Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

591쪽

quae Ut supra ad hanc formam reducitur r

cuius indoles ex superioribus satis est manifesta, eademque circa constantis additionem sunt obseruanda.

Iao. In hac Qtutione ambae variabiles et a tanquam iunctiones ipsius x spectantur, siue iam sint cognitae siue demum ex variationis indole d finiendae. Neque etiam Ermesa integralis IV dx certum esset habitura valorem , nisi tam a quam aper x determinari conciperetur. A a a a a Coroll. a Disiligoo by Corale

592쪽

Iai. si formula V dx per se sit integrabilis, nulla assumta relatione inter ternas Variabiles, variatio integralis fVdx nullas quoque formulas in te grates inuoluere potest, ideoque necesse est ut tum sit.

rsa. Vicissim etiam si hae duae aequationes locum habeant, hoc certum erit criterium m mulam differentialem V dx per se integrationem admittere , nulla inter variabiles stabilita relatione.

Exemplum.

Iaa. hoc criterium magis illustremur fimmamus eiusmodi formulam per se integrabilem , DDes V dxm eae .

Ex cuius dicirentiatione colligimus N O , et

Iam Diqiligod by Cc oste

593쪽

perspicua. Pro altera aequatione '

quia hinc est primo necesse est ut integrabilis existat haec Brmula

unde ob qdX manifesto fit superest ergo ut sit Verum ditarentiando Q UI, Vtrinque perfecta

aequalitas resultat.

Scholion I.

xa . Quod si ergo quaestio huc redeat, ut inmutae integrali fVdx valor maximus minimusve sit conciliandus, tum ante omnia in eius variatione ambas partes integrales idque seorsim nihilo aequari Nortet , propterea quod utcunque Variationes con-Aaaa a stitua Disiligod by Cooste

594쪽

stituantur , variatio UVdx somper debeat evanescere, unde duae emergunt aequationes istae .

et quibus duplex relatio inter ternas variabiles a , et ita eXprimitur , ut deinceps tam 3 quam a recte tanquam functio ipsius x spectari possit. Quando autem hae aequationes sunt dissirentiales idque altioris gradus , totidem utrinque constantes arbitrariae per integrationes in calculum inuehuntur, quotigradus utraque sucrit disserentialis. Has ero constantes deinceps ita definiri oportet, ut conditionibus tam pro initio quam pro fine integrationis sormulae IV dx praescriptis latissat quod negotium eo redit, t praeterea variationis partes absblutae ad nihilum redigantur. Primo scilicet constans ita desiniri debet, ut conditionibus pro initio praescriptis satisfiat, ubi quidem ex quaestionis indole particulae

definitos valores sortiri solent. Tum vero cum idem circa finem integrationis usu veniat , ex singulis constantes per. integrationem ingressae determinabuntur.

Scholion I.

Ias. Plurimum conducet hic obseruasse membra, quibus variatio V V dx exprimitur, sponte in duas classes dispesci, in quarum altera litterae tantam eae

595쪽

conspiciuntur , quae ad variabilitatem ipsius a , seu

ad eius habitum respectu ae referuntur, idque ita ac si quantitas a constans esset assumta , altera Vero classis similes literas a variabilitate ipsius et tantum pendentes , continet, quasi quantitas F esset constans. Ex quo colligere licet, si etiam quarta variabilis Oaccedat, quae ut functio ipsius x quoque spectari queat, tum ad illas duas classes tertiam in sup r esse adiiciendam , quae similia membra a variabilitate solius . pendentia complectatur. Quocirca solutio

hic data spectari potest , quasi ad quotcunque variabiles extendatur , dummodo tot inter eas aequationes dari concipiantur, ut omnes pro iunctionibus unius haberi queant. Etsi ergo hoc caput tantum tres variabiles prae se seri , tamen ad quotcunque pertinere est intelligendum, si modo eiusmodi conditiones proponantur , ut tandem per unam reliquae omnes determinentur. Talem autem conditionem Rrmulae integrales huius formae J V dx necessario inuoluunt; quotcunque enim Variabiles in quantitatem V ingrediantur, expressio fVdX certum Valo- . rem definitum omnino obtinere nequit , nisi omnes variabiles tanquam functiones unius X spectari queant. Longe aliter autem est comparata ratio earum Brmularum integralium, quae ad duas plures-ves variabiles a st inuicem minime pendentes rese

runtur.

596쪽

xas. Si functio V praeter tres variabiles X ,3 , et earumque disterentialia cuiucunque gradus insuper ita uoluat Brmulam integralem O fridae, ubi 23 sit iunctio quaecunque earundem variabilium X, I, et cum suis differentialibus inuestigare variationem formulae integralis IV dx.

Solutio.

ubi ob desectum litterarum iisdem accentu distinctis tor. Hinc autem simul earundem quantitatum Vet 23 va lationes habentur. Iam cum quaeratur

variatio δ V dx, habebimus primo quidem ut ante V V dx Vδx-Ff dxδV-dVδx ubi cum valor ipsius V non distrepet a praecedente, nisi Diuiliaco by Corale

597쪽

nisi quod hie ad eius disserentiale dV accedat pars L L Bdx et ad variationem δV mec pars L. δυαzLU Bdx ; etiam variatio quaesita δ V dx

forma ante inuenta exprimetur, si modo ad eani adiiciatur hoc membrum:

Quis vero ibi mula integrari fidae eadem est q 6 in problemate praecedente est tractata si ut ita st-cimus , statuamus G ,δxαω et elemento constante assumto' habebimus

maraecis etc.

Ponamus iam integralab L dx 1 si scilicet ita eapiatur , ut pro inido integestionis ἐuanescat, tum vero pro termino intemtionis fiat Ita A, quo ficto pro tota integrationis pxtensione erit

Nune igitur introducamus sequente. abbreviationes

atque

598쪽

atque manisestum est Variationem quaesitam ita exis premin iri:

quae etiam ut ante euoluitur in hanc sormam:

ubi neminem offendat signum nihili Iitteris sussixum siquidem non inponentem denotat, sed tantum ad has litteras ab litam aude postus di suendas ashibetur.

- . coroll. 1.

uxoraria

599쪽

Coro ll. I.

ra . Si igitur sormula integraIA fVhahere debeat valorem maximum vel minimum , variationis inuentae bina membra priora statim nihilo aequalia statui oportet, unde duae resultant aequa tiones disserentiales , quibus indefinita relatio utriusque variabilis F et x ad x definitur.

138. Etiamsi hic conditionum , quac forte pro initio et fine integrationis proponantur u dum ratio habetur , tamen ea iam occulte in calculum ingreditur, quia Iitterae I et A te in integrationis respiciunt. Interim tamen eae in ipsa aequationum disserentialium . tractatione iretum ex calculo expelluntur ; dum enim Brmula integralis yL dxm I eliditur, simul quantitas constans A egre

ditur.

xas. Expeditis autem aequvionibus his duabus differentialibus , idque generalissime , ut totidem constantes arbitrariae in calculum inuehantur, quot integrationes institui oportuit, tum demum ad conditiones utriusque termini integrationis Brmulaes V dx est attendendum , quandoquidem hinc ex reliquis variationis membris absolutis illae constantes determinari debent.

scholion.

600쪽

Scholion.

et O. sesutio huius problematis ita est comparata ut iam satis sit peispicuum . quemadmodumeliam. BrauiIas magis inui plicatas, veluti si iunctio V plures forinulas integralas inuoluat, vel si quoque hinctio 23 sormulas nouas loturales compli a-tur, expediri conueniati Quin etiam nune est ma- nisestum, si huiusmodi mrmulae integrales plures tribus variabiles contineahi, quomodo tum variaticiis nos inueniri opininat, atque sdeo no 1 solam tae