장음표시 사용
501쪽
pie' variabilis simul suas variationes recipere intelligatur , quas adeo ita capere licet, ut nullo plane nexu inter se cohaereant, duplex ergo hic variatio consideratur, cum in definitione prima unica tantum sit admissa. Rem autem hic ita generaliter contemplamur, ut neutra variatio ulli legi sit a fricta neque etiam variationes ipsius I xllo modo a variationibus ipsius X pendeant. .
8. Ex casu ergo quo duplex variatio statuietur , ea sus prior tanquam species nascitur, si variationes alterius variabilis plane reiiciantur, unde manifcstum est calum definitionis secundae in se complecti casum Primae.
s. Hinc magis ' elucet, quemadmodum data relatio inter binas ariabiles infinitis modis variari possit, sin nique intelligitur, quoniam has 'ariationes nulli Iegi adstr ctas assumimus , Omnes omnino ill: us relationis variationes possibiles hac ratione indicari. i
ro Variationes quidem alterutri tantum variabili indi: ctae iam omnes variationes possibilcs,' quae in propositam relationem inter binas ariabiles cadere possunt , comprehendunt', ut sufersuum
502쪽
videri possit ealculum ad duplicem variationem ae- commodari , verum si indolem rei, usumque cui destinatur , attentius contemplemur , duplicis varia tionis consideratio neutiquam superuacanea deprehendetur , id quod per Geometriam euidentissime sequentem in modum illustrabitur. Cum relatio quaecunq.ie inter binas variabiles distimstissime per lineam curuam in plano descriptam repraesentetur , sit AYM linea curua , aequatione inter coordinatasTig. 1. A X at et XY Try definita , quae ergo datam iI-lam relationem ex albeat, iam igitur quaelibet linea curua alia AIM ab illa infinite parum discrepans relationem illam variatam repraesentabit, quae quomodocuuqtie se habeat; semper ita considerari potest, ut eidem abscissae AXzx conueniat applicata variata XO existente particula Xυ eius variatione, quae consideratio quoque pro plerisque circa maxima et mi-,nima prolatis quaesti 'nibus sufficit, ubi adeo curua A Mi in non quit ἰS tantum elementis variari solet concipi. At .si quaestio ita si comparata ut inter omnes curuas , uuas a dato puncto A ad datam quampiam curvam CD usque ducere licet, ea definiatur AYΜcui maximi minimi ue proprietas quaedam conueniat, tum eadem proprietas. ia aliam quamcunque curuamproximam A=m etiam in alio lineae CD puncto ni terminatam aeque competere debet, sicque pro VI- . timo curvae quaesitae. puncto M tam abscissa AΡ- quam applicata PM variationem recipere est cen- . senda , et huius Hi quidem , quae. naturae lineaei . t CD Dissiligod by Gorale
503쪽
CD sit consentanea. Quo igitur calculus ad italem variationem ultimo elemento inductam accommodari queat, omnino necesse est , ut pro singulis curuae An pu iustis intermediis Y generalissime tam abscissae AX ae quam applicatae XY F . Variatio nes tribuantur quaecunque, illiusque variatio statuatur particula Xa: huius vero zz - XY, ex quo
indoles simulque usus huiusmodi duplicis variationis clarissime perspicitur.
11. Quemadmodum consideratio ultimi puncti curvae inuestigandae nobis hanc insignem dilucidationem suppeditavit ita etiam subinde primo puncto variationem tribui oportet. Veluti si inter omnes lineas, quas a data quadam curua AB ad aliam quandam Tig. a. itidem datam CD ductas concipere licet ea sit quaerenda , quae maximi minimiue cuiuspiam proprie. tale sit praedita, tum multo magis erit nec arium
tam singulis abscissis A X quam applicatis XY variationes quascunque nulla lege adstrictas in calculo assignari, ut deinceps tam ad initii G curuae quaestae, quam eius finis Μ variationem transferri possint. Quanquam autem haec illustratio ex Geometria est desumta , tamen facile intelligitur ideam variationum inde petitam multo latius patere, atque in Analysi absoluta summo usu non esse cari
504쪽
mus Geometra Taurinensis, cui primas speculatimiles de calculo Variationum acceptas referre debemus hanc methodum adeo ingcniosissime transtulit ad lineas non continuas veluti ad polygonorum genus reserendas , in quo negotio hae duplices variationes ipsi summam praestiterunt utilitatem.
xa. Relatio inter tres variabiles , duabus aequationibus determinata , Cariari dicitur , si earum oel a , vel duae , Cel omnes tres parιiculis is rite pam Nis augeamur, quae earum variationes appelluntur
xa. Cum tres proponantur variabiles quantitates veluti x , I et et, inter quas duae aequationes dari concipiuntur , ex Vna quaque earum binas reliquas determinare licet , ita Vt tam a quam et tanquam iunctio ipsius x spectari possit. Hoc autem modo definiri solet linea curua non in eodem plano descripta dum singula eius puncta per has ternas coordinatas X , γ et e more solito assignantur. Quodsi Iam tali& curua alia quacunque sibi proxima comitetur , ut ' disserentia sit infinite parua , haec noua curua propositae erit Variata , ac relatio illa inter ternas variabiles X, F, et 'ariata eius naturam ii ex primere est concipienda. Ex quo prout 'bina punctayr ima alterum in ipsa curua proposita; urerum
505쪽
in variata comitante assumtum inter se comparantur, fieri potest ut pro variata vel Omnes tres coordina tae prodeant diuersiae , Vel duae tantum , vel saltem unica harumque disterentiae a coordinatis principalis curuae earum variationes repraesentabunt; quas autem hic ita generalissime contemplari conuenit, ut ad omnes omnino curuas proXimas extendantur , siue cae per totum tractum a curra proposita suerint diuersae , siue tantum in quibusdam portionibus ab ea aberrent, ita ut etiam lineae non continuae dummodo principali sint proximae; hinc non excludantur. Neque enim hae curuae variatae ulli continuitatis Iegi sunt adstringendae, Ut omnes plane curuas mssibiles infinite parum a Principali aberrantes in te complectatu is
x . Cum puncto ergo quocunque eumae propositae seu principalis comparatur punctum qu Piam curuae variatae infinite pirum ab illo dissitum , et hincque coordinatarum variationes definiri
13. Quia porro ex assiumta variabili una x, binae reliquae 3 et a ideoque punctum curuae pro Positae determinatur, etiam variationes singularum Coordinatarum tanquam miretioncs ipsius x spectare Iicet, dummodo earum quantitas ut infinite parua spectetur.
506쪽
Iσ. Tres ergo quascunque sunctiones ipsus aeutcunque inter se diuersas concipere licet, quae per factores infinite paruos multiplicatae idoneae erunt ad ternas variationcs coordinatarum repra sentandas. Quod idem de ternis quibuscunque variabilibus esttcnendum etiamsi non ad geometriam reserantur.
x . Simili quoque modo si relatio tantum inter duas variabiles proponatur, earum variationes tanquam iunctiones alterius variabilis spectari possunt, modo sint infinitae parum , seu quod eodem redit per quantitatem infinite paruam multiplicatae.
x8. Consideratio autem geometrica maxime est idonea ad has speculationes illustrandas, quae in genere consideratae nimis abstractae atque etiam Va gae videri queant. Casus igitur trium variabilium quarum relatio duabus aequationibus definiri assumi tur, luculentissime per curvam non in eodem pia no destriptam explicatur , dum illis variabilibus ternae coordinatae designantur. Quodsi enim de huiusmodi curuis quaestio instituatur, ut inter eas definiatur ea quae maximi minimiae proprietate qua piam sit praedita necesse est ut eadem proprietas in omnes alias curuas ab ea insinite parum aber
507쪽
Tantes aeque competat, id uuod ex variationibus debite in calauluin introductis est diiudicandum. Cuinam autem Vsiti summa generalitas in variationibus hie stabilita sit futura , inde intelligere licet, si loco Fig. a. duarum curuarum ABet CD datae sint duae quaecunque superficies a quarum illa ad hanc eiusmodi lineam curuam duci oporteat, quae maximi minimi ue quapiam gaudeat proprietate. Tum enim te narum coordinatarum Variationes ita generales considerari oportet, ut curvae quaesitae puncto ad initium in superficiem AB translato variationes ibi ad eandem superficiem accommodari possint, idque simili modo in fine ad superficiem CD fieri queat. Ex quo perspicuum est in genere tres variationes in caIcu Ium introduci debere , ut eas tam pro initio quam pro fine curuae inuestigandae ad superficies terminatrices transferre liceat, quippe quarum indoles in utroque termino relationem mutuam i ter variationes determinabit.
rs. Quemadmodum hic tres variabiles sumus contemplati quarum relatio duabus aequationibus derexmirnatur , ita etiam calculus variabilium ad quatuor pIuresue extendi potest , siquidem relatio per tot aequationes exprimatur vi per unicam variabilem reliquae omnes determinationem suam nanciscantur , etiamsi huius casus illiastratio non amplius
508쪽
ex Geometria tribus tantum dimensionibus inclusi peti queat; nisi sorte tempus in subsidium vocare velimus, fluuium continuum a superficie AB ad superficiem CD profluentem sed temporis lapsu iugiter immutatum considerantes ita ut tum etiam temporis momentum sit assignandum quo quaepiam fluuii vena a superficie AB ad superficiem CD porrect a maximi ves minimi proprietate quadam sit praedita. Ad quas variabiles si insuper celeritatis mutabilitatem adiiciamus, haec maiori Fariationum numero illustrando inseruire poterunt. Imprimis autem hinc intelligitur , etiamsi omnes variabiles aper Unicam determinari assumantur , rationem investigatiotiis tamen ab ea ubi duae lautum variabiles admittuntur, maxime discrepare, propterea quod singulis suae variationes a reliquis non pendentes tribui debent; neque enim inde, quod inter variabiles ipsas certa quaedam relatio agnoscitur, ideo quoque learum variationes vlli relationi adstrictae sunt censendae. Veluti ex casu ante allato manifestuir, est , ubi curua inter binas sit perficies A B et CD porrecta et certa maximi minimi ue proprietate praedita utique ita est in se determinata , ut sumta coordinatarum una binae resiquae determinentur; nihilo vero minus curvae artatae omnes quae in omnes plagas ab illa deficctere possunt, pro singulis coordinatis recipiunt variationes neutiquam a te inuicem pendentes, solo initio ac fine excepto, ubi ad datas superficies accommodari Oportet.
509쪽
ao. Relatio inter ternas Cariabiles unica aequatione d ita τι una earum aequetur functioni binarum reliquarum , Cariari dicimr , s vel ina vel omnes tres illae Cariabiles particulis infrure parvis augeantur , quae earum Cariationes Cocantur.
a I. Quoniam hic relatio inter ternas variabi-las unica aequatione definiri ponitur, duabus pro arbitrio sumtis tertia demum determinatur , ita ut pro sunctione duarum variabilium sit habenda. Ea ergo relatione non quaedam linea curua , si rem ad figuras transfierre velimus, indicatur, sed tota quaedam superficies , cuius natura aequatione inter 'ternas coordinatas eXprimitur , ex quo intelligitur, eadem relatione Variata aliam superficiem ab illa infinite parum dissidentem repraesentari, quae Variatio ita latissime patere debet, ut variatio Vel tantum ad quampiam superficiei portionem restringi vel per totam extendi possit. Prout . igitur cum quouis superficiei datae puncto aliud punctum superciet variatae illi quidem proximum comparatur, fieri potest , ut non solum. trium coordinatarum una sed etiam duae vel adeo omnes tres . arientur; nde quo tractatio, in omni amplitudine instititatur, conueniet statim singulis coordinatis suas tribui va-xiationes , quas propterea ita comparatas esse opor-- . . Voc III. O OO tet, Diuitigoo by Cooste
510쪽
let, Ut tanquam iunctiones binarum variabilium spectari possint, cum binis demum determinatis superficiei punctum determinetur.
ast. Si igitur tres variabiles seu coordinatae sint x, γ et et , quemadmodum ex relatione binis x et y pro lubitu valores tribuere licet , unde a valorem determinatum obtineat itidem variatio ipsius et ab utraque illarum x et a pendere censendaeli, quandoquidem siue alterutra sive ambae mutentur , alia variatio ipsius a resultare debeti
aa. Quod hic de variatione Unius et obseruatum est perinde de binis reliquis est intelligendum , ita ut singularum variationes sint tanquam iunctiones binarum variabilium considerandae ; quoniam vero intcr x et a et et aequatio datur, perinde est, quarumnam binarum sanctiones concipiantur, quia lanctio i psarum F et a per aequationem ad functionem ipsarum x et a reuocari potest, si stilicet Ioco et suus vaIOr per x et F expressus substituatur.
. st . Hac Variationum institutione erit utendum, si superficies suerit inuestiganda, quae maximi minimiue quapiam proprietate sit praedita , qua