장음표시 사용
511쪽
s. doquidem 'calculum; tum ita instrui oportet ut eadem proprietas In superficies illi proximas ac variatas. aeque eommtat. Deinde cum in curuis maximi minimiue proprietate praeditis amborum terminorum ratio praelaribi soleat, ut vel in datis punctis, veIad datas lineas curuas , vel adeo super scies terminentur , similis conditio hic est admittenda, ut superficies quaerenda circumquaque definiatur, vel data quadam superficie circuMscribatur cuius pO- serioris conditionis ut ratio, halberi possit, omnino
necesse est ; ut omnibus tribus coordinatis variationes generalissimae a se inuicem neutiquam pendentes tribuantur , quo eae deinceps in extrema ora ad naturam superficiei, ter jnantis aecommodari queant. Hic quidem fatendum est methodum maximorum et minimotum vix adhuc ad huiusmodi inuestigationes esse promotam tantasque difficultates hic Ocis currere , ad quas superandas multo maiora Analyseos incrementa requiri videntur. Verum ob arane ipsam causam eo magis erit enitendum t principia huius methodi quae calaulo Tariationum continentur , solide stabiliantur , simulque clare ad distincte
- . as. ViX opus esse arbitror hic animaduertere,
istum calculum: cmili modo ad plures tribus varia hiles amplificarii posse , etiamsi quaestiones geometricae non amplius dilucidationem stippeditent; ipsa enim Analysis non Tti. Geometria certas. dimcnsio:
512쪽
num numero limitari est censenda. Quando autem plures variabiles considerantur, ante omnia perpendi conuenit, Vtrum evum relatio mutua unica tantum aequatione eXprimatur , an pluribus t quae tot esse possunt, ut mulitudo unitate tantum a numero variabilium deficiat, quo calia omnes tanquam sunctiones unius spectare licet. Sin autem paucioribus aequationibus constet relatio , singulae variabiles erunt functiones duarum pluriumue variabilium , et quolibet quoque casu variationes' singuIis tributae tanquam functiones totidem variabilium tractari deis hent , siquidem hunc calculum generalissime expe
α6. Calaudus uariationum es methodus inue redi Mariationem, quam recipit expresso ex quotcunque --riabiabus meumque moma , dum variabilibus vel omnibus viri aliquibus variationes tribuuntur.
a . In hae definitione nulla fit mentio relationis, quam hactenus inter variabiles diri assumsimus , cum enim hic calculus potissimum in hac ipla relatione inuestiganda sit occupatus quae scilicet maximi minimi ue proprietate sit praedita quamdiu ea adhuc est incognita , eius rationem in calculo neutiquam habere licet, sed potius eum ita tractari conuenit, quasi variabiles 'nuIta plane rela-
513쪽
tione inter se essent connexae . Caleulum igitur ita instrui conuenit, ut si singulis variabit:bus, quae in calculum ingrediunturi, variationes. tribuantur quaecunque omnis gencris eX pressionum , quae utcunque ex iis fuerint conflatae, variationes inde oriundae inuestigari doceantur, quibus 4n genero inuentis tum demum eiusmodi quaestiones euoluendae occurrunt , qualem relationem inter variabiles statui oporteat ut variatio illa inuenta sit vel nulla , uti in investigatione maximorum seu minimo rum usu venit, vel alio certo quodam modo sit Comparata, prout natura quaestionum exegerit. Hoc modo si istius calculi praecepta tradantur , nihil impedit , quo minus etiam eiusmodi quaestiones tractentur , in quibus 'statim relatio quaedam inter variabiles tanquam data assumitur ac certae cuiusdam expressionis ex iis Brmatae variatio ex variabilium
variationibus nata desideratur. Ex quo intelligitur, hunc calculum ad quaestiones plurimas diuersissimi generis accommodari posse.
28. Quaestiones ergo in hoc ca Iculo tractandae huc redeunt, ut proposita expressione quacunque ex quotcunque variabilibus tcunque conflata, cius incrementum definiatur, si singulae variabiles suis variationibus augeantur.
514쪽
29. Similis igitur. omnino est calculus , Varia tionum calculo differentiali, dum in utroque varia-hilibus incrementa . infinite parua tribuuntur. i Quatenus autem uti iam obseruauimus, variati rara a differentialibus discrepant, adcoqile simul cum ii consistere possunt, eatenus summum discrimen interutrumque calculum est agnoscendum. f., . l.
ao. Ex obseruationibus supra allatis discrimen hoc maxime fit manifestum , ibi enim calculus refertur ad lineam curuam, quam cum alia sibi proxima comparari' oπrteti, per dictremialia a puncto quovis curuae ad alia puncta eiusdem curuae progredimur , quando autem ab hac curua ad alteram sibi proximam transitimus, transitus quatenus est infinite paruus, fit per Variationes. Idem .euenit in superficiebus ad alias sibi proximas relatis, ubi disserentialia in eadem superficie concipiuntur , Variationibus vero ab una in alteram transilitur. Eadem omnino est ratio , i si res analytice consideretursne ullo respectu ad figuras geometricas, ubi semper variationes quantitatum variabiIium a sitis disserentialibus sollicite distingui oportet quem in finem variationes signo diuerso indicari conueniet.
515쪽
32. significat ergo δx incrementum illud instDite paruum quo quantitas . x augeri concipitur , t eiusdem Valor 'ariatus prodi t ex quoi, Vicissim intelligitur valorem variatum ipsius x iure αεδα
1s. Quatenus ergo expressi, ex variabilibus X, ν Et α conflatur, s earum loco stribantur va Iores tariati et et δα, atque a valore hoc modo pro V resultante subtrahatur ipsa V residuum erit variatio δV.
a . Hactenus ergo omnia perinde se habent atque in calculo disserentiali , ac si V suerit iunctio quaecunque ipsarum X , F et et , sumto eius differentiali more solito tantum ubique loco d scribatur δ , et habebitur eius variatio δ V.
516쪽
as. Quoties ergo V est ' fiunctio quaecunque
quantitatum variabilium X, γ , Σ eius variatio iisdem regulis inde elicitur ac disserentiale eius, ex quo calculus variationum prorius cum calculo disserentiali congruere videri posset cum' sola signi diversitas leuis sit momenti. Verum probe perpendendum est hic non omnes quantitates, quarum Variationes requiruntur, in genere iunctionus' compre Emdi posse ; quamobrem hilam in definitione' vocabulo '-sum usus eui longe' ' ampliorem significatum attribuo. Quatenus enita ' ad relationem mutuam variabilitim respicere non licet , ' quia est incognita, eatenus eiusmodi. expressiones seu Br- mulae in quas variabilium disserentialia atque etiamini gratia ingrediuntur ., non ampliu , tanquam me rae senistiones, variabilium spectari possunt, 'ς Br-mularum tam disserentialium quam integralium Variatio peculiaria praecepta postulat; sicque totum negotium huc redit, ut quemadmodum Qrmularum Vtriusque gcneris variationes inuestigari conueniat, doceamus, ex quo tradatio nostra euadit bipartita.
, autem tractatione maximum e-ritur discrimen ex numero variabilium, qui si binarium superet, ViX adhuc ἰ perspicitur ,. quomodo calculus sit expediendus. Cum enim pluribus in
517쪽
troductis variabilibus 7 etiam digrentialium consideratio longe alitcr expendatur , dum pl. rumque binarum tantum differentialis ita inter se imparari solent, quasi reliquae variabiles manerent constantes, similis quoque ratio in variationibus erit habenda in quo etiamnunc tantae dissicultates occurrunt, Vt vix pateat quomodo eas superare liceat; aute omnia
certe prima huius calculi principia accuratissime euolui erit necesse, ut ex intima rei natura calculi, Praecepta repetantur, in quo plerumque summae dissi euitates ostendi Qlent. Primum igitur hunc
calculum ad du tantum variatiles accommodatum, quemadmodum is quidem adhuc tractari est solitus,eXplicare conabor , variationes tam formularum dif-
ferentialium quam integralium inuestigaturus, rum' vero si quid lucis ex ipsa hac tractatione affulserit quoque ad tres pluresue variabiles contemplandas
518쪽
DIFFERENTIALIVΜ DUAS VARIABILES INVOLVENTIUM. . Theorema, Iaν matio disserentissis semper aequas es disserem
Quantitas variab Iis V speetari potest, tanquam applicata curuae cuiuspiam , quae luis disserentialibus per eandem curuam progrediatur, suis variationibus vero in aliam curuam illi proximam transiliat. Dum autem in eiusdem curuae punctum Pr imum promouetur, fit eius valor zzV-dVqui si idtoque dV V -U; ex quo variatio
ipsius dV hoc est δd V erit Verum est valor proximus, in quem δV suo disse-
519쪽
seu δ V - ὀ δV unde euidens est Bre δdV HV, seu variationem disserentialis esse aequalem ditarentiali variationis , prorsus, uti Theorema aifirmat.
a 9. Eodem 'modo i pro disserentia ibus tertii ordinis erit ν
is , Φ.. Si igitur variatio desideretur disserentialis cuiuscunque gradus signuid'i variationiρ ὀ 'bicunque libuerit inter signa differentiationis d inseri potest; in ultimo autem loco positula ' declarat variationem disserentialis cuiusuis gradus aequalem esse diseserentiali eiusdem gradus ipsius vaxi/tioni P p p a coroll. l. Dissilired by Cooste
520쪽
r. Cum igitur sit , res semper eo reducitur . Vt variationis i quantitatis V seu ipsius differentialia cuiusque gradus capi possint; at lue in hac reductione praecipua vis huius noui ealculi est constituenda.
42. Vis demonstrationis in hoc potissimum est sita , quod δ V abeat in , si quar. titas viso disterentiali increstit , quod quidem ex natura disserentialium per se est manifestum; interim tamen iuvabit id per Geometriam illustrasse. Pro cum Rig. a. quacunque EF sint coordinatae A X x et XYzν, in qua si per interuallum infinite paruum YYi progrediamur erit in differentialibus
da: AX -AX et M Y -XT. Nunc concipiamus aliam curuam ef illi proximam, euius puncta et Y cum illius punctis Y et Y