장음표시 사용
491쪽
ac tum integrale completum erit
quilibet stilicet sector simplex praebet stinctioinem arbitrariam duarum variabilium.
so6. In qualibet harum functionum variabiles X , y , et inter se permutare licet ; quin etiam quaelibet quasi ex tribus variabilibus conflata spectari potest , prima nempe ex his
so . Si duo sectores fuerint aequales f a , grab , Θ c quo eam duae priores sunctioncs in unam coalescerent, earum loco scribi debeta Γ: φ - L etp et Γ - 2- , at si omnes tres fuerint aequales, ut insuper sith a , m b, n c integrale completum erit: - L et Δ: - - : α α - γ
- so8. Quemadmodum hic duas priores partes per xx et x multiplicauimus, ita eas quoque Pur II et Fitem az et a multiplicare possemus , perinde enim est quanam variabili hic utamur, dum ne sit ea quae sorte sulci post fgnum sunctionis occurrit, scili et Diuiliam by Corale
492쪽
licet si esset ano, et iunctiones quantitatum x et capi debeant, tum multiplicatores xx et x excludi
sos. Simili modo patet aequationes homogeneas quarti gradus hac methodo resolui non posse , nisi in quatuor eiusmodi aequationes simplices resolui, et quasi earum producta spectari queant. Etsi enim
hic reuera nulla resolutio in facti res locum habeat tamen ex allatis exemplis clare perspicitur , quemadmodum ex aequatione disserentiali homogenea cuiu cunque gradus cxpressio algebraica eiusdem gradus ternas Variabiles X , a , et involitens debeat formari; quae si in factores simplices formae axq-by Φ ca re
solui queat, simul inde aequationis disserentialis integrale completum facile exhibebitur , cum quilibet factor iunctionem duarum variabilium sup itet, integralis partem constituentem ; ita ut etiam haec pars seorsit in sumta aequaticini disserentiali satisfaciat et pro integrali particulari haberi possit. At si illa ex prestio algebraica ita fuerit comparata , ut factores quidem habeat simplices sed non tot, quot dimensiones , singuli quidem integralia particularia praebcbunt, quae autem iunctim sumta non integrale completum suppeditabunt. Veluti si proponatur haec aequatio differentialis tertii gradus: quia forma algebraica axυ θυν--aXzz-byzz factorem habet simplicem axΦυ, illi utique sati faciet Diuitigod by Coos le
493쪽
diciet valor Ozzr: z--beta: in pro integrali autem
completo adhuc desunt duae functiones arbitrariae, integrale completum huius aequationis )'o continentes, ex qua quippe alter factor -za illius expressionis nascitur. Quoties ergo hae expressioves algebraicae ex aequationibus differentialibus h mogeneis altiorum graduum Ermatae resolutionem in lactores, etsi non si lices, admittant; hinc siil-tem discimus, quomodo earum integratio Id aequa. tiones inferiorum graduum Teuocari possit, quod iahuiusmodi arduis inuestigationibus sine dubio maximi aest momenta
s Io. Haec sunt quae de functionibus trium varia-hilium ex data quadam differentisium relatione investigandis proferre potui, in quibus *tique nonnisi Prima elementa tua ius scientiae continentur, quorum Vlter.or euolutio sagacitati Geometrarum summo studio est commendanda. Tamum enim abest, ut hae speculatioues pro sternibus sint habendae , ut potius Pleraque, quae adlauc in Tlaeoria motus suidorum desii erantur, ad has Analyseos partes sublimiores sint reisrenda; quarum propterea Vtilitas neutiquam paria priori calculi integralis postponenda idetur. Eo magis aprem hae partes posteriores ocoli merentur, quod Theoria fluidorum adeo circa functiones quatuor variabit um versetur, quarum naturam ex aequationibus differentialibus secundi gradus inuestigari oportet. quam Partem ob Penuriam materiae ne attingere
quidem voluL In hac autem Theoria retolutio huius GL III. H m m aequa-
494쪽
aequationis: maximi est momenti, ubi litterae X, γ, a ternas coordinatas, ι vero tempus elapsum e rimunt, harumquoquatuor variabilium functio quaeritur, quae loco v subinstituta illi aequationi satisfaciat. Ex hactenus autem alis latis facile colligitur, integrale completum huius aequationis duas coinplecti debere functiones arbitrarias, quarum utraque sit iunctio trium variabilium, aliasque Q- Iutiones omnes minus lato patentes pro incompletis esse habendas. Facili autem negotio innumeras solutiones pari culares exhibere licet, veluti si ponamus UzΓ: α Σεβγ- - γα -διὶ reperitur: quod cum infinitis modis fieri possit infinitae huiusmodi functiones a .ditae Valorem idoneum pro v exhibebunt. Deinde etiam satisfaciunt isti valores
quorum quidem inuestigatio iam est difficilior. Cum
autem hae iunctiones tantum sint unius variabilis integralia maxime particularia eXhibent; quae adeo etiamnum forent particularia, si pro υ functiones binarum variabilium haberentur, quales autem ne suspicari quidem licet. Quare cum integrale completum duas adeo functiones arbitrarias trium variabilium complecti debeat, facile intelligitur, quantopere adhuc ab hoc scoposuius remoti. APPE
495쪽
497쪽
Delatio inter binas variabitu variari ει tur , fluaBr, quo altisa inde per Hrenam determis rQ; incrementρ infinite μω augeri conciFatur, quod incremensum Oariationem eius Fantitatis, citi adiici-
a. primunt ergo hic cqnsideratur resatio inter binas variabiles x eis quaecunque, aequatiom. Quacuaque. iarer easdem expressa, qua pro singulis Μ m m a Val
498쪽
ualoribus ipsi x tributis valores ipsius y conuenientes determinentur, tum vero singuli valores ipsius' particulis infinite paruis utcunque augeri concipiantur, ita ut hi valores variati a veris, quos eX relatioue proposita sortiuntur infinite parum discrepent, atque hoc modo relatio illa inter x et ν variari dicitur, simulque particulae illae infinite paruae valoribus veris ipsius' adiunctae appellantur. Imprimis autem hic notandum est has luaribtiones , Qtibus finguli valores ipsius y augerI conci piuntur , neque inter se statui aequales , neque ullo modo a se inuicem pendentes, sed ita arbitrio nostro permitti , ut omnes praeter
tes plane ut nullas spectare liceat. Nulli scilicet Iegi hae variationes' ddstrictae sunt concipiendae , neque relatio inter x et data ullam determinati nem in istas variationes instrie esti censenda, quas ut prorsus arbitrari ssectare oportet.
a. Hinc patet Jariationes toto coelo dishrrea dioerentialibus etiamsi utraque sipt infinite paruch ideoque . sane ς'lanescant Variati' enim assicit . eun .dem . yalore ni ipsi's λ, i eidem .valori ipsus X cbn- . venientem , dum eius dissi rentiale o simul sequentem valorem Σφώ respicit.
499쪽
at variatio ipsius ν neutiquam pendet a valore 'sequente es, quin potius utrique F et pro lubitu suam variationem seorsim tribuere licet.
s. Haec variationum idea quae per se tam nimis vaga quam ster Iis videri queat, maxime iLIustrabitur , si eius originem et quo Pacto ad eam
est peruentum, accuratius exposuerimus. Perduxit autem eo potissimum quaestio de curuis inuenie udis, quae certa quadam maximi minimi ue proprietato sint praeditae, unde ne rem in genere considerando obscuritas offundatur, probIema contemplemur, quo linea curua quaeritur , super qua graue deIabens odato puncto citissime ad aliud punctum datum descendat. Atque hic quidem ex natura ' Aax morum et minimorum flatim constat, curuam ita debere esse comparatam, ut si eius loco aIta curua quaecunque infinite parum ab illa discrepans substituatur tempus descensus super ea idem prorsus sit futurum. Solutionem ergo ita institui oportet, ut dum curua quaesita tanquam data spectatur, calcuIus quoque ad aliam curuam infinite parum ab ea discrepantem accommo 'etur, indeque discrimen quod in temporis expressionem redundat, sup-Putetur ; tum enim hoc ipsum .distri en nihilo ae quale positum natimam curuae , quuestae declarisit. Curvae autem istae infinite parem a quaesita disere parites commodissime ita considerantur , ut applici
tae singulis abstissis respondentes Marticulis infinite
500쪽
paruis vel augeantur vel minuantur, hoc est, ut CariaIlarer recipere concipiantur. Vulgo quidem sufficit huiusmodi variationem an . nica applicata constituisse , nihil autem impedit, quominus pluri bus .atque adeo .Omniblius .applicatis sales Variationes assignentur, cum semper ad eandem solutionem perduci sit necesse. Hoc autem .modo non solum vis methodi multo luculentius illustratur sed etiam inde solutiones quaestionum thuius generis pleniores obtinentur , Inde eetiam quaestiones ad alias conditiones spectantes enucleare licet. Quam ob causam Omn nonecessarium Videtur, ut calculus xariationum in a plissima extensione, cuius quidem est capax , Per tractetur.
6. Pro .data relatione inter binas .mariabiles uantitates Utraque irarum variari dicitur, si τι que seorsim increm to itinnite partis otigeri concipiatur. de paret quomodo inteu endum si s τιrique Caria Lli sua tribuatur Curiatio.
. si proposita si aequatio quaecunque 4nter binas Variabiles x et di qua earum relatio mutuae primitur, haec relatio per definitionem duplici modo Variari potest, altero quo manentibus Val xibus X, singulis ν variatio tribuitur , altero Vero quo manentibus Natoribus,, singuli ae variari .co xipiuntur. Nihil igitur prohibet, quo minus utra que