Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

561쪽

s asvnde ob primani Brmulam patet, si fuerit Ermula V dx integrabilis, tum etiam inmulam s. Eldxsore integrabilem.

2or. Deinde ergo quoque ob eandem rationem mula haec: hincque porro istae omnes per se integrationem admittenta

Tog. Quia tot tantum Iitterae P, Q, R et adsunt, quoti gradus dissirentialia in formula V dxmperiuntur, et sequentes omnes evanescunt , litterae germanicae inde deruiatae v , C., , S et tandem evanescere vel in fimctiones solius quantita- tis x abire debent , quia alioquin sequentes integrabilitates locum habere non possent.

562쪽

pro hoe exemplo functio V ita exprimetur t

Iam igitur primo integrabilem esse oportet Drmua Iam Nda: seu

563쪽

euius integrala, vel saltem eius pars ex postremo membro manissisto colligiturr UMELU N , cuius disserentiale cum totam Brmulam eatauriat erit x ULMI AEMI. Nunc pro tertia Brmula habebimus

cuius Dissilired by Cooste

564쪽

cuius penultimum membrum declarat integrale

aqqQuarta porro formula ita erit comparata: NetzR adat O , unde perspicuum est non solum hanc nidae M ctiam iisquentes omoes fore integrabiles.

Scholionis

go . Theoremata haec eo sulceiora videntur,iquod eorum demonstratio eiusmodi principio iuni setur, cuius ratio hinc prorsus est aliena . propterea quod in his veritatibus nullum amplius vestigium variationum apparet; ex quo nullum est dubium quin demonstratio etiam ex alio fonte magis nat

rati hauriri quead

565쪽

UARIATIONE FORMULARUM

Problema 8.

Posito οπfHaex; existente es functione Ominisque binarum variabilium x, s iarumque diffe

rentialium x

Solutio.

Quia quantitas vi ipse est Ermula integralis IH dx, formula fVo est utique complicata. Cum igithr functio V solam quantitatem vi inuoluere poryaturi, statuamus dV Ldo, tum vero pro suu-ctione 23 sit eius disserentiala. dE Ndx--Nον--φυ--Ωdq--Ndr-- etc.

566쪽

sso CA PVT. IV. His positis cum variago quaesita' sit S

et per reducti unem supra adhibitam :

ac propterea hincque 'π

Ex praecedente autem impiae intet esse i

sumto elemento dae 'constahte et posito breuitatis ergo ae ex. δν --X Verum cum hinc substitutio molest.as pariat praestabit eX primo sonte rem repetere ἱ cum i igitur ex ' distantiali et variatione

567쪽

Nunc vero facile colligitur fore

568쪽

ε in S- etc. '. i' ': si hie partes binae priores dictrentiatae iterum i tegrentur reliquarum facta reductione impetrabi mus loco dI valorem L dx, restituendo

quae Dissiligod by Gorale

569쪽

me accommodata.

xo s. Si eiusmodi relatio inter x et ' quaeratur, ut integrale fUdae maximum minimum ue eua dat, Variationis partes integrales nihilo aequari oportet, quod in genere fieri nequit, sed ad terminum, quoubque integrale sv dx extenditur, spectari opo tet, pro quo si ponamus fieri IIVLd e A, ex priori forma colligimus hanc aequationem :o A-IὶN- Φ Φ etc.

1o . Quomodocunque autem haec. aequatio pro quouis casu oblato tractetur, semper tandem eo est deueniendum ut formula integralis I L dxperdifferentiationem exturbari debeat, qua operatione simul quantitatem A inde extrudi euidens est; sicque aequatio resultans non amplius a termino integrationis pendebit.

ro3. Quod si in genere pro variatione ser- mulae integralis fV dx inuenienda, valorem I LGIII toti integrali respondeutem ponamus α A variatio X x x a quae- Dissilired by Cooste

570쪽

quaesita ita exprimetur z

ubi A -I est valor formulae fLdae a termino in tegrationis extremo ad quemvis locum indesiuitum;

Ios. In solutione huius problematis eominpendium se obtulit, qu0 etiam analysis in super oricapite adhibita non mediocritir, contrahi potest. Cum enim ibi 9. peruenissemus ad / I