seu ob du q dx - Po)erit

Iz. Eodem. mcc, aequatici propositae resi tutionem a litet , si fuerit

290쪽

Tum vero fit:

quae posito P, sumtoque u constante dat

aequationem .