Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

91쪽

Solutio.

Cum q sit fui ustio data ipsi iis p , ponaturdqzzrdρ erit etiam r iunctio data ipsius p. Aequatio ergo stra generalis solutionem suppeditans induet hanc sormamz pXH q=-f ίx r=ὶ vade patet integrale fo X--πὶ sere functionem ipsius p , quaa si generatim per f:' exponatur, eiusque disserentiale per dit: p, ha bimus: et pX -ΤIHs et X r1 f;pquae duae aequationes Plutionem problematis Universalissimc complectuntur, siquidem J: p fu iustionem quamcunque iplius ' siue continuam siue discontinuam denotare potest.

9 . Cum sit q iunctio data ipsius p , indeque r si iunctio indosinita ipsius p ponaturi s P, A fp g, solutio his aequationibus con

tinebitur . .

Coro ll. 2.

ss. Si ad constructionem viamur curua qua cunque in qua si abscissa capiatur m p , applicata sit area eius curuae dabit valorena ipsius f:p. 'UM III. L Sin Diuitigod by Gorale

92쪽

Scholion.

96. Duplici ergo modo curua quaecunque ad libitum discripta siue sit continua seu aequatione quapiam analytica contenta, siue libero manus ductu utcunqtie detineata , ad constructionem problematis

adhiberi potest Vel enim abscissa per p indieata , applicata sumi potest ad 1fp vel ad f:p exprimendum , nec secile dici potest , virum ad praxin commodius sit futurum ἰ Vbi autem huiusmodi probi

mala realia occurrunt, reliquae circumstantiae Qtuistionem determinare solent, unde pro quouis casia constructio maxime idonea facile colligetur. Problemata autem mechanica hanc calculi integralis partem postulantia semper ad Brmulas differentiales secundi altiorumque ordinum deducunt, quarum re-sblutio ne suscipi quidem posse ante videtur, quam methodus pro Brmulis disserentialibus primi gradus fuerit patefacta. Hactenus quidem problemata proposita ablolute resoluere licuit έ nunc autem quando conditio praescripta relationem memularum s ain et lu)per reliquas variabiles x, I et a definit, negotium in genere non amplius iuccedit, nisi relatio praescripta unicam tantum variabilem cum binis sermu lis differentialibus coniunSat.

CAPUT IV.

93쪽

QUIBUS RELATIO INTER BINAS FORMULM DIFFERENTIALES ET UNICAM TRIVM QVANTITATUM VARIABILIUM PROPONITUR. Problema Is.

Si a eiusmodi esse debeat functio binarum variabilium x et F ut posito da pdxΦqo , sit indolem huius iunctionis in genere inuestigare.

Solutio.

haecque formula esse debeat integrabiIis, necesse est i px ac proinde etiam a sit functio quantitatis Quare solutio nostri problematis in genere ita se habebit, ut sita εἶ lx a ) et px fet lx-Θαὶ i L a sumen-

94쪽

sumendo scilicet perpetuo aes a Par u. Hinc

autem erit

sicque F omnina uti requiritiue

98. Cum sie

hine alia solutio deduci potest. Si enim ponamus erit pae I : Z--0 indeque

yy. Hac ergo QIutione noua introducitur va-r:abilis p , ex qua cum Ir coniuncta definitur Primo tum vero ipsia iunctio quaesita Huic amcm solutioni praecedens sine dubio anteceblit , cum illa quantitatem a imnaediate per x et ν

95쪽

. Scholion.

rno. Quo iras duas sollitioiaes inter se com . itare quc amias quoniam functio arbitraria ia utra- qtie ditieriae est indolis, etiam charactere diucributamur. Cum igitur prima praebeat:

altera. vero I

id quod non parum videtur absconditum- Uerum ob hoc ipsum istud probleira eo mag s est notatu dign9m , quod solutio altera , qua noua variabilis pintroclucitur, congruit cum priore, Vbi a per x et I immediate definitur, neque tamen consensus harum solutionum perspicuo monstrari potest. Quamobrem quando ad eiusmodi si Iutioncs peruenimus , ii in problematibus posterioribus, capitis praecedentis vlu venit , in quibus noua variabilis introducitur , non omnem statim spem eius elistinan-L a dae

96쪽

scidae alnicere debemus, cum isto casu stera solutio ad priorem certe sit reductibilis, etiamsi methodus reducendi non perspiciatur, quam tamen infra exhibebimus.

Problema I 5.

Tox. si x eiusmodi esse debeat iunctio binarum variabilium X et a , Ut posito da dx- qo, sit g pX T, existentibus X et T iunctionibus quibuscunque ipsius x, indolem istius functionis x in genere in tigare.

Solutio.

stre iunctionem quantitatis I fv. Quare si . po

namus :

ac tum iunctio quaesita erit: quae ob iunctionem indefinitam D est completa. Tum Diuitigoo by Cooste

97쪽

Tum vero erit

unde patet ire utique qz pX T. Quoniam vero X et T sunt iunctiones datae ipsius X, stimulae integralas et Isolutiouem non turbant.

xor. Solutio aliquanto facilior redditur sumendo ex conditione praescripta p P - unde fie

m et

lam manifesto est sicque ipla solutio praecedens resultat.

et Disit iam by Cooste

98쪽

xo . Ex sorma solutionis hic inuentae discere poterimus, quomodo problema comparatum elle debeat , ut eius solutio hac ratione perfici, et fulictio et

fieri

99쪽

teri debeat solutio erit x K s: V, dummodo M et L itemque P et Q. ita sint comparatae ut sit L dx--Μιθzd K et P dx QqF'dUverum hi casus ad sequens eaput sunt referendi.

Problema II.

Ios. si x eiusmodi esse debeat functio binarum variabilium x et, et posito da pdxΦgo, si qzPxΦΠ existentibus P et Π iunctionibus datis ipsius p; indolem istius minionis a in genere i vestigare.

Solutio.

100쪽

tum vero

xo s. In solutione huius problematis iterum nona variabilis p introducitur , ex qua cum a Lo iunctim primo variabilis x , tum vero ψα unctio quaesita a determinatur.

ro . Neque vero hinc issam nouam variabilem p ex calcula elidere licet; uti ante vi venit, propterea quod hic P et II iunctioncs ipsius p denotant , quarum indoles iam in ipsum problema ingreditur.

Io S. SimiIi modo problema reχluetur, si permutandis x et I , quantitas p ita per ' et q detur ut si pα Q, denotantibus o et E lunctiones datas ipsius