장음표시 사용
81쪽
fuerit parabole cuius structim deductae possint ad a g. ipsa pasrobole ibit per h.per constructione at* per couersionem qui ii aut sexti elementi conici. quonia per propositione xvii. librivi. ele. Eu.quod est sub fag. aequale est ei quod est ex a h. DOscribatur itam parabole hsc per elementu conicii xi. sit* s h l k ει per b traducatur ipsi a b. ad rectos angulos b h. secans paras bolen fh l h. in k signo.Et per g circa non coincidentes fh k.axxi.elementu conicii describatur hyperbole g l. quae nimirum secabit parabolen inter li risecet igitur in l.oc ex l. in a b. perspendicularis ducatur lin.& pergi. ipsi ah. paralleli agantur g n. t X. Quonia igitur hyperbole est g l.non coincidentes autea b k.Et paralleli ipsis agit.sunt ipsae m l x. igit aequale est qae sub a g n. ei quod subm l x. per octauu theorema idest praeceps tum secundi lib. Apollonii conicom elemento ,seu P XXii. ele. libelli de elementis conicis. Atqui gn.ipsi a b. est aequalis i X. aute ipsi in b.ergo quod sub l in b.aequale est ei quod sub g a b. Et quonia per propositione xvi.lib.Vi.ele.Eu. Quod sub extremis est aequale ei quod sub mediis quattuor rectae lineae sunt Ps. PQrtionales. est igitur uti m. ad g a.ita a b.ad b m. Et ut igitur
82쪽
quod ex l m. ad id quod est ex g a. ita quod est ex a b.ad krquod
exb m.Et quonia per quintu aut sextu elementu conicu superio
oris libelli quod est ex l m.aequale est ei quod est sub fm. aEst igitur ut f m. ad ni l. ita m l. ad ag. Et ut igitur prima ad terctiam ita quod a prima ad id quod a secunda, oc quod a secunda ad id quod est a tertia. Quemadmodu igitur fm. ad ag. ita quod ex I m. ad id quod est ex g a. Atqui ut id quod est ex l m. ad id quod est ex a g.ita demonstratu ruerat quod ex a b. ad id quod est ex b m. Et ut igit quod ex a b. ad id quod est ex b m. ita f m. ad a g. At ut quod ex a b. ad id quod est ex b m. ita circulus cui
quae ex centro aequalis est ipsi a b. ad circulis cuius quae ex censtro aequalis est ip si h m. per propositione secunda lib.xii.ele. Eu. at ita quo p est f m. ad a g.Ergo conus basim habens circi a Ium,cuius quae ex centro aequalis est ipsi a b. altitudinem auteaequalem ipsi a g. aequalis est cono basim quidem habenti ciraculum cuius ex centro aequalis est ipsi h m. altitudinem autem ipsi s m. aequalem. Nam quosv conoue bases reciprocae sunt ipssis fastigiis illi sunt squales. per propositione XV. li.rii ele.Eu. At conus basim habens circulu cuius ex cetro,aequalis est ipsi a b. fastigiu autem fa. ad conii basim quide habente eande, fas stigium vero a g. cst ut fa. ad a g. hoc ei ex hypothesi sicut e e. ad e d. per propositione xiii eiusdem lib.xii. cle.Eu. Nam eius. dem basis coni ad seinuice sunt ut fastigia. Et conus igitur bassim habens circulu cuius ex centro aequalis est ipsi a b. fastigia autem fa. ad conu basim habente circulu cuius ex cetro aequas lis est ipsi h m. fastigiu autem fm. est utc.e. ad ed. Atqui conus basim habens circulii cuius ex centro aequalis est ipsi a b. fasti,gium aute f a.aequalis est sphaerae per praeceaens theorema. Et conus basim habes circulii cuius ex centro squalis est ipsi h m. fastigia autem fm. aequale est segmento sphaerae cuius vertex quide b. stigia vero hara. vii deinceps demonstrabit.Et spharara igitur ad iam dictum segmentu ratione habet qua c e. ad c d. Dirimenti igitur per propositione xvii. lib. V. ele.UH. segmentucuius vertex a. fastigiis aute a m. ad segmetum cuius vertex b.
83쪽
sipsam l m. planu productum'rectum ad a b. secat sphaera in
datam ratione quod facere oportebat. Quod autem conus ba sim habens circulis cuius quae ex centro squalis est ipsi b m. fa stigium autem f m.squalis est segmento sphaerae cuius vertex h. quidem fastigiu autem b m. demostrabitur ita. fiat naimp ut ipsa f m. ad m aala o m. adm b.ergo conus basim habens eam, qua segmentu fastigiu autem o m,aequalis in segmento per id quod Archimedes de sphqra re cylindro demonstrauit. Et quia ut sis. ad m a. ita om. Umb, Sc vicissim per propositionem&Vi.lcv.ele. ut f m. ad m o. ita a m. ad m b. at ut a m. ad in b. ita quod ex p m. ad id quod est ex m b. At per propo. ii. li. xii.eleriau. ita quom est circulus cuius ex cetro aequalis est ipsi p m. ad circulu cui' ex cetro aequalis est ipsi h m. hoc est ut in fad ni o. Ergo conus basim habens circulum cuius ex centro squalis est ipla bm. fastigiu aute sm. squalis est cono basim quide habenti circulu cuius ex centro squalis est ipsi p m. fastigiis autem m o. Per propo.M. lib. Xii.ele. Eu.reciprocae immo sunt bases ipsis fastigiis ac perinde dicto sphaerae segmento cuius b. vertex ecfastigium b m.aequalis est,quod oportuit demonstrare.
84쪽
In libro quem Diocles Pyria inscripsi inquit. Archimedes domostiirauit Q omne segmentu sphaerae aequale est cono basim quidem habenti eandem ipsi segmento, fastigia autem rectam quandam linea quae ratione habeat ad ea quae est ex segmenti v tice ad basim perpendiculare,qua quide ratione simul has het utrumcn ipsa ex centro sph A alterius segmenti perpendicularis ad eandem perpendicularem,ut sit sphaera a b c. Sc secetur plano aliquo circa diametru cd. inculi,quod quidem planum ad ipsius sphaerae diametrii a b. rectum sit. Et circa eandediametrum a b. ec centrum e. faciam' ut virtuam e a. a f. ad f a.
Archimede itaq; demonstratu est quod c bd. segmentu sphaerae aequale est cono cuius basis quidem est circa diametru c d. cirsculus fastigium autem g fati c a d. segmentu aequale est cono cuius basis est eadem,fastigium autem h LHis itam datis prospositio ista exorit. qua congruit datam sphsram plano secare, ut segmenta ad scinuicem ratione habeant data.Ex dictis ita hypothesibus ec constitutis ratio etiam data est cons cuius hassis est circa c d. circulus fastigiu aut f h. ad conu cuius basis quis dem est eadem. fastigiu aut f g. Nam demonstratu et hoc quideest per propo.xiiii.li.xii. ele. Et Q coni qui in basibus aequalis
hus sunt ad inuicem sitnt ut fastigia.ratio igit ipsius h f ad fg. data. Et quonia est vi h L ad fa. ita virum e b Lad b L Dirimenti
igit per propositione xvii. lib. v.ele. ut ha. ad alita eb.ad he. Id propterea etia ut g b.ad b fita e a.recta 8c data linea ad f a. Ex his igitur exortum fuit hoc problema. Quod positione dasta recta linea ab. duobus in datis punctis ab. 5c datae b. secarea b.in Let apponere ii a.b g. ut sit ratio f h. ad fg. data. item fiatvth a. ad fa. ita data recta linea e b. ad fb. ut autem g b. adb Lita ea. data recta linea ads a. id quidem demonstratu est. Nam id Archimedes longius demonstrans de sphaera ec cylindro in Oblema aliud progreditur perducitin.
VT IOANNES VERNER NUREMBERGENSIS
Datam sphaeram plano secare ut ipsius segmenta ratione adsinuicem habeant datam. Sit data sphaera cuius diameter a b. occentru c.data λιnem ratio qua habeat d e. ad e s decet igitur diss
85쪽
pescere sph am plano ad ab.recto,Vt segmentu cuius vertex ad segmentu cuius vertex b.ratione habeat qua d e. ad e f. Et fiat ut d f. ad se. sic a c.adg.Et producatur a b. in a. partem Vsi in h.sit* a h.aequalis ipsi a c. 8c ipsi a b.in b. ad rectos angulos excitetur b h.& fiat ut b h. ad g. sic a b. adb k Compleaturm parallelogrammuab El.Rursus b Em. sit dupla ipsius b h. 8c puciatur b limn.parallelogrammis.Et per m. ipsis h h.hn.n5cos incidentibus per xxi ele. conicii scribat hyperbole m o p. Praesterea per xi.conicis elementu scribat parabole cuius axis h m. re vertex b.ad qua vero structim actae possint sit aequalis ipsi h c. Sitin talis parabole b o q. secans m o p. hyperbolen super .Et ex O.ad a b. pcrpendicularis agatur o r. Dico Q planu vesniens perr. ξc ad ab.rectum secat datam sphaeram sub ratione ipsius d e. ade f. Ipsi deni hc.aequalis fiat r c u. perficiaturo tria parallelograma inbctior u X.o r h s. Et quia per construsctione ut d Lad fe.sic a c. ad g. Igitur solidam parallelepipeductisus basis quadratus ipsius a b.altitudo vero ipsi a c. aequalis ad solidum parallelepipedum cuius eadem basis altitudo auteipsi g.aequalis rationem habet qua d Lad fe. Quonia aute ex
86쪽
hypothesi vi b h. ad g. sic a b. ad b h. Ustur per prima propo fitti
onem lib.Ui.ele.Exin quadratus ipsius ah. ad rectanguiu ab El. existit vib h. ad g. Igitur solidum parali clepipedum cuius hassis aequalis quadrato a b. altitudo vero aequalis ipsi g. par in solido cuius basis rectangulii a b h l. altitudo vero ipsi b h. aequas iis per propo.xxxiiii. lib.xi.ele. bases enim ipsis fastigiis lunt reciprocae.Ut quia duoru parallelogram motu a b h l.& hmici
latera per constructione, sunt reciproca iuxta eundem comus nem* angulu ab m .constituta. igitur per propo.xiiii. li. Vi. ele. Eu.eadem parallelogramma a b k l .c b m t. sunt aequalia. Duo
igitur solida quom bases sunt parallelograma a b k l .c b in si altitudines autem ipsi b h.equales paria sunt per propo. XXi.li. xi. ele. Igitur ex c5muni sententia. Quae uni sunt aequalia occ. Solidum parallelepipedii cuius basis c b m t. altitudo vero ipsi h h. aequalis aequatur solido parallelepipedo cuius basis quasdratus ipsius a b. fastigia autem ipsi g. aequale. Praeterea. Quia duo parallelograma blimit.&ortis. compraehendunt aetis ab hiperbole m o p. ad non coincidentes h h. h s. rectis lineis. igit per ultimuelementit conicii duo parallelograma b hin n. ει o x h s. sunt aequalia. Et quia per .ppositione xvi.li. Vi.el.Eu. Si sub extremis compraehensum rectangulu Scc. Igitur vi b h ad lir.sicr o. ad b m. At ex hypothesi ato per propo. prima li. Vi.ele.Eu. Vt o r. ad b m.sic parat telogrammii o r v x. ad c h m t. parat telogrammu. Igitur solidum parallelepipedu cuius basis Pru X. parallelogrammu fastigiis aute hr.aequatur solido cui' hasis c b m t. altitudo autem h h. Atqui per quintu elementu conicum quadratus ipsius b r.aequatur parallelogrammo Oru Igitur solidum cuius basis quadratus ipsius br. fastigiu autemr h. aequabitur solido cuius basis ch in t. alitudo autem h h. Cui quidem solido ostensum est esse aequale solidu cuius basis quasdratus ipsius a b. altitudo autem R. Ex comuni igitur sententia. Quae uni sunt aequalia ecc. Solidu cuius basis quadratus b r. fastigium aute r h.aequabitur solido cuius basis quadratus ipsius a b. altitudo vero g.Et quonia per propo. vii. li. V.ele. Vna magnitudo ad easdem eandem habet ratione. Igitur solidum parato
87쪽
lelepipedum cuius basis quadratus ipsius a b. altitudo autema c. ad solidum cuius basis quadratus ipsius br. altitudo autemr h. rationem habet qua d Lad se. Atqui per propositionem se.
cunda li. xii. ele.Circulus cuius diameter a b. ad circulum cuius
diameter br.rationem habet qua quadratus ipsius a b. ad ipsi'hr. quadratu Ergo cylindrus cuius basis circulus super a b. diametro scriptus fastigiis autem a c. ad cylindrii cuius basis circus ius sup h r. dimetiente script' altitudo aut x h.ratione habet ld Lad se. Et quia cylindrus habens basim circulii cuius quς excentro fuerit squalis ipsi a b.fastigiu autem a c. quadruplus est cylindri cuius basis circulus superab.dimetiente scriptus altis
tudo autem eidem a c.aequalis. Similiter cylindrus habens bassim circuiti cuius quae ex centro b r. altitudo aute r h. quadrus
plus existit cylindri habetis basim circulii super b r. diametro
scriptu fastigiu autem eidem r h.aequale. Et quia cylindrus haιhens basim circulum cuius quae ex centro aequalis est, ipsi a b. fastigiis autem ipsi a c. aequale triplus est coni cuius eadem hassis atq; idem fastigium. Similiter cylindrus cuius basis circul' habens eam quae ex centro aequalem ipsi b r. altitudo aute ipsi rh. aequalis triplus est coni earundem basis 8c altitudinis per Propo. X.li.Xii.elc. Eu.Ex aequali igitur seu per propositionern xxii. li. V. etc. Eu.Conus habes basim circulis cuius quae ex cestro aequalis extiterit ipsi a b. altitudo autem ipsi a c. aequalis, ad cylindru cuius basis circulus superab. dimetiente scriptus. alstitudo vero ipsi a c.ςqualis ratione habet,qua conus habes bassim circulii cuius quae ex centro aequalis existit ipsi h r.altitudisnem vero ipsi r h.aequalem,ad cylindrum cuius basis circulus super br. diametro script' altitudo aute rh. victissim igitur per propo. XVi. lib. V. ele. Conus habens basim circulii cuius quae ex centro aequalis fuerit ipsi a b. altitudine vero aequalem ipsia c. ad conu cuius basis eam quae ex centro aequalem habet ipsi h r. altitudine vero ipsi r h. aequalem existit sicut cylindrus cui' hasis circulus super a b. dimetiete scriptus altitudo autem a c. ad cylindru cuius basis circulus super b r. diametro scriptus fa
stigiu aut r liuid est velut suerat ostensum sicut d Lad fe. Per ea
88쪽
vero mis Archimedes &Dionysiodorus demonstrarunt.Convhabens basim circulum cuius quae ex centro aequalis extiterii ipsi a b. altitudine vero ipsi a c. aequalem datae sphaerae par e istic. Similiter quom conus habens basim circulu cuius quae excentro ipsi h r. fuerit aequalis altitudo 'ero r h.aequatur qu&gsphaerae segmento cuius vertex h. fastigia autem h r. igit data sphaera ad sui segmentu cuius vertex b. fastigium autem b r.est ncut d Lad se. 8c dirimenti igitur datae sp hqrae s mentu cuius vertex a. fastigia autem a r. ad eiusdem sphaerae segmentu cui vertex b.culmen autem b r.existit sicut d e. ad e t. Data igitur sphaera plano per r. veniante, ait ad a b.dimetiente recho subdata ipsius d e.ad e fratione secatur quod oportebat efficere.
De motu instauae sphaerae tra status primus, qui triginta , quattuor cum theorematibus tu problematibus quae propositiones libuit appellare cons
Rium fixoru siderum basilisci qui alio nomine eo
leonis dicitur Aristae ec lancis austrinae ex diligenti eorum inspectione facta prope annos domini conlar pletos t 7Iq. declinationes ab aequatore numerare. Anno itam redemptionis nostrae inc5pleto I x ι .die prima des. cebris idest post meridiem ultimi diei noncmbris horis.ls. muniitis 3o. diuersis seu no squalis propensiori quada inspectioe Per regulas Ptolemci Nurembergς consideraui fixum illud sis diis quod a graecis basiliscus, a latinis regulus oc a neotericis cor leonis dicitur quando idem sidus meridianu posmederat,im Uenit illud a vertice orizontis remotu gradibus 3 s. minutis: Primis 16. fere. Supposita igitur latitudine Nurembergen.ν
89쪽
deratoribus inuenta est, erit declinatio igitur septemtrionalis
eiusdem fixi sideris hoc est ipsius basilii ci graduu l6. mi. pes
moris γ.s.3o fere.Deinde eodem anno is l .incompleto die iς decembris in antelucano ante ortum solis hora una minutis primis q. fere non aequatis per regulas easde deprehendi Arisstam avertice Nurembergen .elongatagra. m. . 3. fere ergo eadem latitudine Nurembergae subiecta I decliuatio Austrina. ipsius arcts existit graduu8. primam minutiaru Ty. secundaru3o. Praeterea anno domini isI . incompleto die nona Aprilis hoc est in nocte quae praecedit diem nona aprilis comperi mesridiana distantiam Austrins laneis a vertice orizontis Nurems hergae fuisse graduum 53. primorum minutoru z. Ergo meridiana declinatio austrinae lancis esset hoc tempore fere graduum 33. primo minutoue 38. S.3o. Eorundem denim sidersi easdem verticales Ac meridianas elongationes pluribus antefactis ins spectionibus depraehendi. igitur compertis declinationibus fisdem tribui indubiam.
Eorundem trium sidera idest basilisci Aristae at* austrinae lan/cis veras in zodiaco longitudines muneratioe datas exhibere
iuxta prςscriptione itam theorematu tertii libri quem scripsi de triangulis sphaericis pro quolibet triu horu sidem vero in lonsgitudine zodiaci loco comperiendo, inueniendi sunt numeri quattuor proportionales,quorum quartus est sinus versus seu
iuxta alios stigitta siue cuspis distatiae sideris a capite seu initio cancri. Sitin inprimis intentio vera aristae in zodiaco longitus dine copulare. Supposita ita maxima solis declinatione grasduunt M. minutodi primo M.fecundoiv 3o. Atq; ipsius aristae iubiecta meridionali latitudine graduu.Σ. Igit iuxta praeceptisones theorematu praedicti tertii libri sphaeraliu triangulorum memoratae proportionis primus terminus inuenitur 398los . Secundus Io ooco. partium semidiametri zodiaci, Tertius i3γcis. Et quia per propositionem xvi. lib.Vi.aut per propositionem xix. lib. Vii.ele.Eu.Si quatuor nueri proportionales sus
90쪽
erint qui ex primo ic quarto sit aequus est ei qui ex secundo res ni I itur praedictae proportionis secundo tertioq; termino simul actis 5c producto per primu diuiso dabitur eiusdem prcu
portionis terminus quartus earundem partiu Izyosi o. quarusemidianaeter zodiaci subiicit esse io o ooo .dato itaq; quarto termino sublatis Icoo oo. partibus diametri zodiaci, rem asnent partes z'osizo.sinus videlicet rectus graduu εc minutias rum quibus Arista seu spica pro annis domini tyi .completis remouetur ab initio signi librς,per tabulas itam sinuu habetes sinum maximii partiu lo oooo. praedicto sinui recto compestunt gra.xvi. prima mi. iiii. secunda xix.quae de signo librae,ans nis dominiisIq.completis arista pertransiit, per eadem denissitheoremata eiusdem lib.iii. sphqraltu triangulom basilisc' seu Cor leonis inuenitur in gra.xxii.mi. primis xliii. leonis. Atque lanx meridionalis in gra. viii minutis primis xiii. signi scorpii.
Fixa sidera ab aera Ptolemaei vis ad annos domini compIetos Isi .mota fuisse secundum silccessum signoue zodiaci gradiν XX. mi.primis xiii. secundis xlx.sere.Ab aera autem Altinsi regis Castiliae seu Hispaniarum v sin ad praedictos annos domini Is l .completos mota suisse iuxta eiusdem zodiaci longitudi, ne in gra. iii.mi. primis V. secussis xta. Ab aera dentin Ptolemaeivs Q ad Alfonsi regis aςram gra. xvii. mi.primis viii.ita perspiscuum fiet.Nam Ptolemsus depraehendit aristam stella in gra.
xxvi. mi. primis xl. VirginiS quae si detrahantur a vero loco ansnis domini is r . completis obseruato,videlicet Mgrao xvi. m . Ini. s.xix. librae relinquunt gra. XX.mi. xiii. secunda xiX. praeoterea in aera Alfonsi regis, verus aristae loci depraehensus fuit , in gra.xiii.minutis primis q8. librς quibus si dematur verus Iocus aristae Ptolemei tempore εompertus, relinquun gra. xvii. mi. prima viii.quibus fixa sidera ab aera Ptolemei vis ad Aloson si aeram mota sueranti Si demu verus locus Aristae tepore Alsonsi copertus detrahatur vero eius loco amiis domini si completis obstruato residebunt gradus . sic minuta prima V.
secunda xis. quibus fixa sidera a tempore Alfonsi regis usque