장음표시 사용
551쪽
sis parum discrepans consideretur , dum in singulis
purustis utriquc coordinatae Variationes quaecunque tribuantur , expressio inuenta indicat, quantum Br- mulae intcgralis I Udae valor ex curua variata collectus superat eiusdem valorem ex ipsa curua data desumtum.
89. Cum sit , patet hanc quantitatem tu evanescere , si in singulis punctis variationes δx et ita accipiantur, ut sit :δx p: I 6 dx. Hoc igitur casu curva Variata plane non discrepat adata, ac tota variatio formulae IV dx reducitur
so. Variatio haec pro formula integrali 'dae inuenta statim suppeditat regulam , quam olim tradadi pro curua inuenienda in qua Valor eiusdemirmulae integralis sit maximus vel minimus. Illa enim regula postulat, ut haec expressio
nihilo aequalis statuatur. Hic autem statim euidens est , ad id, ut variatio formulae 'dae evanescat. quemadmodum natura maximorum et minimorum eXigit, ante omnia requiri, ut prima pars signo integrali contenta evanescat, ex quo fit :
552쪽
Praeterea Vero etiam partes absolutas nihilo aequari oportet, in quo applicatio ad utrumque curuae ter Tnum contiretur. Ipsit enim curuae natura
illam aequationem exprimitur, quae cum obrentialia altioris gradus totidem integrationes t6tidemque conitantes arbitrarias assumat harum consta, tium detcrminationi illae partes absolutae interviunt, ut tam in initio quam in fine quaesita curua ceris conditionibus respondeat, veluti ad datas L-nea, cum as terminetur. Ac si aequario illa fuerit disserentialis ordinis quarti vel adeo altioris , Irtium quoque absolutarum numerus augetur , quibus ossici potest, ut curua quaesita non solum utrinque ad datas lineas terminetur, sed ibidem quoque certa directio, quin etiam si ad altiora differentialia assurgat certa curvaminis leX praescribi queat. Semper' autem applicationem faciendo pulcherrime euenire solet, ut ipla quaestionum indoles eiusmodi
conditiones inuoluas', quibus per partes absolutas commodissime satisfieri possit.
9 I. Quanta autem mysteria in hac serma, quam pro variatione formulae integrat .s I V dx in venimus lateant , in eius applicatione ad maxima et minima multo luculentius declarare t cet, hic tantum Obseruo, partem integralam necessario in istam variationem ingredi. Cum enim rem in latissimo
553쪽
' etis viri lue variabili x et ' variationes quascunque nulla plane lege inter se connexas tribuerimus, fieri omnino nequit, ut Variatio toti curvae conuen ensnon sina ut ab Omnibus variationibus intermediis pendeat , quippe quihilq alir r mi nimisi uc usu est, ut inde totius curuae variatio mutationem perpetuatur.
Atque in hoc variatio Drmularum integralium potissimum dissi et a variatione eiusmodi expressionum , quales in super ori capite considerauimus , quae unice a variatione ultimis elementis tributa pendet. Ex quo luculenter sequitur, si sorte quantitas U ita fuerit comparata, ut formula dissirentialis Udae integrationem admittat, nulla stabilita relatione inter variabiles X et ν sique integralis VJ dx sit functio abiIuta quantitatum X, F, p, r etc. tum etiam eius Variationem tantum a variatione ostreis morum elementorum pendere posse. sicque partem variationis integralem plane in nihilum abire debere ex quo sequens insigne Theorema colligitur.
554쪽
sumto elemento dx constante , tum formula disserentialis V dx per se erit integrabilis , nulla subisita relarione inter Cariabiles x et y ; ac Uici .
T O , tum formulae integralis j V dx variatio nullam implicat sormulam integralem, idec'ue pio quouis situ coordinatarum X et γ' a solis variationibus, quae ipsis in extremo termino tribuuntur, pendct, quod fieri neutiquam posset, si formula V dx integrationem respueret, proptera quod tum Variatio inluper ab omnibus variationibus intermodiis simul necessario penderet; unde sequitur quoties aequatio illa locum habet, toties formulam Udae integrationem admittere; ita ut fVdae futura sit certa ae definita functio quantitatum X, p, q,r, s etc. Vicissim autem quoties formula dis entialis V dx integrationem admittit, eiusque propterea integrale fV dx est vera iunctio quantitatum X, I , p , q , r , t etc. toties quoque eius variatio tantum ab extremis variationibuS ipsarum x et pendet, neque Variationes intermediae eam ullo modo affi- eaere possi int. Ex quo necesse est ut variationis pars integralis stupra inuenta evanescat , id quod fieri nequit nis fucrit
sicque Theorema propolitum etiam in uerium veritati est conseiHaneum. Coroll. 1. Diuitigoo by Coos le
555쪽
sa. En ergo insigne criterium , cuius ope formula disserentialis duarum variabilium, cuiuscunque gradus differentialia in eam ingrediaotur, diiudicari potest, utrum sit integrabilis nec ne i Multo latius ergo patet illo criterio satis noto, quo formularum disserentialium, primi gradus integrabilitas dignosci solet.
9 . Primo ergo si quantitas V sit tantum ninctio ipsarum x et a nullam differentialium rationem inuoluens, ut sit tum formula disterentialis V dx integrationem non admittit, nisi sit N o, hoc est nisi V sit functio ipsius x tantum , quod quidem per se est perspi
93. Proposita autem huiusmodi formula dish- Tentiali: ivda ει ea cum forma V dx oh Ο pdx comparata dat V u- ideoque P -u, quandoquidem quantitates O et u nulla vdifferentialia implicare sumuntur. Erit . ergo φ
556쪽
Quare eum criterium integrabili tuis postulet ut sit
erit pro hoc eam . seu α , quod est criterium iam vulgo erenitum
96. Demonstratio huius Theorematis omnIno est singularis , cum ex doctrina variationum sit petita , quae tamen ab hoc argumento prorsus est aliena ,' ViX ero alia via patet ad eius demonstrationem pertingendi. Tum vero hicta accuratior m-gnitio itinctionum diligenter est animaduertenda , qua ostendimus formulam integralem I Udae neutiquam ut function m quantitatum X, p, r etc. spectari posse, nisi reuera integrationem admittat. Natura enim functionum semper hanc proprietatem habet adiunctam , ut statim atque quantitatibus, quae eam ingrediuntur valores determinati tribuuntur , ipsa iunctio ex iis formata determinatum adipi statur valorem ; veluti haec functio a P, si pona: mus atri a et I a, alorem aecipit 6. Longe, secus autem euenit in formula integrali f=dx , cuius valor pro casu ar a et I a neutiquam ass- gnari potest , nisi inter I et X certa quaedam rellatio Disiligoo by Corale
557쪽
sotio rimatur; tum autem ea sermula abit in iunctionem unicae variabilis. Formularum ergo integralium, quae integrari nequeunt, natura sollicite a natura functi num distingui debet, cum iunctiones statim atque quantitatibus variabilibus, ex quibus constantur, determinati valores tribuntur, Uste quoque determinatos valores recipiant, etiamsi variabiles nulIo modo a se inuicem pendeant; quod minime euenit mmrmulis integralibus, quippe quarum determinatio omnes sane valores intermedios simul includit. Imprimis autem huic discrimini uniuersa doctrina de maximis et minimis , ad quam hic attendimus, innitur, ubi in uias, quibus maximi minimiue Proprietas conciliari debet; necessario eiusmodi imetegrales esse oportet, quae Per se integrationem non admittanti
s . Ad maiorem Theorematis illustrationem eiusmodi strmulam integresem fVdx consideremus, quae per se sit integrabilis , Ponamusque exempli gratia Ita ut sit
atque ideo haec formula disserentisis
558쪽
sit absolute integrabilis; ac videamus, an Theorema nostrum hanc integrabilitatem declaret I Quantitatem ergo V disstrenticinus, et disserentiali cum forma V m Μώ------ 0comparato obtinebimus: EJ: P- -- et Oetae
Cum nuac secundum Theorema fieri debeat primo colligimus disserentiandor
cui valori quantitas N utique est aequaIita
93. Ceterum quando formula disserentialis V o integrationem per se admittit , ideoque positod V m. M. dXΦNθ- FP 4-Qdq4-Rdrin eicis secundum Theorema est
559쪽
saghine alia insignia consectaria deducuntur. Primo enim cum per dx multiplicando et integrando fiat
patet etiam Rrmulam Nda: absolute esse integrabilem. Deinde cum hinc porro fiat
integrationem admittit. Postea etiam simili modo integrabilis erit haec larmatum ero etiam hareda: Ida: IN dx-Ρ - - R et ita porro. Vnde sequens Theorema non minus notatu dignum et in praxi utilissimum colligimus.
560쪽
set I. Formula Ndx erit per st integratilis tum posito P II. Formula νdx erit per se integrabilis Porro posito III. Formula L16 erit per is integrabilis deinde posito RHαdx in
IV. Formula Ndx erit per se integrabita Iterius posito S-f8 dx S. V. Formula Θda: erit per se integrabilis et ita porro.
Huius Theorematis veritas iam in praeeed. est euicta , unde simul patet, si omnes hae sorm Iae integrationem admittant etiam principalem Veieabsolute fore integrabilam.
x o. Cum V sit functio quantitatum
quantitates per dictrentiationem inde deriiratae M , N, P , Q, R etc. etiam ita exhiberi possunt f t sit undiae Dissilired by Cooste