Euclidis datorum liber cum additamento, necnon tractatus alii ad geometriam pertinentes. In usum juventutis academicae. Curavit et edidit Samuel, Episcopus Asaphensis

102쪽

ADDITA MENTUM

LIBRI DATORUM EUCLIDIS:

SIUE

LIBER DAΤORUΜ SECUNDUS.

CONCINNAVIT ET ADIECIT

104쪽

ADDITA MENTUM

LIBRI DATORUM.

DEFINITIONES.

CIRCULI segmentum, in quo datus est angulus, specie

dari dicitur. II. Arcus circuli specie datus est, qui angulum datum sive ad centrum sive ad periphoriam subtendit. Cor. I. Segmenti specie dati peripheria arcus est specie datus. Cor. 2. Si arcui specie dato addatur vel auseratur arcus specie datus, qui ex duobus componitur arcuS, vel qui relinquitur, specie datus est.

Si eireulo inferibatur recta, qui ad diametrum datam rationem habeat, auferat illa figmentum specie datum ; etsi inscripta auferat segmentum necte datum, habebit illa

ad diametrum rationem datam. Circulo ABC inscribatur A C, quae ad diametrum A Edatam rationem habeat. Dico segmentum AB E C specie datum. Jungatur enim E C. In triangulo A E C, angulus A CE rectus est . Lateris autem A C ad latus A A ratio data v. Triangulum igitur A E C specie datum '. Angulus igitur A E C datus'. Sementum igitur A B E C specie datum '. O. E. D. Diqitigod by Go le

105쪽

ADDITA MENTUM LIBRI DATORUM.

dat.

Jam vero inscripta A C auserat segmentum A B E Cspecie datum. Dico rationem inscriptae A C ad diametrum A E dari. Manentibus enim constructis, propter segmentum A BEC specie datum, angulus A E C datus f. Angulus autem ACE datus, nempe cum sit rectus s. Quare et reliquus angulus trianguli A E C, angulus utique Ε Λ C, datus. Triangulum igitur A R C specie

datum h. Ratio igitur A C ad A E data Φ. O. E. D. PROP. II. S dum rema circulo inferiptis segmenta auferant specis data ; ibor tis datam inter se rationem habent. Utriusque enim ad diametrum ratio data . Mutua igitur earum inter se ratio data Τ. O. E. D. PROP. III. Bases fermenti circularis specie dati angulum cum diametro, per terminum suum alterutrum transeunte, datum facit. Et si bases segmenti circularis angulum cum diametro, ser terminum suum transeunte, datum faciat, segmentum specie datum es. Nam, in sis. Prop. I. hujus, propter segmentum

A BEC specie datum, angulus AEC datus . Sed rectusACR. Quare trianguli ACE angulus reliquus E A Cdatus ; quem utique basis segmenti cum diametro A E, Per terminum suum A transeunte, facit. Q. E. D. E contrario, dato angulo C A Ε, dabitur in triangulo ACE, ad C rectangulo, angulorum tertius AEC. Segmentum igitur A B E c specie datum. O. E. D.

PROP. IV. Segmenti circularis specie dati bases ad altitudinem rationem datam habet.

Esto circuli segmentum A B C, specie datum, has A ciconstitutum. A centro circuli, quod si D, in segmentibasin Λ C ad perpendiculum deducatur D P, quae ipsi A Cin puncto F, segmenti autem peripheriae in puncto Boccurrat. Erit B P segmenti altitudo. Dico rationem A C ad B P dari. Iuncta enim A D et producta Peripheriae circuli in E occurrat, et jungatur C E. Angulus

106쪽

ADDITAMENTUM LIBRI DATORUM.

Angulus ad P rectus'. Datus ad A datus R. Quare et tertius trianguli A P D angulus, A D F, datus; et triangulum ipsum specie datum P. Jam Vero propter segmentum ABC specie datum, ratio A C ad A E data '. Ratio autem A E ad AD data, binarii utique ad unitatem. Ratio igitur AC ad AD, sive illi aequalem D B, data . Sed propter triangulum A D P specie datum, ratio A D ad D P data. Ratio igitur AC ad D P data . Segmenti igitur basis AC ad utramque D B, D P datam rationem habet. Quapropter et ad B Peadem A C datam rationem habet . Q. E. D.

igitur. Angulus autem ' Per conia

strue . Per Praec.

PROP. V.

Si recta eireuis inferipta figmentum auserens specie dammis data ratione secetur ; recta, a puncto jectionis in dato angulo educta, segmentum auferet specie datum. Recta AB, circulo ACB inscripta, auserat segmentum B C A specie datum. Recta A Bin data ratione secetur in putacto D: et per punctum D ducatur

recta C D E, quae angulum C D Bdato aequalem faciat. Dico segmentum C HE specie datum. Acentro circuli F in rectam A Bducatur ad perpendiculum recta

P G. Jungantur FB, FD, et FC.

Producta vero C P circulo iterum in H occurrat, et Ia E jungatur. Propter segmentum B H A specie datum, angulus P B G datus est '. AnsulUS W 3. hujus. autem ad G rectus. Triangulum igitur B P a specie datum. Ergo ratio B G ad G F data. Sed propter rationem B D ad D A datam ; componendo, ratio A B ad

107쪽

ADDITA MENTUM LIBRI DATORUM.

n D data est . Ergo et dimidiae A B, id est, BG ad noratio data. Convertendo ratio B Gad G D data est. Sed ostensa est ratio B G ad G P data. Ratio igitur P G ad G D data est . Et angulus ad G rectus. Triangulum igitur p G D specie datum. Angulus igitar GDp datus. Da

tus autem C D Λ Υ. Ergo F D Cdatus. Sed propter triangulum F G D specie datum, ratio F G ad F D data est. Et propter triangulum B G P specie datum, ratio B P ad F G data. Ratio igitur B P ad F Ddata est . Ratio igitur C P, quae ipsi P B sequalis est, ad F D data. Triangulum igitur C P D specie datum est . Angulus igitur D o P, id est, E C H datus. Angulus vero MR C rectus est. Datus igitur angulus C H E. Segmentum igitur C H E specie datum est. O. E. D. Cor. Rechar C E segmentorum C D, DE ad diametrum utriusque, et inter 1e, ratio data est.

PROP. VI. Si in f menti specie dati base producta capiatur punctum

i u nodi, ut figmenta baseos inter punctum illud et periapberiam rationem inter se datam babeant; recta, a puncto illo in peripberiam in dato angulo educta, segmentum auferet Deoie datum. Segmentum ACB specie datum sit. In base A BProducta capiatur punctum D, ut sit A D ad D B in ratione data. Et per D ducatur recta D C, quae angulum C D A dato aequalem faciat, et peripheriae in pundiis C, E occurrat. Dico segmentum C H E specie datum. A centro circuli P in basin Α B ad perpendiculum deducatur F G, et F D, P C, P n jungantur. Producta vero C P circuso iterum in HOCcurrat. Jungatur E H. Propter segmentum ACB. Di iri specie datum, triangulum P G B specie datum est η. meden. Ratio igitur P G ad G B data. Sed propter rationem

108쪽

ADDITA MENTUM LIBRI DATORUM.

A D ad D a datam; dividendo, ratio An ad B D data

est h. Ac proinde, ratio dimidiae A B, seu G B, ad BDh e. et 8. data. Invertendo et componendo, ratio DG ad G B datae tiest. Sed propter triangulum P G B specie datum, ratio G A ad G P data. Quare ratio D G ad G P data est . ς 8. dat. Angulus vero ad o rectus. Triangulum igitur F G Dipecie datum. Angulus igitur G D p datus est. Datas autem G D C q. Datus igitur P D C. Propter triangu- 4-hvp. Iuin vero F D ci specie clatum, ratio F D ad F G data. Et propter triangulum P G B specie datum, ratio F Gad p n data. Data igitur est ratio P D ad P n, sive F Dad pCς. Triangulum igitur FDC specie datum . An-φ M. datigulus igitur F C D, seu H C E datus. AnguluS vero , C E H rectus est. Datus letitur C H E. Seamentum 3gitur C H E lpecie clntum est. Cor. I. Rectae C E segmentorum C D, D E ad diametrum utriusque, et inter se, ratio data est. Cor. a. A US BC, A E, CA, BE, rectis AB, CE intercepti, suo punctum D intra circulum fuerit, sive extra, specie dati sunt. Jungatur enim C A. Proptes. segmentum B C A specie datum, ratio B A ad diametrum C H data est . Data autem est ratio C D ad C Hs. Ratio isitur 1. huius. C D ad B A data est'. Sed propter rationem BD ad DA 'ἡ4ἡhi datam , ratio B A ad A D data est. Data igitur est ratio Cor. i. huC D ad D A V. Angulus autem C D , datus . Trian-jus.

gulum igitur C D A specie datum. Ergo anguli D Λ C, ' ἡ

Λ C D magnitudine dati, et arcus B C, A R speciC . Dei. a. Arcu autem B C specie dato, propter arcum B C A specie bulus. datum, arcus Ac specie datus est . Et simili ratione arcu 'Cor. 1.Def. E A specie dato, propter arcum B A specie datum, arcus λ. hujus. n E specie datus. D. L. D.

109쪽

ADDITA MENTUM LIBRI DATURUΜ.

Si in circulo inscribatur recta, fermensum auferens speris datum; angulus autem alacem ei, qui injegmento, medius disidiatur: disserentia rectarum, quibus datus in segmento angulus continetur, ad rectam, quά medius diaviditur qui dato alacet, rationem datam habebit: Es, circulo magnitudine dare, rectangulum, disserentia recta rum quibus datus in J Smento angulas confinetur, et fgmenso rectis a lacentem medium Aridentis, rem primum inferipid et peripherid cava intercepto, comprehensum magnitudine datum es. Circulo ABC inscribatur recta BC, quae auferat segmentum B D A C specie datum.

Tum in periphoria BD AC sumatur quodvis punctum A : quod non sit medium

peripheriae BDAC punctum. Junctae igitur B A, AC inaequales erunt. Esto utravis major, puta B A. Producta B A utCunque, medius dividatur angulus F A C, qui dato A A C adjacet, recta A E, quae rectae B C productae in T, peripheriae vero iterum in D, Oz- Currat. Rectae A B auseratur A G, quae aequalis sit ipsi a C. Dico rationem B G ad AD datam. Jungatur enim B D. Quoniam recta Λ R angulum FAC medium dividit, idcirco B Α : A C in B R : E C. Permutando BA: BE - AC, VEI A G : C E. Ergo BG: BC BA I9. quinti. : B E - A C : C E. Sed propter angulos C A E, FAR aequales, et angulum F A E angulo D A B aequalem ;idcirco anguli R A C, D A B aequales sunt. Propter Circulum vero anguli A D B, ACB simul 1 umpti duobus rectis sunt aequales. Duobus igitur ACB, AC Raequales. Ablatoque communi ACB, reliquus A CE reliquo A D B aequalis erit. Triangula igitur D A B, C A E similia sunt. Ergo AC: CE M AD: DB. Sed A C : C Rm B G : B C ; id enim ostensum. Ergo B G r B C m A D: D B. Permutando BG: AD m BC: DB. Propter angulum vero B A C datum, datus est C A P. Datus igitur FAE. Ac proinde D A B datus, et segmentum D AB a. huius. specie datum. Rectarum igitur B C, D B ratio data est . Quare et rectarum B G, A D ratio data. Q. E. D.

110쪽

ADDITA MENTUM LIBRI DATORUM.

Dico insuper, circulo A B C magnitudine dato, rectangulunt B G π D E magnitudine datum esse. Anguli E C A, A D B ostensi sunt aequales. Angulus autem ad B triangulis duobus A E C, B E D communis est. Similia sunt igitur triangula; et A C : C E m B D I D E. Sed AC: CE BG: BC ostensum enim supra.ὶ Ergo

Propter angulum autem D A B datum, dato utique EA Paequalom, 1egmentum B A D specie datum Rectaen Def. r. igitur B D ad circuli diametrum ratio data'. Circulo hujus. igitur magnitudine dato, rccia B D magnitudine data p. ' zi μ' Simili ratione propter segmentum B A C specie datum ', q ex hyp. recta B C magnitudine data. Rectis autem B D, B Cmagnitudine singulatim datis, rectangulum B C κ B D, sive ejus aequale B G κ D E, magnitudine datum est. O. E. D. Cor. Dato trianguli angulo, si laterum circum angulum datum disterentia data sit; in circulo triangulum circumscribente inscripta recta, quae angulum trianguli externum dato adjacentem medium dividat, magnitudine data est. Nempe hoc dico, data B G magnitudine, rectam A Ddari. Hatio citam n G ad A D data'. Quare data mag- ' hane nitudine B G, dabitur AD P. O. E. D. ν'' ,

PROP. VIII. Si linea recta ita feretur, ut rectangulum sub figmentis ad

quadratum ex tota datam rationem babeat; segmentorum inter se ratio data es. Secetur recta A B in puncto C, et detur ratio rectanguli A C κ C B ad quadratum ex A R. Dico segmentorum A C, C B rationem datam. Μodia enim dividatur A B in puncto D. Propior rationem D B ad A A datam, ratio quadrati eX D B ad quadratum ex B A datum.

Data autem ratio rectanguli A C κ C B ad quadratum ex A B q. Rectanguli igitur A C A C B ad quadratum q ex hyp. ex D B ratio data x. Invertendo et convertendo quadratir 8. dat. ex D B ad quadratum ex D C ratio data. Quare et rectae D B ad rectarn D C ratio data. Couvertendo ratio D Bad B C data. Sed ratio A B ad B D data. Data igitur