Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

321쪽

Pro altero vero casu ubi m habet valores posituros, integralia sequenti, modo. exprimentur:

I. Si sic I , seu

ob et ierit integralec zzzfν--T: u seu Σ'

322쪽

etc.

unde lex, qua has expressiones ulterius conestiuare licet, per te est manifesta.

a G. Casus isti integrabilitatis congruunt eum iis, qui in aequatione morati a dicta deprehenduntur , nouimus scilicet aequationem hanc

Ο FI dxmax Hi dxintegrari posse quoties m est numeros integer fimpositimis siue negativus. Haec autum aequatio haud leui vincula cum nostra forma est connexa , modita ostendi potest. Proposita Brma generali pro integralibus ἰ articularibus inueniendis statuatur E α', ut v si functio ipsius x tantum , em

323쪽

; in qua si porro statuatur 'do

oritur α --ppdx ; ac si X HAU ut iunostro talia haec aequatio fit

p ndx a dae. Haud temere igitur euenire putandum est , quod utraque aequatio iisdem casibus integrationem admittat. Interim tamen notatu dignum occurrit, quod casus qui io forma Rucatisma sit is cillimus , idem in nostra aequatione neutiquam integrationem admittat. Habetur quippe haec aequatio

a Iaae

quae sumendo p I et g Iut sit

324쪽

transit iacuius integratio haud perspicitur.

3 I. Aequationis autem πὶ integralia particularia infinita exhibere licet, in hac ma a m APetra contenta. Cum enim hinc sit r

μ μ AP et λίλ-x ideoque μανλ λ- r), unde ex quovis numero pro λ assumto bini valores pro μ oriuntur ita ut habeatur et 'huiusmodi membrorum numerus Variando λ in infinitum multiplicari potest. Interim tamen singula haec membra adhuc generaliora reddi possunt. Posito enim , videamus an O necessario constans esse debeat: hinc autem fit ideoque nostra aequatio praebet per diuisa

325쪽

unde cuiusque membri ex ' numero λ nati forma

Quomodocunque igitur non sesum exponens λ sed etiam quantitates A, A, B , B varientur, infinita huiusmodi membra formari possunt, quae omnia iunctim sumta valorem completum functionis ae . ' . I praebere iant censenda. Quin etiam pro λ imagi naria assiuni P unt, posito enim λ a- -bν-I fit μ. p qY-1

existente i , ' '

ubi quantitates a et b pro' lubitu assumere licet, unde simul p et g definiuntur. Quodsi hic litteras, et q ut datas spectemus , binae reliquae a et pex iis ita determinantur , ut sit Vol. III. oo hic

326쪽

seu gh inter hos arctos limites bb bb -ἱ contineri debet statuatur 2 ς et νί-tasse ut sit . atque a a I et cf et ρ bf. ex quo forma integraliuni particularium erit

quae posito breuitatis gratia tangulo bis e taeto p

nostro pendeat.

Scholion

327쪽

2incque ulterius dimirentiando : .

dedimus.

328쪽

Problema. 56.

Ρmposita hae aequatione

in qua P, Q, R sint functiones ipsius x tantum , eam ope substitutionis

ubi quoque sint Μ et N iunctiones ipsius x tan

tum , in aliam eiusdem formae transmutare Vt prodeat:

existentibus F , G se H mninonibus Iulius x.

Solutio.

Quia quantitates Μ et N abs sint immu .

329쪽

quae formi per aequationem , quam randemtare assianimus, abit in hanc :

Uneque porro

Cum nune sit per hypothesin:

s hic alores modo inuenti substituantur singu-

tique membra Ain et O seorsim . ad

nihilum redigastur , orientur, scilicet

quatuor sequentes aequationes ex

330쪽

ex quibus commodissime primo quaeruntur P Qet R. Verum prima dat statim P F, unde secunda fit

quae aequatio per multiplicata commode integrabilis redditur , inueniturque integrale :

Quod si ergo breuitatis gratia ponamus N Ma

erit ' i

Siue iam hinc definiatur quantitas sta sue una funetionum F , G et Η , pro ipse aequatione promposita litterae P, Q et R, ita doterminabuntur, ut sit