장음표시 사용
521쪽
Ax tax dx δίx Φ da 3 et x ν ω - - γε δέ ν G)quatenus a puncto Y per variationem in punctum P transitimus. Verum ad idem punctum ae quoque ex puncto ν per disserentiationem peruenimus unde miligitur: Aa' et ἡ πνεδν ου νευὶ.Ηis iam valoribus eum illis collatis prodit unde manissita sequitur sore: adae et dδα et δο do .
Quae si attentius consideremus, principium , euidemonstratio innititur, huc redire comperimus , vis quantitas variabilis primo per dicrentiationem deinde vero per variationem proferatur , idem proveniat, ac si ordine inueris primo per variationem tum vero per disterentiationem promoueretur. Veluti in figura ex puncto Y primo per disserentiationem peruenitur in Y , hinc vero per variati nem in aer inuerso autem ordine primum ex puncto Y ue vallationem perusnitur in ν , hire ero per differentiationem in punctum ae , idem quod
522쪽
s. Theorema hoc latissime patet j neque enim ad calum duarum variabilium tantum restringitur , sed veritati est etiam consintaneum , quotcunque variabiles in calculum ingrediantur, quand quidem in demonstratione solius illius variabilis cuius tam differentiale quam variatiis consideratur , ratio habetur sine ullo respeetu ad reliquas variabi-Tit. autem hic ulli dubio locus relinquatust consideremiis superfic em quamcunque , cuius pnactum quodvis Z per coordinatas ternas . . .
A X a , XYπs et Y Σαα definiatur, a quo si ad aliud punctum proximum Din eadem superficie progrediamur, hae coordinatae suis disserentialibus increscent Tum vero aliam quamcunque superficiem concipiamus proximam cuius puncta a, et cum illis Z iet Z conserantur, quod fit per variationem. His positis perspicuum est duplici modo ad punctum af perueniri posse, altero penuariationem ex puncto Z , altero peri differentiale
quod etiam de omnibus aliis quantitatibus variabili- .hus ad haec puncta referendis valet. Hinc autem luculenter sequitur fore
523쪽
. Memorabile prorsus est , quod casu disserentialium altioris ordinis signum variationis δ prolub tu inter signa differentiationis d inscribi possit, atque hinc intelligere licet hanc peri nutabilitatem locum quoque esse habituram , etiamsi signum variationis δ perinde ac differentiatic=ms d aliquoties repetatur , quod Rrtasse in aliis speculationibus usu enim. posset. Verum in praesenti instituto repetitio Fariationis δ nullo modo locum ha re potest
quoniam lineam vel superficiem tantum cum unica alia sibi proxima comparamus, etsi enim haec generalissime consideratur , ut omnes possibiles itidem Proximas in se complectatur, tamen tanquam Vnica spectatur, neque postquam e principali in proximam transili uerimus , nouus transitus in aliam concedi tur. Hinc ergo eiusmodi speculationes, quibus variationum variationes essent quaerendae, omnino excluduntur. Vicissim autem hic var ationum differentialia , cuiusque orcinis hic admitti debent, et cum in formulis disserentialibus quae quidem significatum habent finitum , ratio diffirentialium tantum spectetur, quae si binae variabiles sint x et F.
o p dx, o qdx , aeq'rdX etc. ad sormas finitas reuocari solent, harum quantit tum p , g , r , etc. variationes potissimum assignari
. Problema Dissilired by Cooste
524쪽
s. Datis hinarum variabilium x et ' vari tionibus δx et δν , formulae disterentialis variationem definire.
Cum si δΘαrdδy et δ dx dδx, variatio quaesita δρ per notas differcntiationis regulas reperitur , dummodo loco si Mai differentiationis d stri. batur, signum varinionis δ , unde cum oriatur
erit per conuersionem ante demonstratam :
bi cum et ὀ3 snt variationes ipsarum a et hincaue δxq-dδx et --dδ' variationes ipsarum x--dae et 3 notandum est fore uti iam cilis seruauimus:
Idem inuenitur ex primis principiis cum enim Valor ipsius variatus sit p--δp isque prodeat si loco de et ν earum alores Variati, qui sunt x--δx et y- δ' substituantur erit p--δρ α 1
525쪽
quoniam in denominatore particula praedPeuanescit.
T. Quoiiam variationes ambarum variabilium x et I neutiquam a is inuicem. pendent , sed prorsus arbitrio nostio relinquuntur , si ipsi x nullas tribuamus variationes ut sit δxmo et δρα o , erit
8. Si praeterea Vnicae variabili 3 .variati .nem jν tribuamus, ut sit 3 mo erit quae hypothesis minime naturae refr*gatur, quia
526쪽
curuam proximam ita cum principali congrirentem assuini licet, ut in unico tantum puncto ab ea di- strepet.
9. Vulgo in solutiona problematum iQperimetricoruin aliorumque ad id genus pertineatium, curua variata ita congruens statui solet, ut tantum in uno quasi elemento discrepet. Ita si quaerenda sit curua Fig. s. E F certa quadam maximi minimi ue proprietate gaudens, unicum punctum Y in locum proximum transferri solet ut curua variata :EM tantum in interuallo minimo MY a quaesita deflectat ita t positis A X-x et XY
sit pro variata curua ' , et v ν--δν , seu . .. δ r Ax-AX et δ1αυ-XY , pro sequentibus vero punctis, ad quae disserentialia
ducunt sit ubique, δν O , , etc. itemque pro antecedentibus. Quin etiam ad calculi commodum variatio XX nulla sumi solet, ut omnis variatio ad solum elementum δν perducatur, quo eatii ηtique habebitur inecque unica variatio utique lassicit ad problemata huius generis quae quidem fuerint, tractata, restauenda. Verum si,
527쪽
set uti hie instituimus, haec problemata latius extendismus, ut curua quaesita circa initium et finem certas determinationes recipere queat, uti lue necessarium est calculum vaeriationum quam gener.4issime abibl- vere , atque in Omnibus curuae punctis variationes indefinitas coordinatis tribuere. Quod etiam maxime est necessarium si huiusmodi inuestigatiores ad itinneas curuas non continuas accommodare velimus.
so. Datis binarum variabilium x et ν variationibus δx et δ=, si ponatur 6 pdR et qdae, inuenire variationem quantitatis ρ, seu valorem ipsius δq. ' Ω
unde auferendo quantitatem p relinquitur
quae variatio ergo etiam ex ditarentiatione formulae resilitat; si more consueto dictrentiatio instituatur , Ioco vero signi disserentialis d scribatur signum variationis 'δ; ubi quidem meminisse iuvabit esse
528쪽
Vnde porro per consuetam dissirentiationem valor
ipsius dδρ scilicet differentiale ipsius δρ colligitur.
rio usu autem futuro praestat hic particulam dδ' relinqui , quam eius valorem, ex praecedente Pr- mula erui.
sa. Quod si soli variabili variationes . tribuantur , ut particulae δα et quae inde derivantur
529쪽
ac si disserentiale d x constans accipiatur , erit
a lubitu nostro pendentes tanquam cognitae spectari queant. His iam ita constitutis di fierentialia cuius-
530쪽
ubi omissis partibus reliquarum respectu evanesce tibus , erit Denique si ili applicatae XYαν Variatio tribuatur , ha bitur :
ss. Hinc patet si in unico curuae puncto Variatio statuatur, insigniter contra recepta disserentialium principia impingi, cum variationum dist rentialia superiora neutiquam prae inferioribus eua-