Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

81쪽

CA P. V. Ti m.

erit dictrentiando et , i 'qui valoria inter se utique sunt a uale&.

Scholion a.

τ8. Cum a sit functio binarum variabilium x et I , ac ponatur da prx -lo . ut sit

tu hoc capite eiusmodi quaestiones euoluere est propositum in quibus, aequatio quaecunque inter p et φpraescribitur se in. quam ineliquarum variabilium x , I et a nulla ingrediatur. Proposita ergo aequatione: quacunque inter binas. ramulas p et et constantes, quaeri oportet indolem functionis x binarum variabilium x eis, ut Drmulis inde per disserentiationem natis et praestripta illa conditi' comenisti Quam trassitionem qpidem exorsi sumus as exemplo simplicissimo p ρ , cuius isolutio etiam ope principii modo expositi, confici potest. . At vero idem principium stafficit problemati sequentii 'latius patenti resoluendo.

i ii Ρroblema IT.: s. Si a eiusmodi esse debeat functio binarum variabilium x et ν , ut fiat Y , indolem istius iunctioius a in genere definire.

82쪽

eritque . stu aequatio quaesita indolem functionis x detenni

denotante signo si iunctionem quamcumque siqe eo tinuam siue discontinuam sormulae iussixae βx- αν. Atque indicando Hrmulae fetu differentiale per dus: uerit

83쪽

go. Eodem selutio redit, si pro p et NI rem p st' substituamus , unde fit

hincque eodem modo Etsi enim haec Qrma a praecedente disserre videtur, tamen facile eo reducitur, ponendo ibi quae Brma utique est functio ipsius

Constructa ergo curua quacunque , si abscis e x respondeat applicata v , erit M

82. Si alia proponatur relatio inter p et ρ . . eadem methodo solutionem obtinere non Iicet; sed alio principio uti conuenit ; cuius quidem veritas ex primis calculi integralis elementis est maniststa.

84쪽

suturum sit Σ-px- ρν-- xd pHrydq Quomodo autem hoc principium ad istutionem huiusidodi quaestionum, quae ad hoc caput sint rest-rendae , applicandum sit, in stquentibus problemati

bus docebitur.

Problema I 2.

8a. si a eiusmodi esse debeat iunctio binarum variabilium x et , , ut posito da pdx- ρο , fiat pq r , indolem istius functionis a in genere

definire.

Solutio.

at in genere 'rmula suo integrationem non admittit Dissiligod by O rale s

85쪽

mittit nisi sit u functio ipsus p. vitare in nostro casu necesis est sit quantitas h si inctio ipsius plantum, unde etiam integrale fo x crit functio ipsius p tantum , quae si indicetur per j:peiusque differentiale pes Ot: p erita px fp et x - , I s. Quare ad probisma nostrum sbluendum , noua Variabilis φ introduci debet, qua cum altera Ic-- iuncta binae reliquae X et a determinentur. . Sumta scilicet variabili p eiusque functione quacunque f: p, indeque per ditarentiati nem derivata tep, capiatur

primo in

quae est solutio problematis quaesita generalis. l

8 . Hic igitur iunctio quaesita a per i re variabiles x et I explicite euolui nequit; pro erea quod quantitatem p ex aequatione x - δε res in genere per x et 1 definire ma licet.

3s. Nihilo vero minus 2lutio pro idonea et completa est habenda, quoniam introducendo nouam variabilem p ex binis a et p a st inuicem non pen dentibus ambae reliquis x et x definiuntur Κ a corin. a. Diuitiam by Coos e

86쪽

stu a 2 V x -αὶ I - - β), quae est solutio particularis, et simplicissima est z aYων.

Scholion I.

8 . Quemadmodum solutio huius problematis ex alio principio est deducta, ita etiam Hrma solutionis a praccedentibus discrepat, quod hic aequationem inter x, 3 et et explicitam exhibere non liceat, sed noua Variabilis p introducatur. Cum igitur ante una aequatio inter ternas Variabiles x, Fet a solutionem , continuisset; nunc accedente noua variabili. p, solutio geminam aequationem inter has quatuor variabiles postulat, sicque pro nostro casu inuenimus:

87쪽

liceret, aequatio euoluta inter x , et a obtineretur , haec autem eliminatio succedit, quoties prospfunctio algebraica ipsius p assumitur; in genere autem nullo modo sperari potest. Nihilo vero minus ope curuae pro lubitu assumtae problema constrati potest ; sumta enim curua quacunque siue regulari siue irregulari, ponatur abscissa p, sitque applicatas :p r, erit f p fro area eius curuae, quae si dicatur', aequationes binae

Qlutionem completam problematis praebebunt. scilicet sumto pro X valore quocunque, erit hincque fit et apx-pr-s, in qua solutione nihil ad praxin spectans desiderari potest. Hinc patet etiam fortasse fieri posse , ut duae nouae variabiles sint introducendae , ac tum solutio tribus aequationibus contineatur; neque etiam tum quicquam deerit ad usum practicum.

Scholion 2.

88. Cum pro formula requiratur ut sit pq r, introducendo angulum indefinitum sp alia solutio concinnior elici potest. Posito enim pta tang. perit ρ col. I , et Ob da dxtang. I - - col. p , fiet per reductionem supra indicatam

88쪽

mula integralis binae aequationes solutionem continentes erunt taeta Atang. I D col. pes: punde iam pro lubitv x ves eliminare licet. Quinetiam utramque eliminare possumus , ac per binas variabiles a et binae reliquae x et a ita expri

mentur :

Problema

s s. si x eiusmodi esse des eat sinctio bIn rum variabilium X et ν , Ut posito da οὐ νsat pp--qq r , indolem istius iunctionis a iuge nere inuestigare.

Solutio.

89쪽

siquidem hinc fit φρ ρρα x. Erit autem

hincque fit:

quae forma integratis ςum sit functio ipsius r . statuatur ea f:r , esurim dictrentiale drfir, ex quo obtinebimus f:r et Unde si eliciamus

Coroll. I,

so. Si irrationalitatem non pertimescamus in

90쪽

set. solutio simplicissima sine dubio prodit sumendo Is O , Vnde cum sit x -, erit

hincque

Ex quo valore fit

sa. Si ponamus prasin. φ erit ραωίφ, Iuncque x mxsin. I - Icos. φ d p a cos. p. 'sin. pin, erit hoc integrale et D p, eiusque dictrentiale Ex quo habebimus x xsin. pocos p : p et xcos. I - sin. φzs: p

Problema H.

93. Si et eiusmodi esse debeat functio binarum variabilium x et ν, ut posito da pdx- qo , quantitas q aequetur iunctioni datae ipsuis p , in- vilem huius iunctionis a in genere inuestigare. solutis. Diuitiam by COOsti