Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

541쪽

sostio requirit formulam disserentialem expressio illa Wsemper reducetur ad huiusmodi formam V dx exi-Mate V iunctione quantitatum X , F . p . t ςt

a. Cum igitur inmuta integralis simplexst huiusmodi fudae, ubi V est functio quantita

Scholion.

4. Distinguo hic Brmulas integrales simplices a complicatis, in quibus integratis proportitur eiusmodi Bimularum ditarentialium quae iam ipsae. nam pluresue Qrmulas integrales , inuoluunt. Veluti s littera s denotet integrale

atque quantitas V praeter illus quantitates etiam hanc s contineat, mrmula integralis IV dx merito censetur complicata ; cuius variatio singularia praecepta postulat deinceps exponenda. Hoc autem capite primo methodum formularum integridium fimplicium variationes inueniendi tradere constituu

542쪽

s. Variatio formulae ititegralis sW semper aequalis es integrali variationis eiusdem formulae differentialis cujus integrale propciatur ; seu es . . δ l W α sδ K.

Demonstratio.

Cum variatio sit excessus, quo Valor varia tus tui usque quantitatis superat eius alorem naturalem , perpendamus sormulae propositae 1W valorem Variatum , quhm obtinet, si loco variabilium X F earundem valores suis variationibus δ x et aucti substituantur. Cum autem tum quantitas W abeat in W - δ W , formae propositae Va- 'Ior Variatus erit

vnde cum sit i

habebimus. a

unde patet variationem integralis aequari integrali variationis. 'dem etiam hoc modo ostendi potest. Pona tur fW ui, ita ut quaerenda sit variatio ὀπ. . t i ini Disiligoo by Corale

543쪽

vbi prima pars ab integratione est immunis.

8. Quemadmodum supra ostendimus signa disserentiationis d cum signo variationis δ exprestani

544쪽

cuicunque praefixa inter se pro lubitu permutari posse, ita nunc videmus signum integrationis f cum signo variationis δ permutari posse , cum sit δίη fδ . Atque hoc etiam ad integrationes repetitas patet , ut si proposita fuerit talis sormesa I W eius variatio his modis exhiberi possit

ioemii e variatio formularum integralium ad varia tjones expressionum nullam amplius integrationem inuoluentium reducatur, pro quibus inueniendis iam supra praecepta sunt tradita.

Problema 6.

s. Propositis binarum variabilium et svariationibus et , si positis o pdx, Ozzzqdx, dg rdX etc. fuerit V hinctio quaecunque quantitatum X, a , p ,ε , r etc. formulae integralis I v dx variationem ia- vestigare.

eius Diuitigoo by Coos e

545쪽

sos eius differentiale esse

etc.

ae simili modo eius variatio ita erit expressarδV - et quibus valoribus substitutis consequimur variatIonem quaesitam:

Pratis variatio

546쪽

s Io

Ad hane expressionem ulterius reducendam , notetur esse ὀρ-- α ν - pSael .

quo pacto quaevis sormula ad praecedentem reducitur ; unde si breuitatis gratia ponamus is, δx caerit ut sequitur: -pδx cu

sicque variationibus litterarum derivatarum p ρ,r etc. ex calculo inclusis adipisciatur variationem quaesitam

etc.

cuius sermae lex progressionis est manisesta , cuiuscunque gradus differentialia in sermulam V ingre-

547쪽

a signo integrationis est immunis atque 'adeo viam variationem δx inuoluit, reliquae vero partes Vtramque perpetuo eodem modo iunctam et in littera . tu δν-p comprehensam continet.

Periatur.

32. Quarta pars Idi εἰ simili modo reduci-citur ad hocque membrum possirius , cum sit porro '

548쪽

. a. Quinta pars reducitur primo ad

tum vero posterius membrum ad ,

hocque tandem ulterius ad ita ut haec quinta pars iam ita exprimatur ω- t. f. d. S

s . Simili modo sexta , pars S d. d. Ad. M

ita reperitur expressa:

549쪽

Problema I.

Ermulae integralis fVdae variationem ex utriuSque varabilis x et ' variatione natam ita eXprimere, ut post fgnum integrale nulla occurrant Variationum ditarentialia.

Solutio.

In corollariis praecedentis problematis iam omnia ita sunt ad hunc scopum praeparata , Vt ni hil aliud opus sit, nisi ut transsormationes singularum partium in ordinem redigantur, quo pacto duplicis generis partes obtinentur; uno continente formulas integrales, quas quidem omnes in eandem summam colligere licet, altero partes absolutas quas ita in membra distribuemus, ut secundum ipsas Variatiimes δx et is, earumque disserentialia cuiusque gradus procedant. Posita autem breuitatis gratia sor

mula δγ-pdX tu variatio quaesita ita se habebit: Vol. III. T it cuius Dissilired by Cooste

550쪽

86. Haec expressio multo simplicior redditur,s elementum da capiatur constans, quo quidem amplitudo expressionis. nequaquam restringinu , tum enim fiet:

gr. Si quaestio sit de linea curara prima pars integralis valomai Per totam curuam ab initio usaue ad terminum , VbI COOrdinarae x et γ subsistu congregat, simul Omnes Variationes in singulis cur '

Vae punctis sectas complectenς, dum i 'in

absiolutae tantum per Variationes in extremitate Curvae sectas desiitiuutui. Ax mitate

88. Si curvam coordinatis X et νatim lectimus, aliaque citrua ab ea definitam infinite Parum