장음표시 사용
531쪽
nes ant sed iugiter eundem 'alarem retinrant, atque adeo 'ariationes quantitatum i p et ρ in infinitum excrescant, siquidem infinite parua et ex eodem ordine quo disserentialia dae et o assumantur. Quin etiam hinc in calculo maxime cavendum est ne in enormes errores praecipitemur, cum calculi praecepta , legi continuitatis innitantur, qua lineae curvae continuo puncti fluxu describi coniscipiuntur, ita ut in earum curuatura nusquam salintus agnoscatur. Quodsi autem Unicum curuae pun- Tit. ctum Y in diducatur reliquo curuae tractu praeter bina quasi elementa Ma et sY inuariato relicto euidens ea curuaturae ingentem' irrcgularitatem induci , cum vulgares calculi regulae non amplius applicari queant. Cui incommodo 't. curramus, tutissimum erit remedium, .ut singulis curuae punctis mente saltem variationes tribuantur , quae continuitatis quapiam lege contiypantur, neque ante irregularitas in calculo admittatur , quam omnes differentiationes et integrationes fuerint perinactae; hocque modo saltem species continuitatis in calculo retineatur. Quamuis ergo variationum disserentialia ,
vocare liceat, tamen expedit illas formas in calculo retineri ad easque sequentes integrationes accommodari , atque huc etiam redeunt operationes, quas
532쪽
9 solim , cum idem argumentum de inueniendis curis vis maximi iani inimiue proprietate praeditis uactassem,
t s 6. Datis binarum variabilium x et ν variationibus ὁx et , rationum inter disserentialia cuiuscunque gradus variationes, inuestigare.
Quaestio huc redit ut positis continuo 6 p x, qdx, dg rdx , dr sdx etc. quantitatum p , q , r , s etc. Variationes assignentur, eum ad has quantitates omnes differentialium cuiuscunque ordinis rationes quae quidem finitis valoribus continentur reducantur. i Ac de harum quidem duabus primis p et ρ iam vidimus esse
Quoniam igitur porro est ii: t ' : i
harum variationes simili modo per differentiationis regulas inueniuntur :
533쪽
tarum substitui possunt. Hoc autem non selum in formulas nimis prolixas induceret , sed etiam uti ex sequentibus patebit ne quidem est necessarium , eum hinc multo facilius omnes reductiones, quibus opus erit, institui queant.
s . Si soli variabili r variationes tribuantur. seu manentibus abscissis x tantum applicatae s suis variationibus augeantur , habebimus:
s8. Quodsi praeterea omnia ipsius de incrementa dx aequalia capiantur , seu elementum da conflans statuatur, substitutis disserentialibus praecedentium sormularum in sequentibus obtinebitur:
s . si solis abscissis x variationes tribuantur, ut variatio δν cum omnibus derivatis euaneicat, simulque elementum dae constans capiatur, singulae hae variationes ita se habes uni:
534쪽
fio. Etiamsi ergo hoc' casu elementum daeeonstans accipiatur , tamen hic occurrunt disserenistialia cuiusque ordinis variationis δ x, cuius rei ratio est, quod variationes valorum ipsius x continuo Iterius promotorum etc. neutiquam a dis rentialibus pendere statuuntur.
6x. Quando autem placuerit soli variabili x
variationes tribuere , tum omnino praestat variabi-Ies x et inter se permutari, atque huiusmodi
quibus species disserentialium tollatur, tum vero sumis elemento o constante similes Drmulae simpliciores pro variationibus quantitatum p , g , r etc. reperiuntur, atque Coroll. a. Ceterum quo calculus ad omnes cassis accommodari queat, semper expedit utrique variabili suas variationes tribui, etsi enim tum Brmae multo perplexiores prodeant praecipue si euoluantur , tamen calculum prosequendo tam egregia se osserunt compendia ut in fine calculus vix fiat operosior, neque huius prolixitatis taedeat. Ad problemata ergo magis generalia ad hoc caput pertinentia progrediamur. Problema Dissilired by Cooste
535쪽
gr. Datis duarum variabilium x et γ variationibus et , sormulae cuiuscunque finitae Viam ex illis variabilibus ipsis quam earum di Frentialibus cuiuscunque ordinis constatae variationem
, Cum V sit quantitas valorem habens finiis tum, ponendo F dx, dpetet qdx qmrdx , dr rdae etc. disserentialia inde tollentur, prodibitque pro V fu istio ex quantitatibus finitis λrmata x, ν ρ,-r, x etc. Quaecunque ergo sit ratio compositionis eius dict-rentiale semper huiusminti habebit mrmam: dVm IR dx NdF-P --Qdq4-RdrΦSds etc.
horum membrorum numero existente eo maiore,
quo altiora disserentialia ingrediuntur in V. Quodsi vero huius larmulae V variatio δV fuerit indaganda , ea obtinetur si loco quantitatum variabilium x ' , ' , q , r etc. eaedem su is variationibus auctae substituantur et a forma resultante ipsa quantitas Vauferatur, ex quo intelligitur variationem ope consuetae disserentiationis inueniri signo tantum disserentialis d in signum variationis δ mutato. Qitare eum disserentiale supra iam sit exhibitum impetrahimus variationem quaesitam: δ V sex 4-NO H-Ρδpi δ' q*Rδr'sδs ete. R r r a quem Diuitiam by CO dile
536쪽
quemadmodum autem Variationes δr,δsere. per variationes lumias δ x et δν determinentur iam sugra est ostensum.
sa. si hic substituamus valores ante inuentos, obtinebimus variationem quaesitam ita expressem
ys. Si variabili x nulla plane tribuatur variatio , atque insuper clementum dx constans accipiatur , tum quantitatis propositae V variatio ita prodibit expressa:
6s. In his formis saltem species homogenei tatis in dictrentialibus spectatur, siquidem ὀx et is ad ordinem differentialium reserantur , quod longe secus eueniret, si eo casu quo unicum curuae punctum variatur, statim vellemus loco disserentialium ariationum valores supra sue .ὶ exhibitos substituere, quo quippe pacto idea integrationis, qua haesormul te deinceps indigent excluderetur. Ceterum patet quomodo inuentio variationum ad conluetam diu Diuitigeo by Cooste
537쪽
dictrentiationem reuocetur. dum totum discrimen in hoc tantum est suum ut loco Variationum δp, δρ, δ' etc.. valores iam ante assignati, quos quidem ipsos quoque per consuetam ditarentiationem elicuimus , substituantur. Conueniet autem hanc operationem aliquot exemplis illustrari quo clarius indoles totius huius tractationis percipiatur.
56. Fomulae subtangentem exprimentis nationem inuemre.
Ob G pdx haec Qrmula fit I , unde eius variatio υ , ubi loco δ p valoe e substituto
quae postrema rma immediate ex dictrentiatione formulae propositae nascitur.
6 . Formulae ipsam tangensem exprimentis variationem inuemre.
Positio G pdx praebet hanc Drmam finitam V x--πὶ unde variatio quaesita est :
538쪽
transit in hanc , cuius propterea Variatio est
ubi quidem substitutioni valorum ante inuentorum
69. Datis duarum quantitatum Variabilium x et a variationibus δx et D Brmulae tam ex illis variabilibus quam earum disserentialibus cuiuscunque ordinis conflatae siue suerit infinita siue infinite parua, variationem inuestigare.
dg r dx etc. formula semper reducetur ad huiusmodi formam ubi V si functio finita quantitatum X, P, p, q, r etc. exponens vero n siue positivus siue negativus, ita ut priori easu Brmula sit insi. Disiligoo by Corale
539쪽
soa infinite parua, posteriori Vero infinite magna. Pona-namus igitur disterentiationem ordinariam darenda: ΦNιθε PιψΦ iq Φ Rdrin etc. unde simul eius variatio habetur. Cum igitur is mae propositae variatio sit: n V dx' dδx--da δ Verit utique haec variatio quam quaerimus:
quae cum per se sint perspicua, nulla ampliori e plicatione indigent; simulque hoc caput penitus ab-wlutum videtur.
540쪽
INTEGRALIUM SIMPLICIUM DUAS VARIABILES INVOLVENTIUM.
F P uiam integralem simplicem hic chpest, quae a nulla alia integralia in se ii luit, Ied semese
rer integrale refert formulae disserentialis, praeter H-nas Cariabiles quaecunque earum Meremialia complectentiν.
I. Si ergo x et ' sint binae variabiles, Qrmula integralis erit simplex , si expressio Wpraeter has variabiles tantum earum disserentialia, cuiuscunque fuerint ordinis, contineat, neque prae- te alias sermulas integrales in se implicet. 'Coroll. 2.
a. Quod si ergo statuamus G zzz pdx, qdx, dg rdae etc. It species disserentialium tollatur, quoniam integratio Disiligoo by Corale