장음표시 사용
481쪽
qua appellatione aequationum homogenearum iam in parte praecedente sum usus. Proposita ergo huiusmodi aequatione homogenea, loco singularum formularum differentialium per elementa G, da formatarum subiti tuantur valores hic inuenti per elementa di et du formati, et tum singula membra , quatenus certam formulam disserentialem ex elementis dι et du natam complectuntur, seorsim
ad nihilum redigantur; indeque rationes et bdeterminentur ; quandoquidem quaestio non tam circa has ipsas quantitates , quam earum rationes Versiatur. Quoniam igitur duae tantum res inuestigationi relinquuntur, si pluribus aequationibus fuerit satisfaciendum, eiusmodi aequationes homogeneae hac ratione resolui nequeunt, nisi casu plures illae ae- aequationes ad duas tantum reuocentur, id quod iasequentibus clarius explicabitur.
9s. Proposita aequatione homogenea primi gradus: in uestigare naturam functionis O trium variabilium Fingatur OzzΓ: retu) existunte ναοῦαX-ga et a
482쪽
et facta substitutione ex probi. praeced. aequatio nostra in duas partes diuidetur: quarum utraque seorsim ad nihilum reducta praebet unde fit x Cx-Αx et a CF-Bati Quare aequationis propositae integraIe completum
96. Permutandis variabilibus hoc integrale etiam ita exprimi posse euidens est
483쪽
s . etiam constitutis ex aequatione proposita his tribus formulis:
functio quaecunque ex tis utcunque conflata valorem idoneum pro O suppeditabit. Quoniam enim harum binarum formularum unaquaeque est disserentia binarum reliquarum , talis functio duas tantum variabiles complecti est censenda
7 498. Perinde est quanam harum trium forismarum integralium utamur , quando autem binae nouae variabiles t et u inter se fuerint aequales , tum alia est utendum. Vel uti si esset C o prima Brma ναοῦ Γ: et et at , ut potesvnctio Elius αstret inutilis, et integrale completum esset sutu-xum :
99. Proposita aequatione homogenea secundi gradus: casus Disit iam by Cooste
484쪽
eaius inuestigare, quibus eius integrale hae 2rma Γ: tetu) exprimi potest existente
Facta substitutione secundum sormulas in probi. 13. traditas aequatio proposita in tria membra sequentia resoluetur:
quorum singula seorsim nihilo debent aequari. At primum praebet
qui valores in media, quae ita reseratur
substituti suppeditant hanc aequationem :EF CD m V EE-ACJ FF-BC)qua aequatione conditio inter coem cientes A, B , C , D, E , F continetur , ut solutio hic applicata
locum inuenire possit. Haec autem aequatio eu liva dat
485쪽
quia factor C per muItiplicationem est ingressus. Quoties autem haec conditio habet locum ut sit: AFF--BEE--CD DII ABC-- aDEFtoties haec expressio algebraica ex 'aequatione proposita formanda Axx BD Czz-- aDxI 2 Ex z--aFFΣ in duos laetores potest resolui, neque ergo aliis ca-sbus solutio hie adhibita locum habere potest. Quo ergo hos casus solutionem ' admittentes rite euoluamus, ponamus huius Prmae factores esse: ax-- by ca)ίDH-gν--bet)quod ergo eueniet, si fuerit
Hinc autem pro solutione colligitur: vel Z - ra vel E et
ubi obseruari oportet pro stactionibus et valω res sibi subscriptos coniungi oportere , ira Ut sit. i
486쪽
Quocirca pro his casibus solutionem admittentibus intcgrale completum eritvm Γ : cx-az et c)-ba)--Δ: bx et et hy-gαὶ scu
scio. Hoc ergo modo aliae aequationes h mogeneae secundi gradus resolui nequeunt , nisi quae in hac forma continentur :
tum Vero integrale completum erit
sox. Quo autem facilius dignoscatur, Vtrum aequat o quaepiam proposita :
487쪽
eius integrale completum hinc statim exhiberi potest.
so 2. Unicus tantum casus quo duo isti factores inter se fiunt aequales , exceptionem postulat, quoniam tum binae iunctiones inuentae in unam coalesterent. Verum ex superioribus colligitur , si hoc eueniat ut sit 1 a , b g et B o integrale completum ita exprimi
soa. Quibus ergo casibus aequatio homogeneasteundi gradus resolutionem admittit , iis quoquo in se complectitur duas aequationes homogeneas primi gradus quippe quarum utraque illi satisfacit, et harum integralia completa iunctim sumta illius integrale completum suppeditant. Hinc alia Via aperitur aequationum homogenearum secundi gradus integralia inueniendi fingendo aequationem primi gradus ipsis satisfi cientem :LII a tum Diqitirso by COOste
488쪽
tum ex hac per tripΙicem dictrentiationem tres nouae formentur: quarum prima per L secunda per g et tertia per bmultiplicatae et in unam summam collectae, ipsam illam aequationem generalem producunt, cuius integrale supra exhibuimus. Ea ergo quasi productum ex binis aequationibus homogeneis primi gradus spectari poterit, ex quibus coniunctis integrale comis pletum Ermatur.
so . Infinitae ergo aequationes homogeneae secundi gradus hic excluduntur, quae hoc modo integrationem rcspuunt, seu ad aequationes primi. gradus reduci nequeunt ό qui casus exclusi omnes ex hoc criterio agnoscuntur, si non fuerit
ergo ise integrale, cuiusmodi hic assumsimus non admittit, neque etiam alia patet via eius integrale completum inuestigandi. Integralia autem particu- , Iaria lacile innumera exhiberi possunt, et quae. adeo iunctiones arbitrarias complectuntur , sed tantum nius Diuitigoo by Corale
489쪽
vnius quantitatis variabilis, quae in praesenti instituto nonnisi integralia particularia constituere sunt censendae. Si enim ponatur Γ: ax----Y a)facta substitutione fieri debet αβ γγ , seu sumto, et , debet esse αβ ι quare innumerabiles adeo huiusmodi formulae coniunctae satisisciunt visit
ubi pro α , β , γ, δ ete. numeros quoscunque accipere licet, quamuis autem infinitae huiusmodi formulae diuersae coniungantur, tamen integrale nonnisi pro parti lari haberi potest. Ex quo intelligitur integrationem completam istius aequationis maximi esse momenti. methodumque eo perueniendi fines analyseos non mediocriteresis prolaturam. Aequationes autem homogeneae tertii gradus muIto maiorem restrictionem exigunt, ut integratio completa hoc modo succedat, uti s quenti problemate Ostendetur.
sos. Aequationum homogenearum tertii gradus eos casus definire , quibus integrale completum per formam assum tam exhiberi, seu ad Drmam aequationum homogenearum primi gradus reduci potest.
490쪽
In aequatione homogenea tertii gradus fingatur contineri haec primi gradus quae ut satisfaciat aequationi tertii gradus :
necesse est ut expressio haec algebratea :Α Σ' -- B in C Σ' - D a F x x Σ Φ Ηυ ΣΨΚ xyaΦ Ea υ ΦGa zz in IIa factorem habeat ax H-by--cet, nisi autem alter factor denuo in duos simplices su resolubilis, adaequationem homogeneam secundi gradus reseretur , quae solutionem respuit. Quare t integratio completa succedat necesse est , illam expressionem tribus constare factoribus simplicibus, qui sint