Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

471쪽

quaestio plerumque dissicilior euadit quam ipsa proposita. 'Suffcit autem binas eiusmodi functiones Eci Findeque quantitatem x inuestigasse; quia de nceps permutandis Variabilibus X , F , a Vna cum respondentibus functionibus L , Μ, N sponte idoneus valor pro u elicitur. Ita in exemplo ante allato L FH-z, N α x Ipostquam inuenerimustra x- -zὶ x-ay , sola permutatio statim praebetum x a zὶ F--zyvel etiamum x FH a) xisy , perinde enim est, viro valore utamur.

Problema 83.

8 s. si posito

dν - pdx- ρο--rdet haec conditio praescribatur ut sit pq r 1, naturam functionis O inuestigare.

Solutio.

472쪽

qua transformatione id sumus assecuti, ut formula integralis bina tantum disserentialia o et dρ inuolvat. His igitur in Iocum principalium inductis , concludimus illam Brmulam integralem aequari debere iunctioni cuicunque binarum variabilium p et Sit S talis functio, ut fiatv p x q=' S, et iam superest , ut cum litterae p et in calculo retineantur aliae duae elidentur, id quod inde est petendum , quod sit: ideoque

Nunc igitur solutio ita se habebit. Introductis his ternis variabilibus p , ρ et a sumtaque binarum p et ρ stinctione qiraeuiaque S, capiatur: ac tum iunci:o quaesita v ita definietur ut sit Vel si malimus o 'per ipsas tres variabiles X. ν. π

473쪽

3 quaerantur valores ipsarum p et g , quibus in itinctione S substitutis erit sicque quaesito erit latissectum.

8 s. si iunctio S sumatur quantitas constans C, obppq et pqq ς erit hincque

um a P a C qui est valor particularis problemati satisfaciens.

8 . Quoniam in conditione praescripta pq r x lautantum differentialia trium variabilium x , ν et a currunt, eas quantitatibus constantibus quibusvis augere licet, unde nascitur QIutio aliquanto latius patens

I ii a

474쪽

88. Alius datur practerca casus facilem eu liuioiaem admittens pone udo S et ς Ypq , vade colligitur

vbi porro pro x , ν , a scribere licet x--s, 1 g. Σ--h. Ceterum patet solutionem generalem perinde succedere; si quantitas r lanctioni cuicunque ipsarum p q aequari debeat , seu si inter p,q, raequatio quaecunque proponatur.

Scholion 2.

489. Quodsi enim posito

do p dx--qΟ--rda inter binas formulas aequatio proponatur quaecunque, quae dictrentiata praebeat:

tum Diuitigoo by Corale

475쪽

ut sit sumatur iunctio quaecunque trium quantitatum p ,q , r, quae sit V haecque ditarentiata praebeat d V L --Mdq--N dr . tum vero esto Pu --Qudq--Rudr iideoque

quae forma ob nouam introductam variabilem ulatissime patet. Statuatur iam S m V , fietque x L-Ρu; F Μ in; a zzN Ruita ut nunc praeter variabiles p , ρ , r, quarum na per binas reliquas datur , noua habeatur u , ex quibus iam tres x , γ et a ita definiuimus , ut per eas vicissim hae p , q , r et u determinentur , tam

Quare pro V sumta quacunque sunctione trium quantitatum p ρ , r , inter quas elubmodi conditio Praescribitur , ut sit Ρ --ορ--Rdr O ,

sumatur :

476쪽

eritque :quae lolutio praecedenti ideo est ant ferenda , quod in laa c tres quantitates p , q , r aequaliter ingrediuntur.

so. Si posito

do pdX--qdν--rdet haec conditio praescribatur ut esse debeat naturam sunctionis . definire.

Solutio.

ditionem praescriptam debet esse PQR. -ι ι tum

Statuamus nunc

477쪽

Scholion.

9 I. Plures castis, quos sorte in hoc capite expedire liceat, hic non euoluo, cum quia hsus nondum perspicitur , tum vero imprimis, quoniam huius partis calculi integralis prorius a huc incognitae prima tantum principia adu .nbrare constitui. Pro formulis autem differentialibus altiorum graduum, quae in conditionem praelarintam ingrediantur , ViX quicquam proferre licet practer quasdam obseruationes ad aequationes homogeneas pertini'ntes, quibus ergo hanc partem calculi integralis sum finiturus , simulque toti operi finem impositurus. '

478쪽

LIVM HOJIOGENEARUM RESOLUTIONE.

Problema 8s.

S v aequetur iunctioni cuicunque binarum quantitatum ι et u , ita per tres variabiles a , I et a determinatarum ut sit ιααx ga et uet γν-δa eius Drmulas diss)rentialas omnium graduum inde

definire. -- -

Solutio.

ad v

479쪽

formulas scilicet disserentiales primi gradus. Prosormulis autem disserentialibus secundi gradus adipiscimur:

Simili modo ad tertium gradum ascendimus:

unde facile patet quomodo has Brmulas disserentiales ad altiores gradus continuari Oporteat.

Scholion I.

93. Hoc problema Brtasse generalius eoncipi debuisse videbitur , quantitates x et u ita per Κ xx a ues Dissiligod by Gorale

480쪽

tres variabiles x , a definiendo, ut esset et u αδX--εγ ζα erum cum haec hypothesis in eum tantum finem sit facta , ut o fieret functio ipsarum t et u , euidens tum quoque o spectari posse ut functionem harum duarum quantitatum ει - βu et δι - αu, quarum illa ab F haec vero ab X erit libera. Quocirca hypothesis assumta latissime patere est centenda, exceptio tamen sorte hinc admittenda videbitur , si

fuerit τοῦ TX--z et u X - et quia hic ipsius a va-Ior non continetur , verum etiam hoc casu quantitas υ ut iunctio ipsiarum ιμ-u et ι - u spectata fiet

functio ipsarum x et a qui casus utique in hypothesi continetur, sumtis β o et Y O.

Scholion 2.

O . Hoc problema ideo praemisi, quia alias aequationes dissi rentiales tractare hic non sustineo , nisi quibus eiusmodi valor satisfacit, ut v aequetur functioni cuicunque binarum nouarum variabilium 1 et u , quae ab principabbus x , a, et ita Pen deant, t sit quemadmodum assumsit αX-βa et u υ δα. Huiusmodi autem ae luationes, quibus hoc modo satisfieri potest , esse homogeneas, facile patet, ita Vt aequatio resoluenda constet nonnisi sormulis diseierentialibus eiusdem gradus , singulis per constan tes quantitates multiplicatis, et inter se additis, qua Diuiligod by COOste