Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

301쪽

ets. Ex quatuor autem membris integralaeonstabit, si fuerit λ -m-a, seu nta m*3ὶ mr ὶψ tum autem erit B α - A; C -ἔBα libA; D rLC---A

et integrala: ' . .:

302쪽

Scholion.

unde fit omnes ad primum reducendo:

qui ita se habent. t .

AB C

Φεε. IS. 2

inu ,

303쪽

quae forma quoties i merit numerus integer positium ἰ finito coallat terminorum numero: secus aurem in infinitum excurrit. Imprimis autem illa integratio hoc habet lingulare , quoi non solum Usas iunctiones arbitrarias f x et Frν compicetatur, sed etiam earum formulas differentiales.

Exemplum.

.a a s. Si occurrat bla aequatio . . .

desnire cosus, quibus eius insegrale per formam δεηiram exhiberi potes. Cum hic sit η mini)ίm-ι-xὶ zzo sumendo pro i numeros integros positivos, duo Ordines habebuntur casuum , quibus integratio succedit, alter quo est in zz-r, alter quo ita ut in genere integratio finita locum habeat, quoties m fuerit numerus integer siue positivus siue negativus. Primo ergo si sit m -i erit

Ll a Deinde

304쪽

etc.

.trinque scilicet eadem habetur expressio, cui casii. priori ipse quantitas posteriori quantitas aequatur. Ad singulos hos casus distinctius eu vendos ponamus: s ix F γὶ ; ,

etc.

305쪽

Quibus valoribus inuentisi crit, pro duplici ordine r

erit m

etc. et

Scholion.

s. si pro i sumatur numerus negativus expressio in infinitum excurrit. . bit enim i A,

306쪽

quae autem formae non absolute aequales sunt cen isendae sed in altera functiones f:X et Fu alias for-.mas habebunt, Vt nihilominus ambae aeque satisficiant. Casu quidem χαζ, ambae conueniunt perfecte: ponamus autem h o Vt prior det

quae euoluta praebet p quae Dissiligod by COOste

307쪽

qnae Brim utique in priori amf:X--F continetur. Consensus ergo binarum illarum formarum generalium eo magis est notatu dignus.

aao. Inuenire casus quibus haec aequatio ge

neralis c

ad formam praecedentem reduci, ideoque iisdem e sibus integrari potest.

Solutio.

Introducendo hinai nouas variabiles t et v, vest quemadmodum reductio M. ars. adhibita, ubi P mo et Vmo, declarat t

si ponamus ad abbreviandum r

prodibit haec aequatio:

308쪽

euius casus integrabilitatis ante designauimus, quoties fuerit n m Hi) m i - 1)ι denotantes numerum integrum quemcunque positiuum i cyphranon eXclusa. Ad hoc ergo necesse est ut fiat :

Quia autem hic. integrabilitatis sormularum t et uratio haberi debet, sumamus Q sitque

ideoque

ob unde est

309쪽

Quo aequatio fiat simplicior , duo casus praecipue

sunt considerandi, alter ubi braa, alter , - a. Priori est ι-u et ari: x et aequatio nostra erit

quae ambae aequationes integrationem admittunt casibus i - I).

sax. Aequationes postremo inuentae a se in vicem non disserunt, nisi quod binae variabiles xet ν inuicem permutantur unde sufficit alterutram sistam considerasse. Prior autem transBrmatur ponendo

332. Hae aequationes etiam sequenti Prma magis perspicua repraesentari possunt, prior quidem

310쪽

quae reducitur ad formam supra. resblutam ponendo,t zzaX--υ et u b ax traque autem est integrabilis casun m ι -I . Reductione enim ad variabiles t et u haec aequatio