장음표시 사용
111쪽
ratio A B ad B C '. Et dividendo, ratio A C ad C B data- G. E. D. PROP. IX. Si linea recta ita ficetur, ut rectangulum recta tota et sc
mentorum altera comprehensum ad quadratum ex γε- mento altero datam rationem babeat; stigmentorum inter δε ratio data es. Recta A D in puncto C socctur, et detur ratio rectanguli A B κ B C ad quadratum ex A C. Dico segmentorum A C, C B rationem datam esse. Modium enim
dividatur segmentum A C in puncto D. Propter rationem D C ad C A datam, data est ratio quadrati ex D Cad quadratum ex A C. Sed rectanguli A R A B C ad qua iratum ex A C ratio data . Quadrati igitur ex DC ad rectangulum A n κ B C ratio data μ. Invertendo et componendo quadrati ex R D ad quadratum ex D C ratio data. Quare ut rectae B D ad rectam D C ratio data. Dividendo ratio D C ad C D data. Data autem ratio
AC ad CD . Ratio igitur A C ad C B data'. 2. E. Dcir. Si linea recta extrema et media ratione secetur; segmentorum inter se, et utriusque ad totam ratio data est. PROP. X. Si trianguli angulus ad verticem datus P, et recta a vertice ad basin d duectu angulum ad verricem medium dividens, restionem ad bias ι dialiam babestit; triangulum sedis datum es. Trianguli A n C angulum ad verticem B A C datum recta A D medium dividat, et basin puncto D occurrat; et Ponaturrectarum AD, BC ratio data. Dico triangulum i pectu datum e te. Circum Icribatur cilina circulus B AC G: Circuli DA CG centrum Clio T. Recta A D circulo occurrat in G. Juncta G Ε rectar n C occurrat. OC- cursus esto P. Producia G E circulo iterum in Ia Occurrat, Ct A Hjungatur. Propter angulos B A G, C A G aequales, arcus C G, B G aequales sunt. Di ametor
112쪽
ADDITA MENTUM LIBRI DATORUM. 97 igitur G H rectam B C mediam dividit, et ad rectos secat. Angulus vero M A G rectus est propter semicirculum. Triangula igitur H G Α, D GP, quae angulos ad A, Frectos habent, et angulum ad G communem, similia sunt. Ac proinde rectangula HGA GF, AGAGD aequalia sunt. Sed propter angulum B A C datum, circuli segmenta B A C, B o C specie data sunt. Ratio igitur B C ad N G, necnon B C ad G F, data in . Sed ratior i. et 4. A D ad B C data est . Ergo ratio AD ad N G, necnon tyVJR
ad G P, data est . Ac proinde quadratum ex A D. A d ad rectangulum M G κ G P, sive illi aequale A G κ G D, rationem datam habet. Data igitur est ratio GD ad
D A h. Componendo ratio G A ad A D data. Data au-- s. hujus. tem ratio A D ad II Gq. Ergo ratio A G ad G H data. ς Persu Angulus autem G A H rectus. Triangulum igitur o AH Pς u
specie datum β. Angulus igitur H G A datus. Deducta et dii igitur in basin BC ad perpendiculum recta Α Κ, angulus
D A K datus. Datus autem D A C, dati nempe B A C semissis. Datus igitur K A C. Verum in triangulo rectangulo A KC, dato acutorum altero K AC, reliquus A C Κ, Due A C B, datus est. Sed angulus B A C datus est η. Trianguli igitur B A datis duobus angulis, dabitur tertius, et triangulum specie dabitur. Q. E. D. PROP. XI.
Si Diane uti angultis ad verticem detur, es recta a vertice ad bota productam deducta, angulum ad verticem externum medium dividens, rationem ad basin datam habeat; triangulum specie datum es. Trianguli A B C angulus ad verticem B A C detur. Et producto latere B Α, angulus eXternus C A D recta A EGmedius dividatur. Recta autem A a basi productae in E
113쪽
58 ADDITA MENTUM LIBRI DATORUM. o urrat. Ponatur etiam ratio AE ad hasn BC data. Dic triangulum specie datum. Circumscribatur enim Circulus. Circuli circumscripti centrum esto P. Recta A E circulo
iterum in G occurrat. Juncta G P rectae BC in re occurrat, et circulo iterum in K. Iungantur Α Κ, ΚΒ, Κ C. ProPter Circulum, anguli BKC, c AD aequales sunt. Semi ius igitur anguli CAD, i. e. RAD, sive illi aequalis G AB, semissi anguli AK C aequalis. Sed GAB, GKB inter aequales. Ergo G K B anguli Bκ C semissis est. Ergo arcus o B arcus B ac semissis. Arcus igitur GH, GC aequales. Di ameter igitur a K rectam B C mediam dividit, et ad rectos secat. Angulus vero G AK rectus est, propter semicirculum. Triangula igitur GAR, G H E, quae angulos G ΑΚ, G H E rectos habent, et angulum ad G communem, similia sunt. Ac proinde rectangula EGNGA, RO AGRinter se aes ualia sunt. Sed propter circuli segmentum BGC specie datum, recta B c tam ad circuli diametrum GK, quam ad segmenti B AC altitudinem GH, rationem ' I. et 4. datam habet Rectae autem A E ad B c ratio data est . 1 ἡ 'hων. Recta igitur A E tam ad G Κ, quam ad G H rationem ε g. dai. hRbet datam η. Data igitur est ratio quadrati ex E A MκGκGH, sive illi aequale EGκGA. Ac proinde re- ρ. hujus. ctarum G A, E A inter se ratio data est . Data autem ratio E A ad G Κ. Ratio igitur G A ad G κ data. Angulus autem GAK rectus est. Triangulum igitur GAC 3. dat. specie datum . Angulus igitur A G κ datus. Deducta igitur A L ad perpendiculum in hasn BC, angulus
E A L datus. Datus autem E A C, dati nempe D A C semissis. Datus igitur L AC. Datus vero C A B f. Datus igitur L A B. In triangulo igitur A L B rectangulo ad
L, dato acutorum altero LA B, rcliquus acutus A B L,
i. e. A B C datus. In triangulo igitur A B C, angulis duobus
114쪽
, ADDITA MENTUM LIBRI DATORUM.
duobus C AB, ABC datis, dabitur reliquus A CB, et triangulum specie datum est . Q. E. D. PROP. XII. Si trianguli angulus ad verticem detur, et recta a vertice ad basen in dato angulo deducta, hasn in data ratione secet; triangulum Decie datum es.
Trianguli ABC angulus ad verticem BAC detur. Et a vertice A recta A D ad hasn in dato aliquo angulo A D C dedu-Catur. Segmentorum autem baseos C D, D B ratio detur. Dico triangulum B AC specie datum. Circumscribatur enim circulus, Cujus centrum esto B. Juncta A Rproducatur, donec circulo iterum in F Occurrat. Propter angulum BAC datum, circuli segmentum C A B specie 4atum est. Ac proinde ratio B C ad A Pdatai. Et cum recta B C, segmentum auserens speciet datum, in data ratione in D secetur, et a puncto D recta A D ad peripheriam educta sit in angulo A D C dato; ratio A D ad A P data est . Data igitur est ratio AD ad BC'. Sed propter rationem B D ad D C datam, com-t ponendo, ratio B C ad C D data est. Data igitur est ratio A D ad D C Angulus Rutem A D C datus v. Tri- .angulum igitur A D C specie datum P. Angulus igitur,
A CD, i. e. A CB, datus. Datus autem C ABq. Ergo et
reliquus trianguli A CB angulus, ABC, datus eri; et triangulum specie datum '. G. E. D. q
Si trianguli angulus ad verticem detur, circuli autem circumscripti diameter, per verticem trianguli ducta, datum angulum cum bas faciat; triangulum specie datum est. Triangulum BAC, cujus angulus ad verticem BACdatus, circulus B A C P circumscribat. Et per centrum circuli A ducta A R, quae basi in D occurrat, ponatur angulus A D C datus. Dico triangulum C AB specie datum esse. Medius enim dividatur arcus B C in o. Et juncta E a rectae B C in II occurrat. Producatur Il a AD,
4o. dat. I. hujus. Cor. I. . hujus. 8. clat. ex hyp. t. dat. o. dat.
115쪽
χω ADDITAMENTUM LIBRI DATORUM. AD, donec Peripheriae CGB occurrat. Occursus esto P. Angulus B H D rectus est. Dato igitur A D C, i. e. E D H, dabitur H E D seu G E P. Arcus igitur Def. a. GP specie datus . Specie vero huju . datus arcus B G. Erso B F spe- C cie datus . Angulus igitur B A F, a muJu ' ' Η Λ D, datus. Datus autem' ex hyp. n D A Datus igitur A B D. Sed B A C datus . Datus igitur A C B, ' M. Qit. et triangulum ABC specie datum'.
Si trianguli angulus ad verticem detur, et circulo circumscripto, fementum diametri inter verticem et bota, rasionem ad basin datam habeas; triangulum specie datum
Triangulum A B C, cujus angulus ad verticem B A Cdatus, circulus B A C F circumscri hat; cujus diameter, A F, Per Aducta, has B C in D occurrat; et ponatur ratio AD ad B C data. Dico triangulum B A C specie datum. Esto A circuli B A C F centrum. Ab E in B C ad perpendiculum deducatur E G, et E B jungatur. Propter angulum B A Cdatum, circuli segmentum B A C r. hujus, specie datum est. Data igitur est ratio B o ad AP .ν e hyp Sed ratio a C ad A D data ν. Ratio igitur A P ad A D 8. dat. data φ. Convertendo ratio A p ad P D data. Ac proinde ratio fi A F, i. e. E F, ad F D data. Convertendo ratior E ad E D data. Sed propter segmentum B A C specie 3. huius. datum, angulus E B G datus est . Angulus autem Q. d x. R G B rectus. Triangulum igitur B E G specie datum v. Ratio igitur A B ad A a data, id est, ratio P E ad E cidata. Ac proinde, propter datam quoque rectarum E F, E D rationem, ratio E D ad E G data est . Angulus autem E G D rectus. Triangulum igitur E D G specie α ι3. dat. datum R. Angulus igitur R D G, r. e. A D C datus. ΤΗ- Per p e. angulum igitur A B C specie datum est M. Q. E. D.
116쪽
Si trianguli angulus ad verticem detur, et recti a vertice ad basn in dato angulo deducta, si quadratum ex de ductJ ad reetangulum sub baseus segmentis rationem δε- tam habeat; triangulum specie datum es. In triangulo ABC, qui angulum ad verticem BACdatum habeat, deducaturA D ad basin in angulo
A D B dato e et ponatur ratio quadrati ex A D ad B D N D C data. Dico triangulum ABC specie datum esse. Circumscribatur enim circulus, a Cujus centro P in B C, A D ad perpendiculum deducantur F G, P H. Recta autem AD circulo iterum in EOCCurrat. Propter rationem quadrati ex AD ad BD κ DC
datam; ratio quadrati ex AD ad A D κ D A data est', id est, ratio A D ad DE data. Data igitur ratio AD ad A E 4, ac proinde ad Φ A E, si ve ad N A. Dividendo, ratio DA adH A data. Datus angulus ad D vel rectus est, vel non. Non sit primo rectus. Rectae igitur pH, Ca sibi mutuo
occurrent. Occursus esto K. Et A K jungatur. Propter angulos ad G, H rectos, angulus K P o angulo Κ D Haequalis est. Datus autem Κ D H . Datus igitur K PG. Angulus autem ad G rectus. Triangulum igitur ΚPo specie datum . Ratio igitur K G ad G p data. Jungatur F B. Propter angulum BAC datum, Circuli segmentum B AC specie datum est. Angulus igitur P B G datus s. Triangu-sulum igitur BPG, ad G rectangulum, specie datum est. Ergo ratio P G ad GA data. Sed ostensa est ratio RG ad G pdata. Data igitur est ratio κ G ad G B V, sive illi aequalem
GC. Quare componendo, ratio Κ C ad C G, ac proinde ad a C o, sive C B, data. Et convertendo, ratio Κ C ad K B data. Sed propter angulum Κ D H datum, et angulum ad II rectuin, triangulum Κ H D specie datum est . Ratio igitur K A ad H D data. Data autem est ratio D H ad A A, Per ea quae supra ostensa sunt. Ratio igitur K H ad H A data'. Angulus autem KHA rectus.
Triangulum igitur K A H specie datum Ansulus
35. tertit,t 7. quinti. 6. dat. ex hyp. o. dat. 3. hujus.
117쪽
igitur AK H datus. Sed propter triangulum II K D spe Cie datum, angulus II K D datus est. Datus igitur est angulus A K D, ex datis scilicet compositus. Circulo igitur B A C recta B C inscripta est, quae segmentum B A C abscindit specie datum; et in rem B C sumptum est punctum K, quod facit segmenta KC, ΚΒ in ration data; et a puncto K recta K A ad circulum educta est inanεulo A K D dato. Rectae igitur Κ Α, Κ C arcus intercipient specie datos . Arcus igitur A C specie datus est. Angulus igitur A A C datus . Datus autem BAC . Reliquus igitur A C B datus, et triangulum A B C speci datum est Q. E. D.
Jam vero angulus ADB rectus sit. In hoc casu rectae P H, G D paralleludi sunt. Jungantur B F, F E. Ostendetur, ut prius, ratio D H ad H A, sive H E, data. Ipsi autem H D se qualis est v G. Ratio igitur P Gad M E data. Sed propter triangulum B F G specie datum, ration P ad P G data. Data igitur ostratio II E ad B p φ, sive E P. Et angulus E H P rectus. Triangulum igitur E H P specie datum est P. Angulus igitur H EF datus. Ergo angulus GFR m H E Pὶ datus. Datus autem B P G. Ergo B P E datus, ac proinde B A E datus, id est, angulus B A D datus. Remis autem ad D. Datus igitur A B D, sive A B C. Datus autem B A C N. Reliquus igitur L C B datus, et
triangulum specie datum'. O. E. D.
Dum recto spatium datum in angulo dato eontinentes, scarum altera, data quadam aucta vel imminuta, ad alteram, eadem vel alia data auctam vel imminutam, . tam rationem babeas, magnitudine ulrique dati Jhnt.
CAS. I. Rectis, quae datum spatium continent, data utrisque auctis.
Rectae A B, B C datum spatium comprehendant in angulo
118쪽
ADDITA MENTUM LIBRI DATORUM. Ariangulo dato. Rectangulum igitur A B κ B C datum q. ' Lemma Bectae autem A B adjiciatur data A D, et rectae A c vel 3-' - - aequalis, vel alia data C E. B D autem ad B E datam rationem habeat. Dico A B, B C magnitudine singulatim datas. Cum enim rectis D B, B E, quae datam inter se rationem habent , datae auferantur AD, CE , reliqua hyp. A B ad reliquam B C, vel datam rationem habebit, vel 'altera alteri major erit, data, quam in ratione . Reia' Is. t. Elangulo igitur Α Β κ B C dato, rectae A B, B C magnitudine singulatim datae . O. E. D. xss. et 8
CAS. 2. Rectis, quae datum spatium continent, utrinque data imminutis. Rectis A B, B C spatium datum in dato angulo continentibus auferantur datae A D, E C. D B vero ad B Edatam rationem habeat. Dico A B, B C magnitudine
singulatim datas. Cum enim duabus D B, B E, quae datam inter se rationem habent, adjiciantur datae A D, E C ; tota A B ad totam B C, vel datam rationem habebit, vel altera altera major erit, data, quam in ratione R. v I . dat. Rectangulum autem A B κ BC, ut in casu priori, datum'.
Datae igitur A B, B C, ut in casu priori . G. E. D. CAS. 3. Quando altera ex rectis, quae datum spatium continent, data quadam augetur, altera earundem data imminuitur. Rediis AB, BC spatium datum in angulo dato continentibus, alteri earum A B adjectam puta datam A D, alteri vero B C puta datam C E ablatam. Rectarum
vero D B, B E ratio detur. Dico A B, B C magnitudine utrasque datas. Cum enim rectae D B, B R datam inter se rationem habeant, alteri autem B E addita sit data E c, alteri D B data A D ablata; tota B C reliqua A Bmajor erit, data, quam in ratione . Rectangulum autem a6. dat. A B κ B C, ut in casu primo, datum '. Rectae igitur A B, B o magnitudine utraequae datae sunt r. y 8 dat.
119쪽
Duo rectis spatium datum in angulo dato eontinentes, si datis ablatis relinqvant aliquas in ratione data, magnitudine utrinque dat sunt. Datis duabus A B, A C auferantur A D, A E, quae datum spatium in angulo dato continent. Si reliquae B D, E C datam inter se rationem habent, dico A D, A EB D A E Cmagnitudine utrasque dari. Cum enim datis duabus A B, A C ablatae sint B D, E C, quae datam inter se rationem habent, reliqua A D ad reliquam A Ε, vel datam rationem habebit, vel altera altera major erit, data, quam in ratione φ. Spatio autem dato, quod in angulo
dato rectae A D, A E Continent, rectangulum A D N A Rdatum . Rectae igitur AD, A E magnitudine sunt utraeque datae Q. E. D.
Duo rectis Datium datum in angulo dato continentes, salterius earum et da in cui dam summa ad duarum summam datam rationem habeat, magnitudine utrinque
dat funt. Rectae duae Λ B, B C spatium datum contineant in angulo dato. Alteri A B data A D adjiciatur, et data
intelligatur ratio D B ad AC. Dico A B, B c magnitudine utrasque datas. Dato spatio, quod rectae A B, B C in dato angulo continent, rectangulum etiam A BR B C datum . Capiatur A G, ad quam data A D datam illam rationem habeat, quam D B ad A C. Recta igitur Λ o magnitudine data'. Datae autem A G, vel aequalis cerit B C, vel inaequalis. CAs. I. Si aequales sint A G, Bd, Propter datam A Gmagnitudine, dabitur etiam B C magnitudine. Datoque etiam rectangulo A B N B C, data erit ABq. Duae igitur AB, B c in hoc casu magnitudine utraeque datae.
120쪽
CA s. a. Sed inaequales sint AG, B C, et major primum sit A ci. Ipsi AG aequalis capiatur CH. Iam cum D B sit ad A C, ut A D ad A G, vel C H, erit A B ad
AD ad D G. Rectangulum igitur AB A BC ad rectangulum B H κ B C datam illam rationem habet, quam data A D ad datam D G. CAS. 3. Inaequalium autem A G, BC si minor fit Aci, sumpta C H, ut prius, ipsi A G aequali, cum sit D B ad A C, ut A D ad AG, vel C H I rursum erit A B ad A Π, ut
A D ad A G. Invertendo, AH ad A B, ut A G ad A D. Dividendo A B ad B A, ut o D ad D A. Atque rursum invertendo A B ad B H, ut A D ad D G. Quare rectan gulum A B A B C ad rectangulum B H κ B C datam illam rationem habet, quam data A D ad datam D G. In casu igitur utroque, rectanguli A B N B C ad rectangulum B H A B C ratio data. Rectangulum autem A B κ B C magnitudine datum. Quare magnitudine etiam datum rectangulum B H κ Be . Cujus laterum s a. dati B H, B C in casu secundo summa C H, in hoc tertio differentia C H, data. Latus igitur utrumque B H, a Ciatumh. Data autem B C, data quoque AB Pr Pter v cor. a. . A B κ B C datum . O. E. D. 59. dat.
PROP. XIX. Postis, ut prius, duabus rectis, quin datum spatium in dato
angulo contineant; si alterius earum et datin cujusdam jumma ad duarum disterentiam rationem datam babeat, magni udine uιrinque dat unt. Duae rectae A B, B C datum spatium contineant in angulo dato. Rectangulum igitur AB N E C, ut in superioribus, magnitudine datum. Duarum A B, B C alteri A B adjiciatur data quaedam A D. Duarum autem