Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

571쪽

etc.

fiquidem disserentiale Ex constans accipiatur.

572쪽

quantitates

sed etiam ipsiam Drmulam integralem OVE dx implicans inuestigare variationem formulae integralis complicatae LV dx.

Solutio.

Quoniam V est iunctio quantitatum v, alip , q , r etc. sumatur eius disserentiale quod sit d UzzLd ΡΜ dxlhildγ- - ΡΟΦQdqΦRdrinete. ae habebitur variatio ipsius V ita expressa

tum Vero notetur, ob

Praeterea habemus:

unde posivo -pδx tae erit per ante inuenta :δ ο L 29 δ x Idae N ua ------ Φ etc. ubi commoditatis ergo sumsimus dx constans. His praeparatis cum Variatio quaesita sit:

573쪽

Tum vero est

variatio quaesita:

Quo iam hanc formam ulterius reducamus ponamus integrale fL dx I ita sumtum, ut pho initio, unde integrale IV dx capitur, evanescat, pro sine autem ubi integrale IV dx torminatur fiat IzzA , sicque fiet:

574쪽

ut prodeat Hrma illi, quam supra tractauimus si mi lis

ubi ergo si post signum integrale disserentialia ipsius iaeliminentur, perueniemus secundum f. 86. ad hanc expressionem

Constanti autem per integrationem inuectae eiusmodi valor tribui debet, ut pro initio integrationismrmulae IV dx partes ablolutae ad nihilum redigantur, siquidem prima pars integralis ita sumatur, ut pro eodem initio evanestat; tum vero uniuersam expressionem ad finem integrationis, produci oportet pro quo iam potuimus fieri j L dx I A. coris. I. Dissilired by Cooste

575쪽

xxx. In parte integrali variabilitas per totam integrationis extensionem debet comprehendi in partibus autem abitutis sufficit respexisse ad initium ac finem integrationis, pro utroque autem termino conditiones variationis praescriptae suppeditant valores A etc. Ac postquam ex conditionibus initii constans rite fuerit determinata tum superest, ut singula membra ad finem integrationis

accommodentur.

xxa. Pro initio igitur integrationis ubi Ietro, erit primo:

et ita de reliquis similique modo pro di flarentialibus secundis

Pro fine autem integrationis , ubi

576쪽

valores vero differentiales ita se habebunt:

secundi vero gradus hoc modo:

et ita porro.

Scholion I.

II . Quanquam natura variationum atque etiam quaestionum eo pertinentium iam satis est explicata, tamen huius argumenti tam dignitas quam nouitas ampliorem illustrationem requirere Videntur, cum ne superfluum quidem foret eadem saepius inculcari. Cum igitur ante geometria . et huius calculi applicatione ad maxima et minima usi simus ad hanc doctrinam magis explanandam , hic rem generalius pro sola Analysi contemplabimur. Primo igitur spectatur relatio quaecunque inter binas variabiles xet y , siue ea sit cognita , siue demum definienda , indeque sormata consideratur formula integralis quaecunque fV dx , quae intra certos terminos comprehensa , seu integratione a dato initio ad datum finem extenn , tique certum quendam valorem re eipere debet. Tum illa relatio tuter x et I, quaecunque fuerit, quomodocunque infinite parum immutetur , ut singulis ae variationibus quibuscunque δx auctis iam aespondeant eaedem a VariationibuS quoque Disitiroo by Corale

577쪽

dum est tam in initio quam fine rationem harum variationum per conditiones quaestionum dari , in medio autem ista, variationes ita generaliter assumi, ut nulla plane lege inter se connectantur. Tum ex hac relatione variata eiusdem Drrnulae integralivs V dx ab eodem initio ad eundem finem expansus, seu intra eosdem terminos contentus definiri concipitur , ac tota iam quaestio in hoc versatur ut huius postremi valoris variati excessus supra priorem illum valorem formulae IV dae in uestigetur. Qui excessus cum per δ/V dx, qnae forma ipsis est variatio sormulae s V dx indicetur, huius quaestionis stlutionem hactenus dedimus ita late patentem , Ut omnes casus quibus quantitas V cst functio quaecunque non solum ipsarum X , p , g , r, F etc. sed etiam insuper turmulam quandam integralem υz fridae utcunque inuoluens, in se complactatur.

Scholion I.

xis. Quod in praecedente capite tacite assumsimus de quantitate constante xariationi inuentae adiicienda quippe quam pars integralis variationis sponte inuoluit, hoc in istius problema in solutione accuratius eXponere est visum. Cum scilicet in huiusmodi quaestionibus , quae ad formulas integra Ieb reducuntur, per tuo ad terminos integrationis

sit respiciendum , siquidem integrale nihil aliud est

578쪽

nisi summa elementorum a termino dato seu initio ad alium terminum seu finem continuatorum, haec consideratio prorsus essentialis est omni integrationi, sine qua idea valoris integralis ne consistere quidem potest Quamobrem constitutis integrationis termi mis initio scilicet et fine, statim ac variationis pars integralis ita est accepta ut pro initio euadat nulla, tum eiusmodi constantem adiici oportet , Ut etiam partes absolutae pro eodem initio destruantur , sicque uniuersa variationis expressio ad nihilum redigatur. Quod cum suerit factum, ad finem integrationis demum progredi licet, ut hoc pacto vera variatio Brmulae integralis propositae ab initio ad

finem extensae obtineatur. Haec autem Variationum

vi trina ad duplicis generis quaestiones accommodari potest; dum in altero relatio inter variabiles x et a data assismitur , et formulae integralis itidem datae IV dx variario iuuelligatur postquam per

totam integrationis extensionem variabilibus x et γvariationes quaecunque fuerint tributae, in altero autem genere ipsa illa variabilium X et I relatio quaeritur, ut sormulae integra tig f V dx variatio certa proprietate sit praedita ; quemadmodum si ea Drmula maximum minimumue valorem recipere debeat hano variationem in nihilum abire necesse est. Vbi iterum duo casus se osserunt, prout maximum minimum ue locum habere debet, vel quaecunque variationes ipsis X et I tribuantur , vel si tantum hae variationes cortae cuidam legi adstringan

579쪽

tur. Ex quo manifestum est banc Theoriam multo latius patere, quam quidem ea adhuc in usum est

vocata.

Problema ID.

xx s. si functio 'V praeter binas variabiles X, cum suis valoribus disserentialibus

etiam duas pluresue sormulas integrales; oz E dx etc. inuoluat ut sit

si huius problematis solutio eodem modo i stituatur, ac praecedentis, mox patebit calculum ageminata mrmula integrali

non turbari neque etiam si plures eiusmodi inuolis verentur. Quare tota solutio tandem huc redibit, ut constitutis integrationis terminis primo integralia

580쪽

ita sint capienda, ut pro initio integrationis evanescant, tum vero pro fine integrationis fiat Ira Aet Ι zzAM; quibus quantitatibus inuentis stituatur Porro:

etc.

eritque Variatio quaesita , dum utrique variabili x et a variationes quaecunque tribuuntur, ex praeced. Solution.

ubi commoditatis gratia elementum dae constans est assumtum.

Corollari um.

xx . Si ergo etiam plures huiusmodi sormulae integrales fridae in functionem V quomodocunque ingrediantur; expressio variationis quaesitae inde non mutatur , sed tantum quantitates N , Ρ , Q, R , etc. ex iis rite definiri conuenit. SchODiuitigeo by Cooste