장음표시 사용
71쪽
rallelepipedu a.datassi altitudo aesqualis rectae lines b.Et c.recta linea sit aequalis altitudini dati paralleles
pipedi a. rectat linea potens suptis ciem hasis parallelepipedi a. sit d.
dia oportionalis sit f. Aio m soliduparallelepipedii habens altitudine aequale ipsi b. datae rectae lineae hassim vero aequale ipsi f. rectae lineae
est aequale dato solido parallelepis pedo a. Et quia ex hypothesi vi
b. ad e. sic d. ad e. Igitur per corolas rium xix. propositionis li. vi.elem. -- Eu. quadratus ipsius d. ad ipsius L quadratum est sicut d. ad e. seu sicut h. ad c. per propositione Xi.li. V.ele. Eu. At quadratus ipsius d. per consstructione est aequalis basi lblidi paς rallelepipedi a. igitur per proposis
-- - - tione xxxiiii. libri undecimi hieme.
Eu. solidum parallelepipedu habes. altitudine aequalem rectae lineae b. hasim autem ipsius squadrato aequalem aequale existit dato a. solido parallelepipedo quia altitudines basibus sunt mutuae. Ergo dato solido parallelepipedo datum est aequale solidu pasrallelepipedum, quod oportebat constituere. Appendix quinta. Dato solido parallelepipedo ad datum planum rectilineum, aequale solidum excitare parallelepipedum. Sit datum solidua.datumin rectilineum b. estossi intentio super b.rectilineu eris gere solidum paret telepipeda aequale dato a. solido. Ergo per propolitione ultima libri secundi elementoN potens b. aream
rectae linea sit c.potensi basim solidi a.recta linea d.Et per pros
72쪽
positione xi.li. vi.el.ipsis c d. proportionalis fiat e. Et altitudini solidi a. squalis sit LEt vi c. ad e. sic fiat
Lad g. Aio m solidum pasrallelepipedum habes Phase .rectilineu h. altitudinem aute g. aequale est dato solido a.Et quia tres res cstae lineae cde. sunt ex hypothesi continue proporstionales. igitur per corolarium propositionis xix. libri vi. elementorii Euclis
dis. est sicut quadrat' ipso c. ad ipsius d. quadratum, ita c. ad e. seu fadg. Est autem a constructione quasdratus ipsi' c. aequalis res
stilineo b. 5c quadratus ipsius d.aequalis basi soludi a. at f. recta linea ae.
Iis altitudini solidi a. Igitsolidum parallelepipeda habens banmh. e altitus
dine aequale ipsi g. aequas Ie est dato solido a. per P positionem xxxiiii. Ii. XLelementoni Ergo dato solido a.ad datum planum rectilineu b. excitatum est aequale solidum pasrallelepipedum,quod oportuit efficere.
Hinc etiam peripicuum est, Q per primam appendicem etiam poterimus dato cylindrio sub data ratione similem constituerecyl triarum. Et per secundam appedicem sciemus quom datoeylindro aequalem excitare cylinurum cuius fastigium aequale g
73쪽
sit basis dimetienti. Praeterea per tertia appendicem dato cys lindro cuius axis dimetieti ipsius basis aequatur sub dato fasti,gio aequum constituemus cylindrum. Deni p per quarta aps pendicem dato cylindro cui' altitudo basis diamctro no aequas tur sub dato fastigio aequalis excitabit cylindrus. Per quintam demum appedicem ad datum circulum excitabimus cylindrii dato aequalem cylindro.Hoc tantu refert. q, ubi in pcedentibus appendicibus utebamur recta linea potente basim dati solidi parallelepipedi,hic usurpanda est diameter basis propositi dastiue cylindri.
Omnis quadratus ad circula sibi inscriptu .pxime ratione has het quam xiiii. ad. xi. Sit ergo datus quadratus. a b cxim instris plus circulus d e f. cuius dimetisens d f. centrum g. Et quia iuxta demonstratione Archimedis demensura seu quadratura circuli totius circularetis circuli ad suudimetietem paulominor est qua. xxii. ad vii. Et quod fit sub semis diametro circuli eius ii dimidia circuferetia aequum est areae clasculi. igitur area circuli d e stripla est quadrati ipsi fg. semidia metri supparties septima unam quadrati fg. semidiametri per Propositione prima sexti libri elemetoru Eu. Nam ratio ipsom ii. ad vii.tripla est superpartiens unam septima. Et quia per Propositione iiii.libri secundi elementorii Eu. quadratus a b c. quadrati ipsius f g. quadruplus est. Et totum ad septimum sui quadrantis rationem habet quam xxviii. ad unum. oc area cirsculi inscripti d e f. ad idem septimu rationem habet quam xxii. ad Vnum per prima propositione Icvi.eleme. Ex aequali igit seu per propositione xxii.libri quinti elemento' ratio quadrasti a b c. ad area circuli inscripti d e i. ratione habet qua xxviii.
74쪽
ad xxii. Et quia dimidiu est ad dimidiu ut totu ad totum per rapositioncm xv.eiusdem libri quinti elementoru. Partes eodem modo multiplicium eadem ratione habent sumptae adinvice: igitur etiam ratio ipsi' quadrati a b c. ad aream inscripti circulid e fest ut xiiii.ad xi. Omnis igitur quadratus ad inscriptu sibi circulum properatione habet quam xiiii. ad xi.quod oportuit dc monstrare. Appendix octaua. Datum solidum paralleles pipedum in cylindrum eius. dein altitudinis trafformare. . Esto itam datu solidum paσrallelepipedum a. cui oportet sub eode fastigio aequum cys Iindrum formare. Ipsius itassa. solidi basim potens redhalisnea per xiiii. .ppositione li.ic eleme. sit h. Et b. sit ad c. ut XL ad xiiii. atq; per propositione
h c. media .pportionalis sit d. Dico Q cylindrus cuius basis circulus hahcns dimetietem aequalem ipsi d. fastigiu vero squale altitudini dati solidi a. aequalis existit eidem dato a.
tres redhae lineae b d c. lunt costinue .pportionales, oc extres marum h c. ratio est ut xi. ad xiiii. igitur per corolariu pros ---φpositionis xix. li. vi. elemen. .-
quadratus ipsius b. ad ipsius d. quadratum est ut b. ad c. id est ut xi. ad xiiii. At per secunda Propositione li.xii.eorunde elementoN. Vt quadratus ipsius b. M ipsius d.quadratu,sic circulus circa diametru b.ad circulum
75쪽
iuxta dimetientem d. hoc est sicut b. ad e. seu vi xi. ad. xiiii. At per pmissum theorema.Circulus circa dimetiente b. ad quadratum ipsius b.rationem habet quam xi. ad xiiii. Igitur quadrat' ipsius b. aequalis est circulo iuxta d. dimetiente per secundam partem propositionis nonae li. quinti elementom,ad quas eadeeandem habet rationem ipsae sunt aequales. Ex hypothesi autequadratus ipsius b. aequalis est basi dati a. solidi igitur circulus iuxta dimetiente d. aequalis est. eidem basi dati a. solidi. Et quos nia sub aequalibus fastigiis existeres solidum parallelepipedualm cylindrus adinvicem sese habet ut bases, Igitur cylindrus habens basim aequalem circulo circa diametru d. fastigiu idem altitudini solidi a. aequalis est eidem a. solido parallelepipedo. Igitur cylindrus sub eode fastigio datur aequalis dato a. solido parallelepipedo quod oportebat efficere. Appendix nona. Dato cylindro sub eade altitudine δειlidum quale parallelepipedii dare. Sit datus cylindrus a b c d. cui' axis seu fas
stigium a b.hasis aute circa c d.diametrucirculus. Et sit c d. ad e. rectam lineam vixilii. ad xi. 5c inter c d. e. media proportionalis esto f. Aio Q solidum parallelepipedum cuius .hasis squalis quadrato ipsius d Laltitudo autem ipsi a b. existit aequalis, aequatur dato a b c d. cylindro. Et quia cxhypothesi tres redis lines c d.f. e. sunt cos. tinue proportionales. igit per corolarium--, ii ,-- Propositionis XiX. libri vi.elementorum
Euclidis quadratus ipsius c d. ad ipsius L quadratu est, utcd. ad e. seu ex hypothesi sicut xiiii. ad xi. At per theorema supra demonstratum sic quoq; existit quadratus ipsius c d.ad circulu sibi inscriptu seu ad basim cylindri a b c d. igitur eadem basis aequalis est. quadrato ipsius f. per secunda
Partem nonae propositionisii.quinti eleme. ad quas m agnitus
dines eadem eandem habet ratione ipsae sunt aequales. Et quia
76쪽
cylindrus ec solidum parallelepidedum sub eisdem basibus de
fastigiis sunt aequales. Igitur solidum parallelepipedu habens basim aequalem quadrato ipsius L& fastigium idem ipsi a b.est aequale dato cylindro a b c d. Dato igitur cylindro sub eodem fastigio datur aequale solidum parallelepipedu. quod oportuit efficere. Appendix decima.
Datum cylindrum in cubum conuertere, idest dato cylindro aequalem cubum dare. Pcrpcedens igitur problema sub eosdem fastigio aequale dato cylindro solidum parallelepipedum
constituemus cui deinde per secunda appendicem aequalis cushus dabitur.qui etia dato cylindro aequalis erit ex c5muni senstentia. Quae uni aequantur inter se sunt aequalia. Dato igitur cy lindro aequalis cubus datur quod oportuit ostendere. Appendix undecima. aQuod radii solares apud terram paralleli appareat ostendes re. Sive a centro solis, siue ab aliquo alio puncto in superficie solis duo egrediantur radii a b. b c. atin ex illis aequas
Ies auferantur. a b. b c. eorumq3 Vter Per aequales secetur partes velut a b. in
a d.de.e L fc.ec a c. in ai.i h. h g. Rc. Et connectant d i. e h. fg.b c. ipsae nant adsinuicem paralleli. per secunda propositionem libri sexti eleme. Eu. Et iccirco triagula ad i. a e h. a f g. a b c. sunt simis Ita 5 proportionaliu lateris per propo. iiii. eiusdem li. vi. igitur ut a e. ad a d. sice h. ad d i. Ex hypothesi aute ea. ipsius a d. dupla est. igitur e h.ipsius di. dupla. Rursus vis a. ad ae. sic f g. adeh.pcos structionem aute ratio ipsius f a. ad a e. sesqualtera est igitur ratio ipsius f g. ad e h. sesqualtera at ideo minor ratione ipsius e h. ad d i. Praeterea b a. ad a sexistit
sesquitertia ex hypothesi. ergo b c. ipsius f g. est sesquitertia.
Qua de re ipsius b c.ad s g.ratio minor est ratione ipsius fg. adli iii
77쪽
e h. quae minor existit, uti patuit ratione ipsius e h. ad d i. Igitur b e. i g. magnitudine minus differre ut entur ipsis fg.e h. armig. e h. magnitudine minus apparent differre ipsis e h.d i. Si ital radii a b. a c. ad terram usin protendant,ct quo. ppinquius telluri accesserint eo magis ex iam ostensa ratione apparebunt paralleli.Nam circa terram duorum radioru ab Vno iolis pum sto procedentium aequales particulas rectae lineae coitangentes insensibiliterac pene nihil differre magnitudine videbunt poexHiiii. propo. igitur li. i. ele. quae parallelas N aequas nectunt ipsae sunt aequales. Ergo radii solares iuxta tellurem paralleli penitus apparent.
IDEM ALIT E R experimento sie patebit. Sint duo obs' seruatores lolaris altitudinis i duos e d bus locis sub eode meridiano, atq; inter eadem loca itineris spacium a b. sit mediocre ut puta tricentora aut quadringentoru passuu.Et tempore meridiei ad eade loca duo aub. bini incidet radii solares a c.bd. quib' iidem obseruatores in locis υ e ab. constituti eodem meridiei mos meto astrolabis aut sciotheris eansdem prorsus inuenient solis altitudinem, sic ut angulus c a e. aequalis erit db e. angulo. Per diffinitione namin solaris altitus dinis uterq; eorum aequalis est altitudini solari eodem meridies tempore in locis a b.de praehensae. Est aute a b e. linea meridiasna,quae in comparatione ad totum telluris ambitum a recta inssenubiliter distere. Et quonia in binas rectas lineas a c.b d.reιcta incidens linea a b e. angulum exteriorem d b e. facit aequale angulo c a e.opposito & ex eadem parte igitur per propositiosnem xxviii. libri primi elemen. duo radii a c. b d. a sole eiusdemomento temporis egredientes sunt paralleli. Radii igitur solares apud tellurem apparent paralleli quod oportebat dicto experimento demonstrare. Verum sumptis sub eodem meris
diano locis a b. quae magno aliquo ac memorabili spacio distra
78쪽
terint vehit quin milibus passuu ac maiori itineris interuallac a e. d h c. anguli sensibili quadam magnitudine differre comseriuntur, Meridionaliorisq; loci angulus maior sema existitorealioris angulo.
Speculum concauum cocauitate parabolica, quam describit parabole circumacta defixo eius axe,solum a tota cocauitatis superficie solis radiis ad unum punctum axis resilientib' igne incendit. Eandem aute concauitate oportebit fieri ab ea paras hole quae in rcctangulum et erectum incidit conu qualem quis dem parabolen undecimu clementu describere docet. Et quia radii solis prope tellurem paralleli sunt per xi. appendicem, Ideo ipsi cadentes in speculum concauum parabolica cocauistate ab ea resultat ad unum tantii punctum, quod iuxta demos strationem authoris libelli de eodem speculo, distat a vertice Poraboles, qua idem speculum fuit cauatum, quarta parte las. teris recti eiusdem paraboles. At in speculis cocauis concas uitate sphaerica radii incidentes ad diuersa puncta. axis eiusdesphaerae oc a singulis dumtaxat circulorum circumferentiis in eadem sphaerica cocauitate descriptoru reflectuntur,velut Euselides de speculis illis ostendit.Ergo speculum concauu concas
uitate parabolica fortius celerius incendit speculo sphaerico. Qui dentin speculum parabolicae concauitatis praeparare VesIit huic necestaria est cognitio undecimi elemeti conici,quo tas iis parabole describi docetur.Hanc itain appendicem praecedesti operi libentius adieci ut perspicua efficerem eorunde elemestorum comodissimam utilitate, me in illis aedendis calamum
79쪽
annis Ver.Nurem.in Dionysodori θc di lis problema super sectione sphaerae sub data ratione.
Theorema primum. is sphaerae curuae susperficiei, aequalis est circulus cuius qus ex censtro aeqlis fuerit axi spγrae. Sit datae sphaerae a b c. axis a C. centru d. Aio Q circulus cuius quae ex centro aequalis extiterit axi a c. aequalis est curvae superficiei datae sphaerae.Esto igitur eiusdem sphaes e maximus circulus ab c. cuius diamer est axis a c.per diffinitione maximi in sphaera circuli. atq; ipsa a d.quae ex cetro orbis a b c. aequastis recta linea sumatur e Lat* sua eam construat triangulu rectangustum e fg. cui' angulus fe g. rectus sit aequale quidem areae ipsius citaculi ab c.igitur per id quod Archis
medes inedit de quadratura circusti e g. aequalis est circumferentiae ab c. Praeterea e f. e g. producantur
aequianguli. Nam per secunda ars potitionem lLvces .Eu. fg. li riparalleli inuicem existat. Ideo rastio areae triangu Ii e h h. ad aream
uianguli e fg. est sicut ratio ipsius
80쪽
h e. ad e f. duplicata per spositione XiX. li. vi. et . Eu. dupla
autem ratio duplicata,quadruplam constituit, ergo triangulu eli h. quadrup tu ipsius e fg. trianguli existit. Rursus Archimes des de sphaera Θc cylindro demonstrauit quod sub li e g.rcctans gutu aequale sit sphaericae superficiei sphaerae abc. datae. ad qd sub heg. rectangulu ipsius es g.trianguli quadrupluest,quos nia cius quod sub fg e. duplum per t. pro.icvi.E. ec quod subf c g. duplum est ipsius e t g.trianguli per propo. Xli. li.i.ele. Eu. dupla autem ratio duplicata quadrupla constituit ratione. Igitur quod sub li e g. quadruplu est e f g.trianguli, sed eiusdetrianguli e f g. quadruplus iam pridem ostensus fuit triangu
lus e h h. igitur triangulus e h h. aequalis est curvae superficiei sphqrae ab c. Et per ea quae Archimcdes demostrauit de quaseratura circuli triangulu e h h. aequale est circulo,cuius quae excentro fuerit aequalis ipsi e h.Est autem e h. aequalis ipsi a c. axi sphaerae datae a b c. Datsigitur sphaers curuae superficiet a b c. aequalis est circulus cuius quae ex centro aequalis extiterita c. axi ipsius sphaers a b c. datae quod oportuit demonstrare. i. Corolarium. nde liquet gibberolam sphaers superficie quasdruplam esse ares maximi in ea circuli. Theorema secundum. Conus habens basim cuius quae ex centro squalis quide existit axi fastigiu aute semidiametro subiectae sphaers aequat eiusdesphaerς cocinetis huius theorematis demonstratio quia tum ab Archimede cum a quibusda aliis satis superq; fuerat enarrata. Ideo inpraesentiaru iure optimo relinquitur. V T Dionysodorus. Datam sphaeram plano secare ut ipsius segmenta rationem adinvicem habeant datam. Sit data sphaeracui' diameter a b. data aut ratio qj habeat c d. ad d e. Conuenit nepe secare sphera plano recto ad a b. vi segmentu citi' vertexa. ad segmetu cui' vertex b.ratione habeat Q c d. ad de. rducath a. in ponatum; ipsius a b.dimidia a LEtcb habe at rationem L e. ad e d. eandem habeat a Lad a g. sit a g. ad rectos angulos ipsi a b.Et ipsarum s a. ag. media proportionalis sumatur a h.