Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

71쪽

Iitterae x, F et a variabiles sumantur: ubi quantitas Q. ex suo differentiali

definiri debet, sumta x constante, integrationem ita temperando, ut si S evanescat casu a a et a Ttac , etiam eodem casu cuanescat.

' σg. Hie ergo ad insigne hoc Theorema deducimur :Bod I fuerit s eiusmodi functis ipsarum X, y et Σ, .

quae euane,at ponendo X a et zmc , tum etiam pro eadem positione formulam geuamturam. Velut, si fuerits A x x--B Σ- Czz- D a a B a'--Cectit fg Bxa-Bος, . bquarum utraque expressio casu Xzzza et Σαe enaia nescit. Pluribus autem huiusmodi exemplis euolutis veritas Theorematis ita patet, Vt demonstratio solennis non desideretur. Interim huiusmodi functio semper quantitates solam F continentes a reliquis separando ita euolui potest, Tt in talem strmam

transmutetur: .

72쪽

ubi per hypothesin Ρ, 'Q, R ete. Tunt iunctiones

ipsarum X et et tantum. et tales quidem quae poncndo et . singulae' evanescanti illinc iam perspicuum est fore quae sorma mani sesto sub iisdem conditionibus eua nesciti Quomodocunque autem iunctio S hac indole praedita fuerit complicata tam formulis irrationalibus quam transcendentibus, eam semper in elu,modi sermam euoluere licet. quae etsi in infinitum progrediatur, haec demonstratio . tamen vim suam retium.

Uy. s eratur Humori functis et Darum Caria-bisium x et y τι sit formula disterentialis mPonamus ergo et sumta constante habebitur aequatio ut sit V R , et multiplicator erit m m unde fit

et aequatio integralis completa iunctionem z deteris minans erit Porro ad quantitatem q inueniendam , ob M et Id. V V D , erit .d Q o et Q. O ; unde sitq; συν. Hic idan autem valor ex ditarentiatione

73쪽

Exemplum. 2. .

o. quaeratur binarum i variabitam Xery eius

Cum sit habebitur sumto a conta te haec aequatio id et . aridi moad cuius multiplicatorem, inueniendum, multiplicetur

quae multiplicata: Per. e. integrabilis evadit. proditque

hincque

74쪽

ex quo aequatio integralis completa erit

Nunc porro cum sit ΜVα - erit et hincque sumto a constante , unde integrando obtinebitur r

ita ut sit Aequatio autem inuenta si disserentietur dat ras in

75쪽

Exemplum I.

modi functio et ui sit fal

litas ν constans et cum sit d*' m o , euidens est multiplicatorem idoneum css: να - mde cum sit - α ci erit

ratio em

S: Atang. -Atang. - - Atang. ἡ-Atangis et fimmo quaesita et hac aequatione definietur:

hi que

sumto F constante. Ergo

Q. Sin

et , qui idem Valor etiam ex dissereniatiatione prodit. x ' . Ceterum cum constantes a et e pro lubitu aecipi queant, iumtis iis nihilo aequalibus, stu saltem , erit aequatio integralis:

76쪽

unde erit etiam' miti t. ν et ZZAE L m lanct. .

quae functio si dicatur V hahehitur:

Scholion.

a. Vix opus est notari saepe fieri posse , vetautio huiusmodi quaestionum superet vires analyseos, quando scilicet aequatio ditarentialis resoluenda artificiis adhuc cognitis integrari nequit. Veluti si proponatur casus in distante fieri debet zzda, cuius integrationem nondum expedire licet. Interim quia integrale per striem exhiberi potest, modo id fiat complete , etiam Qlutio per seriem obtinebitur. diis

77쪽

methodos aperuimus aequationes differentiales quascunque per approximationes integrandi, idque compla te; his methodis in subsidium vocandis, omnia problemata huc pertinentia saltem per approximationem resolui poterunt. Ceterum in hae parte Analyseos sublimiori resolutionem aequationum differentiatium ad yriorem partem Analysis pertinentium pro concessa' istamere possumus, omnino uti, quo longius

in Analysi progredimur, ea semper quae ad partes praecedentes pertinent ψ etiamsi non penitus sunt molata, tanquam consecta spectare solemus.

78쪽

IBVs BINARUM FORMULARUM DIFFE- . RENTIALIUM. ALTERA PER ALTERAM v UNQUE DATUR. Problema IO.

Si x eiusmodi en debeat sumstio binarum variabilium X et I, Vt Hrmulae differentiales illi et salinter se fiant aequales, indolem istius functionis ''ia

genere determinare.

da pdx--qo, haecque Brmula puxερο integrationem sponte admittat. Quoniam igittae requiritur ut sit q'p, erit da p dxΦθὶ , et posito x- 'u , fiet dampdu, quae krmula cum debeat esse per se integrabilis, necesse est vi p sit iunctio quantitatis variabilis u , nullam praeterea aliam variabilem inuoluens; hincque integrando ipsa quantitas a

79쪽

aequabitur iunctioni ipsius u , stu prodibit et 'f: v, quae iunctio omnino arbitrio nostro relinquitur , ita ut pro a lanetio quaecunque ipsius u siue continua siue etiam discontinua assumta problemati satisfaciat. . Quare cum sit v x- , erit pro solutione nostri problematis zz I: a My). Quae Prma, quo facilius appareat , quomodo conditioni praes riptae satisiaciat, sit d.'umdus: u , ideoque ob

problema postulat.

V . a .' aecunque ergo functioi quantitatis α' , inmetur , ea No et assumta praescriptam habebit. proprietat , Ut sit Talem autem functionem, indicamus sigWo

μ' ' di, Chometrice haec. solutio ita etari potest. disti ipta stiper axe linea curua quacunque siue regulari siue tregulam, si abscissὶ ripit intist 'phreata siemser id meum alaret,i-tunctione x exhi bi . I s Coroll. a

80쪽

S. uniuersalitas huius solutionis per imV -'tionem ei utae in hoc consistit, quod quantitatis xv functioitem qualemcunque siue continuam siue etiam l si continuum 'pro x inuenerimus ; quippe 'quae' couditioni problematis semper satisfacit.

'i Scholion et . Fundamentum stlutionis hoc nititur prin- C pio, quod formula ditarentialis p du integrabilis esse nequciit, nisi quantitas p sit iunctio ipsius at vel vicissim ti functio ipsius p ita ut nulla alia variabilis in computum ingrediatur. Quin etiam qualiscunque fuerit p iunctio ipsius u integrale nisii actu exhiberi, semper tamen concipi potest; 'si enim udenotet abscissam, et: p applicatam curuae cuiuscunque sue regularis siue irregularis, qua ratione utique f-ctio quaecunque ipsius u in sensu latissiiso repraesentari potest . eius curvae area Ddu praebet vat irem formulae integralis odia , quae iterum victio ipsius u spectari potest; ex quo vicissim iunctio quaecunque ipsius u naturam formulae integralis spis exhaurit. Quod autem stinctio quaecunque quantitatis X I pro et assumta satisfaciat conditioni , ut in