장음표시 사용
71쪽
no FG productum autem ex A,& plano C D, auctum quadrato C, est planum C G ῆ ergo B, ad Ε, sunt ut A, denominatus plano CG, ad unitatem denominatam plano F Gi& multiplicando per G, ut, A denominatus per C, ad uni natem denominatam per F ; & diuidendo perA , ut unitas denominata per C, ad unitatem deuo. minaram per planum A F ι uidelicet ut planum A F, ad C. Quod,&c. '
Vnitatum, qua denominantur planis Ariathmetice di positorum, qualibet assumpta. ad buccedentes in infinitum est, vidisserentia ad numerum ordinis asiumpta inter riiμιtice dispositos.
Τ Nitatum, quae denominantur planis Arithmetice dispositorum ab A , cum differentia B. sit assum pta C , cuius ordinis inter Arithmetice dispositos num rus D i & succedentes ipsi C, sint dispositae in infinitum, di aggregatae in E; quae uero praecedunt una cum eadem assumpta sint compositae in F, quarum multitudo G.D c, C , ad Ε, se habere uti B, ad D. Quoniam C, ad F, est ut A,ad planum G D; & F, ad Ε, sunt ut planum CB, ad A; ergo ex aequo in perturbata C,ad E, est ut planu GB,ad planu G D & diui do per G,ut B,ad D.Quod,&c.
72쪽
Duarum fractionum, eum denominatores eodem numero excedunt aquemultiplices numeratorum , masor est, qua maiorιbus numeris exprimitur, oe excelus est fractio , in qua productum eiusdem numeri , γ disserentia numeratorum denominatur plano denominatorum.
SInt duae fractiones A , B, quarum denominatores C, D, superant eodem numero E, numeros G, H, aequemultiplices numeratorum I. Κῶ& l,excedat Κ, per L; ergo G, excedit H; & adiccto E, communi, etiam C, excedit D. Dico A, maiorem esse B. Quia G, H, sunt aequemultiplices I, K ; ergo I, ad G, est ut K, ad H ; &quia G, maior est H, maiorem habet proportionem G, ad Ε, quam H, ad E ; & componendo, G, ad C, quam H ,ad D & ex aequo I, ad C, quam Κ, ad Di ergo fractio A, maior est B. Dico praeterea excessum esse planum L E, denominatum plano C D. Quoniam I, ad Κ, est ut G, ad H; planum I Η, plano K G, est aequale: di quoniam E, est excessus D H ; planum I E, est excessi. : H sus
73쪽
sus planorum ID , I H, vel l D, Κ G : & eadem ratione planum ΚΕ, est excessus planorum KC, HG; ergo idem est incessiixuiis planota I D, R etiam planorum I Ε, Κ E ; cum autem L, sit excessus I, Κ ; ergo L E, est excessus planorum I E, ΚE; videlicet excessus planotum ID, Κ C ; sed excessus A, B, est aequa. lis excessui planorum I D, SC, denominato per planum D C; ergo excessus λ, B, est planum L E, deno. minatum plano DC, Quod, .
Unitatum, qua denominantur planis dispositorum' Arιιhmetice, quotlibet ast repta ad Iuccedentes in infinitum sunt, ut multiplex disterentia in Arithmetica dispositione secundum multιtudinem assumptarum ad multiplicem eiusdem disterentia secundum multitudinem pracedentium auctum primo eiusdem distositionis numero
SInt A, assumptae unitates denominata planis nume rorum Arithmetice dispotiiorum a B, cum disserentia
74쪽
.Arithmeti . tia C ; & multirudo A, fit sinesΞ, infinitae succedentes ipsis A I es F, praecede es, quirum multitudo G ά di ex ductu C, MiG. D , fiant I, Κ; & I, auctus B, sit L. Dico A, ad Ε, se habere ri R, ad L. Fiat M. aggregatum numerotum G, D;&N , productum BC M, auctum quadrato B . Conclat F, A , inaul aequales esse Prop. 37. M, denominato per Ni dueatur etiam B, in L . & fiat Q; quia L , est compositys ex B, lir videlicet ex B, di plano G C, etiam Q compostiis est ex producto B G,&ex quadrato B: constat pariter F, aequaleS esse G, dcno. Prop. 3ν. minato per Q;& A, excessui dictarum fractionum,id Prop. 44.
licet producto sub D, & quadrato B, denominator per planum Q ergo A, ad F, A, simul sunt ut productum ex D, & quadrato B, denominatum per Q N, ad M,
denominatum per N ; & multiplicando per N C, ut pro ductu explano DC,& quadrato B, denominatum per Q, ad planum M C; sunt autem P. A , simul ad E, ut M P op ΑΙ- C, ad B, ergo ex aequo A, ad Ε, sunt ut productum explano DC , & quadrato B, denominatum per Q, ad B;& diuidendo per B, ut productum DC B, denominatu Per Q ad unitatem; videlicet ut productu DCB,
ad Q; est autem Κ, aequalis plano DC; & Q, aequalis plano B L ; ergo A, ad Ε, sunt ut productum K B , ad productum B Li & diuidendo
75쪽
In quo de Fractionibus agitur, quas denominant numeri solidi. Demonstrantur Additiones in propositionibus 4 3.
Quadraturae vero in 3. IS. 23. 27.
Si quatuor magnitudines bina se aqualiter excesserint,planumsub minoribus excedit planum bub minoribus plano sub eodem excessu, re aggregato maxima, oe minιma.
SIt E, excessus A , B, aequalis excessui C, D. Dico excessum planorum A C, B D, aequalem esse plano sub E, & aggregato A, D. Quoniam E, est excessus 1 C, D,
76쪽
Arisbmetiea. ζε IE. . 3. : A I. B. a. m Q 7. D. q. C, D; elannm E A , est excessus planorum C A, D Arct quoniam E . est excessus A, B, planum E D, est exces sus planorum DA, DR ergo collig endo pia na EA, ED, simul sunt et qualia excessibus planorum C A, D A, DA, DB , videlicet uni eκcessui planorum C A, B D i plana vero E A .E D, sunt aequalia plano sub E, & aggregato R, D 3 ergo excessus planorum C A , B D, est aequalis plano sub E,& aggregato A, D. Quod,&c,
Numerorum Arithmetice dispositorum argregatum est aquale dimidio plani sub multitudine, is aggregato extremorum.
Sint numeri Arithmetice dispositi, quorumprmra A,
v Itimus B, & multitudo C. Dico aggregatos aequa les esse dimidio plani sub C, & aggregato A, B. Sit primo C, par cuius dimidiu D Mquoniam numeri A, B, &intermedij totidem sunt, quot unitates in C; ergo bini totidem tunt; quot unitates in D..hini autem Iumaeaare- mi A , B, tum ab extremis aequaliter distantes inter lesunt aequales, ergo omnes aggregati sunt ad aggregatum extremorum A B, ut D, ad unitatem ρ & omnesaggregati sunt aequales plano sub D, & aggregato extremorum , videlicet di madio plani sub C,&aggregato Α .B.
77쪽
A. 2. I. 8. II. RI . . c C. F. D. q. E. 8. Sed estoC. impar, & unitate dempta fiat D, par et quia exeessus extremorum est multiplex excessus consequentium per D ergo excessus extremorum A, B, est pari &duplum A, est par , ergo aggregatum extremorum A, B, est par ι euius dimidium sit Er igitur E, medius est inter Arithmetice dispositos ab A , ad B;& ad Ε, bini tu victremi A, B , aggregati, tum aequaliter distantes ab extremis dupli sunt 3 ergo omnes aggregati praeter E, auE, sunt ut D, ad unitatem ι & componendo Omnes ad Ε, sunt ut C, ad unitatem , ergo omnes aggregati sunt
aequales plano sub E,&C; dimidio videlicet plani sub aggregato A, B ,& C. Quod,&c.
Disestis Earithmetice quotcunque nume ris, disterentia planorum pub primis, s. vltim1s ad aggregatum omnιum prater
primum, re ultimum sunt , ut duplum excessus ad unitatem.
N Vmerorum Arithmetice dispositorum duo primi fini A, B, duo ultimi C, D,& consequentium excessus E. Dico differentiam planorum DC, AB, esse
78쪽
ad omnium aggregatum p aeter A, D, vi duplus E, ad unitatem. Quom ψ nimia laxe cessii , C, B, A, vicis tua cita sunt quale cetaim, M , C, As it F,
excelsus D , B, vel C, A ;erso excessus planorum I C, AB, vit planum sub I , re aggremio A, D, vel B, C: sic G, multitudo omnium praeter A, D, cuius dimidium H; e goi aggsegatum omnium praeter A, Iy, cst planum sub Η ,& 43gregato B, C ;& est planum sub T ,& aggregato B, c., ad planum sub H , & agetrogato B, C, vr F,ad hi ; 5 quoniam F , toties conirn et E , quot G, isti ita tes ;ergo F, ad G, cst vi E, ad una talem; est autem G. ad H, duplus, vidclacci uti duplus E, ast E p ergo ex aequo inperi ut bata F, ad H . est ut duplus E , ad unitatem ergo excellus planorum D C , A B, ad aggregatum onNMum praetcr A, D, est vi duplus E, ad unitatem . Quod , &c.
Di minis Arithmetice quotcunque numeris, Unitater denominatae Iouis eorum de consequentium sunt aequales aggregato ex ιuter me dise dispossitis denominato per plaΠΟ-
, planum ex G1s extrem s. Sint unitates quotcunque A. denominatae solidiscon.
sequentium Λ tithmetice quomodolibet dispositoiu. Dico A,aequales esse aggregato eorumdem dispositosum praeter exit cmos denominato per plano planum binorum extremorum. Sint B, totidcm excessus ait crnorum
in eadem disposition o ijsi qm solidis denominati: & quia
79쪽
consequentium Arithmeties dispositorum exeessus seneaequales i etiam alternorum excessus aequales inter seis sunt; &singuli dupli sunt ad excessum consequentium, ergo singulae B, ad singulas Λ, sunt ut duplum excessus eonsequentium ad unitatem, & colligendo omnes B, ad omnes Α, fiunt ut duplum excessus consequentium ad Prop.3 a. unitatem ν videlicet, ut excessus planorum sub binis extremis ad aggregatum omnium dispostrorum praeter extremos ; & diuidendo per planoplanum ex binis extremis, ut excessus planorum sub binis extremis eorumdeplanoplano denominatus ad aggregatum omnium praeter extremos pariter denominatum: sunt autem omnes B,aequales excessui planorum sub binis extremis eorum dem planoplano denominato; ergo omnes A,sunt aequa les aggregato omnium praeter extremos denominato per planoplanam binorum extremorum. Quod,&cti
Unitatum, qua denominantur solidis omniuconsequenitum ab umtate, quotlibet a pra-ma sunt aquales producto numera multιtu
ianis ipsarum in numerum ternario mat
rem , denominato per quadruplum eiusdem producti, addito I simper δ.
80쪽
SInt A, numeri consequentes ab unitate; & B, unita intes denominatae solidis consequentium A; & num cirus multitudinis B, sit E , qui ternario auctus fiat Fi&Productum ex E , fit 1 P, sit C; cuius qua diu plum auctum numero8. sitit ex denomanation G, pur Irea fractio Κ'. Dico, quod aggrega tuta omnium B, est Rquale K. Numerorum A, sint D, C , duo, quiriquuntur Erquoniam numeri A , terni denominant singulas B; ergo multitudo numerorum A. qui denominant B, binario sirperat multitudinem B; videlicet numerum E, est autem C, qu i binario excedit E; ergo C, est multitudo nume. rorum A , qui denominant sunt in A, omnes num ri ab unitate; ergo dispositorum in A , usque ad C, sunt vltimi C, D; primi unitas, & a; & extremi unitas,& C: sit M , planoplanum sub D, c, a.& unitate , & L, sit aggregatum re liquorum, praeter unitatem,& C; ergo B, sunt aequales L, denominato per M: & quia C, binario, α F.; ternario excedunt E S ergo F, excedit C, unita ic;&F, aequalis est C,& unitati; vel D,& binario; ergo planu EF, videlicet numerus G, duplus essL: item excessus plani D C, super binarium planum videlicet unitatis, &binarij duplus est eiusdem L , ergo C, est exccsius plani DC, super binariti; & planu DC, cxcedit G,per binariti; . & quadruplu DC, exced i quadruplu G, per 8: cst aute
plum plani DC, vel duplum planoplani sub D,C, 2.&vnitate: ergo I, est duplum M; & G,ad L, est ut i, ad M. O permutando, G, ad I, est ut LigdM ; ergo L, denominatus per M, videlicet aggregatum omnium B, est aequa