Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

601쪽

VARIATIONE FORMULARUM

Problema Is.

Ρroposita aequatione inter tres variabiles ε, It et z, quibus variationes quaecunque δx, δ a tribuuntur , definire variationes Rrmularum disserentialium primi gradus:

Solutio.

cum Unica aequatio inter tres variabiles dari ponitur, quaelibet earum tanquam iunctio hinarum reliquarum spectari potest. Erit ergo x sanctio ipsarum x et ν , et meminisse hic oportet op μsionem ill mp denotare rationem diFrentialium ipsarum x et x, si in aequatione illa data hae solae

602쪽

s s sui variabdes tractentur, tertia F pro constante habita, quod i .le in de altera formula v est tenenduntuSimili mi do ipsae quoque variationes δα , δ' , δα ut functiones infinite paruae binarum variabilium. x et ν spectari possunt, quoniam si etiam a tertia αpenderent, haec ipsa est iunctio ipsarum x et I ; unde simul intelligitur quid istae 2rmulae significent. Cum igitur valor variatus inmulaesi scilicet hie variabilis ' constans sumatur, erit

hac conditione obseruata .

propterea quod variationes et δα prae x et e evanescunt. Hinc ergo ob l κὶαρ habebitur variatio quaesita et . quarum Drmularum significatus, clim tam quam δx sint iunctiones ipsarum x et I , hicque ' con stans habeatur, per se est manifestus. Simili autem modo reperietur ire

ubi iam variabilis x pro constante habetur. coroll. I. Dissili od by Cooste

603쪽

- I 2. Hic omnia ad binas variabiles x et mni perducta , atque ut earum functiones spectantur, non solum tertia a, sed etiam omnes tres variationes δx, δ' , δα, mani stum autem est, has tres variabiles pro lubitu inter se permutari posse.

x s. Sussicit autem his binis formulis prodictrentialibus primi gradus uti, quoniam reliquas ad has reducere licet, siquidem sit

Coroll. 3.

x Inuentis ergo variationibus harum duarum formularum reliquarum Prmularum modo memoratarum variationes hinc lacile reperientur. Erit enim: - LI AD ,

604쪽

Scholion I.

1 3. Hic ante omnia obseruo formulas dictorentiales certum valorem habere non posse, nisi duo disserentialia ita inter se comparentur, ut tertia variabilis, si tres habeantur seu reliquae omnes, si plures adsint, constantes accipiantur. Ita hoc casu quo inter tres Variabiles X , I et et unica aequatio datur, vel saltem dari concipitur , sormulast nullum plane habet significatum , nisi tertia variabiIA a constans sumatur, quam conditionem viaculis includendo hanc mrmulam innuere consueuerunt, etiamsi ea tuto omitti γεια, quoniam alioquin ne ullus quidem Mnificatus adesset. Quod quo magis perspicuum reddatur, quaecunque aequatio inter imas variabiles X, F, a proponatur, ex ea valor ipsius et elici concipiatur, ut et aequetur certae functioni ipsiarum x et F, ei usque suinto serentiali prodeat det I p -- pro , ubi iterum p et p certae erunt functiones ipsarum X et 3, id que tales ut sit sκὶ . Sumix naae r constante fit da pdx seu simia . autem x constante prodit Tum vero etiam manibfestum est sumta et eonstante Dre huius

605쪽

I S. Ex Geometria hoc armmentum multo clarius illustrare lieet. Denotem eiiim tres nostraevar abiles Aa, x ternas coordinatas A X, X Y, Y V Fig. inter quas aequatio proposita certam quandam superficiem assignabit , in qua ordinata YZ a terminabitur, quae utique tanquam 'certa functio binarum reliquarum A X x et XY in spectari potest, ita ut sumtis pro lubitu his hinis x eis, tertia YZzη ex aequatione proposita detcrminetur Pi si iam alia superficies quaecunque concipiatur ab isti infinite parum distrepans, eaque ita cum hac compa retur , ut eius 'punctum quodvis a cum propositae puncto Z conseresur vita tamen ut interuallum Zasit semper infinite paruum, variationes ita repra sentabuntur , ut sit δX Ax-AX XX; υπυ-i XY et δαπνα-YZ; et eum hae variationes inrarius arbitrio nostro permittantur, neque ullo modo a se inuicem pendeant, eae etiam tanquam . iunctiones binarum x et a

ctari possunt, idque ita ut nulla a reliquis pendeat, sed unaquaeque pro adnuio fingi queat. Quin etiam hine intelligitur, quoniam is perficies 'proxima a proposita diuersia esse debet, neutiquam iure

606쪽

alioquin punctum a foret in ellem superficie, ex quo omnino ternas functiones ipsarum X et a pro variationibus is et δα ita comparatas esse vortet, ut non sit δ α' δ x-- p sed potius ab hoc valore quomodocunque discrepet; ubi quidem imprimis notandum est, has iunctiones sta late patere , ut discontinuae non . excludantur . atque adeo pro lubitu variationes tantum in unico puncto vel saltem exiguo spatio constitui queant. Ne autem hic ulli dubio locus relinquatur, probe notandum est; ex eo quod ponimus a eiusmodi functionem ipserum x et 1, ut sit da pdx--ro,

minime sequi Pre quoque . . - . .

quemadmodum supra assumsimus, propterea quod hie ipsi a propriam tribuimus variationem neutiquam pendentem a variationibus ipsarum x et F.

Problema 16.

16 . mposita aequatione inter tres variabiles X, F, a, quibus Variationes quaecunque δx, ,δα tribuuntur , inuestigare variationes inmutarum disserentialium Mundi gradus:

ilutio.

607쪽

Solutio.

Hic iterum a spectatur ut stinctio iparum x et 3 , quarum etiam .sunt functiones ternae vari itiones δx , δν , δΣ nullo modo a se inuicem pendentes. Quoniam in praecedente Problemate posui

mus ' .

bis formulis in subsidium vocatis habebimus .hicque ratio variationum et est habenda quas inuenimus rSimili ergo modo calculum subducendo reperiemus

vbi in inuenitur si valor disserentietur posita

a constante, M. disserentiale per dx diuictitur, unct

oritur: .

Vnde concludimus: Eodem modo ob erit

608쪽

ideoque Alter autem valor α simili modo tractatus Praebet: cuius valoris ab illo discrepantia incommodum inis voluit 'mox accuratim examinandam. Ex tertia autem Hrmula elieitur :

I 8. In originem diserepantiae variationis

natae inquisiturus, obseruo in his formulis Variatio m exprimentibim, vel quantitatem x vel quantitatem I pro minuati. M i, prout denominator cuiuscunque membri declarat. Verum si quantitatem x constantem a nere fimunus utcunquθ ia-terea altera a mutabilis existit, natura rei postulat . ut etiam variationes ipsius x nullam mutationem subeant, quod autem secus euenir, fi variatio δx quoque a quantitate pendeat, quod iidem de aeter variabili a , dum constans ponitur , est tenendum. Ex quo manifestum est,' st variationes δ x 'et δν simul ab ambabus variabilibus x α. I pendere' su-

. . ' mamur,

609쪽

C A P v T rim

numtur, id ipsi hypothesi, qua alterutra perpetuo eonstans ponitur aduersiri. amobrein hoc incomia modum kiter vitari nequit. nisi statuam natis neua ipsius a prorsus non ab aheta virlabiIII, n que huius variMio m ab a1tera x pendere. Mautem per istam x, et is per Main F determinatur, ut sit et

aria etiam ii

sieque ambo illi valores discrepantes pro δ r inuenti ad cons um perducuntur.

149. Omnibus autem dubiis int hae inuestigatione stlicissime occurremus, si isti quautitati a variationes tribuamus, binis reliquis X et ν Plane .invariatis relictis, ita ut sit tam δx o quam Ozo, quo paeto non solum calculo consulitur, sed etiam usus huius calculi variationum vix restringitur. Quodsi enim superficiem quamcunque cum alia sibi proxima comparamus, nihir impedit, quominus singula proposita; inperficiei puncta ad ea proximae puncta restramus, quibus eaedem binae coordinati x et ' respondeant, solaque tertis x variationem patiatur. Quin etiam haec suppositio, cum ad Br-urulas integrales regrediemur eo magis est neces cccc a ria Disiti od by Corale

610쪽

ria quandoquidem semper totum negotium ad eius modi mrmulas integrales perducitur , quae dusicem integratioqem requirunt, in quarum altera sola x in altera vero sola s ut variabilis tractatur; nisi ergo harum: variationes nullae statuantur , maxima incommoda inde in calculum inueherentur ἔ qui eum per se plerumque sit dissicillimus minime consultum Videtur, ut ex hae parte dissicultates multiplicentur. Quamobrem hanc tractationem ita. sum expediturus, ut in posterum perpetuo 'binis variabilibus x et F i nullas ' plane variationes tribuam stilamque tertiam a variatione quacunque δ et augeri Mimam ubi qdidem δ et ut iunctionem quamcunque ipsarum x et a siue continuam siue discontinuam

sum spectaturus. . ε

Problema II. . et x so. si a suerit 'functio quaecunque ipsarum

x eique tribuatur variatio a pariter Vtcunque ab X et 1 pendens, inuestigare variationes Br-mularum omnium d: Erentialium cuiuscunque or-'

dinis. . . t . e

Solutio.

Pro disserentialibus primi gradus habentur haeduae Prmulae squarum Vatiationes cum x et I nullam variationem Pati