장음표시 사용
81쪽
ἱLXXVI. aliquam rationem datam habeat, ratio C A ad eandem data erit . Ergo ut C B ad F G, ita est E F ad eam, ad quam recta A C habet rationem datam. O. E. D.
Si duo triangula ad invicem habeant rationem datam, aue in angulis inqualibus, aut inrequalibus quidem, sed tamendatis; erit ut primi latus ad secundi latus, ita alterum fecundi Ialus ad eam rectam, ad quam reliquum primilatus rationem datam habet. si sit duo triangula A B C, D E P, quae ad invicem habeant rationem datam ; sintque anguli ad puncta A, Daequales, aut inaequales quidem, sed tamen dati: dico ut A ii ad D E ita esse DF ad eam, ad quam recta A C habet rationem datam. Compleantur enim parallelogramma A G, D H. Et quoniam ratio trianguli A B C ad triangulum D E P data
est: igitur parallelogrammi A G ad parallelogrammum D A ratio est data . Quoniam igitur duo sunt parallelogramma habentia ad invicem rationem datam, aut in angulis aequalibus, aut inaequalibus quidem, sed tamendatis: est igitur ut AB ad D E, ita D P ad eam, ad quam recta A C habet rationem datam . G. E. D. PROP. LXXVI. Si a trianguli specie dati vertice recta perpendietiliaris agatur ad basin; acta recta habebit ad basem rationZm
Sit triangulum A B C specie datum, et Egatur a Puncto A in basim B C perpendicularis A D r clico rationem ipsius A D ad B c datam esse Quoniam Dissi tred by Cooste
82쪽
Quoniam enim datur triangulum A B C specie; angulus igitur A B D datus est . Angulus autem B D A datus est : quare et reliquus B A Ddatus est v : ergo triangulum ABD specie datum est': quare ratio ipsus B A ad A D data est . Est autem et ratio ipsius A B ad B C data'. Igitur ratio ipsius A D ad B C data est'. O. E. D.
Cor. Si a vertice trianguli specie dati recta in hasta deducatur in angulo dato, deducta ad basin rationem datam habebit. PROP. LXXVII. LXXm. Si dui figurae specie datis ad invicem babeant rationem datam; quoLibet etiam latus unius harum Igurarum ad quodlibet latus alterius rationem datam habebit. Ipsa est Propositio liv. quam vide. PROP. LXXVIII. LXXVIII.ὶ Si data ilatira habeor ad aliquod rectangulum rationem datam, atque babeat etiam unum latus ad unum latus rationem Liam ; rectangulum ipsum specie datum es. Patet ex Prop. I xii. cujus est pars.
Si triangulum habeat angulum datum, recta autem a dato angulo in latus Oppostum ad perpen motitum deducta ad latus illud oppositim datam rationem habeat, triangulum
Trianguli A B C angulus BAC detur. Et ab A in latus oppositum B C ad perpendiculum deducta A D habeat ad BC rationem datam. Dico triangulum BAC specie datum esse. Propter angulum BACdatum, spatium quo quadra
83쪽
67. dat. tionena habet . Sit spatium illud E. Spatium igitur
v ad triangulum A B C Tationem habet datam. Sed propter datam rationem rectaen C ad rectam A D ratio quadrati cx B C ad rectangulum I. sexti. B C X A D data est . Trianguli autem B A C ad rectangulum B C A A D ratio I. primi. data Quadrati igitur ex ' 8- d t. B C ad triangulum Anc ratio data, . Spatii igitur si ad quadratum ex B C ratio data h. Spatii igitur ex spatio Eet quadrato ex B C. Compositi ad quadratum ex B C ratio data . Spatium autem ex spatio E et quadrato ex BC Compositum aequale eit quadrato ex B A C in unam rectam extensa. Quadrati igitur ex B A C ad quadratum ex B Cratio data. Reetae igitur B A C ad rectam B C ratio datat. Cum vero triangulum B A C angulum ad A datum habeat, latera vero, quae datum angulum comprehendunt, simul sumpta, ad reliquum latus rationem ha- 45 d x beant datam; triangulum specie datum est . Q. E. D.
Si triangulum unum angulum datum babuerit; quodque fuδlateribus darum angulum comprehendentibus continetur
rectangulum, habeat ad quadratum reliqui lateris rationem datam r triangulum ipsum specie datum es. Sit triangulum ABC datum angulum habens ad A ;quod autem sub B A, A C continetur ad quadratum redimu C habeat rationem datam : dico triangulum ABC specie datum esse. Ab A in latus B C ad perpendiculum deducatur A D. Propter angulum BAC datum, data est ratio trianguli B A C ad rectan- 66. dat. gulum BA X AC'. Rectanguli igitur B C A A D, quod duplum est trianguli, ad rectangulum B A A A Cratio data. Ratio autem rectanguli' ex hyp. BA N AC ad quadratum ex B C data'. Quare et rectanguli B C κ A D ad ν 8. dat. quadratum ex B C ratio data p. Sed rectangulum B C A A D ad quadratum ex B C rationem' a. sexti. habet, quam A D ad B C Rectar igitur a D ad rectam ν B a Diuitiam by Corale
84쪽
B C ratio data. Triangulum igitur B A C, in quo angulus ad A datus, recta autem ab A in latus oppositum B C ad perpendiculum deducta ad ipsum latus B C rationem datam habet, specie datum est Q. E. D.
Si sint tres rectast proportionales, aliique tres proportio natis ; priorum autem extr in ad extremas posteriorum da as habesant rationes squamvis non easdemὶ : mediis quoque habebunt rationem datam. Et si extrema ad extremam, et media ad mediam, habeat rationem datam; et reliqua extrema ad reliquam extremam rationem datam habebat. Tres enim rectae A, B, C proportionales, tribus rectis Proportionalibus D, E, F extremas habeant in ratione
data; sit nempe ratio ipsius A quidem ad D data, ipsius autem C ad F ratio data: dico ipsius quoque B ad E rationem esse datam. Quoniam enim ipsius A ad D, ipsiusque C ad F ratio est data: isitur ratio ejuS, quod continetur sub A, C, ad id, quod continetur sub D, F, data est '. Sed ei, quod continetur sub A, C, aequale est quadratum rectae B ; atque ei, quod sub D, P, aequale est quadratum rectae E. Ergo ratio quadrati rectae B ad quadratum rectae E data est : ideoque ratio rectaen ad rectam E data est R. A B C D E. F
Sit vero rursus ratio ipsius A ad D, ipsiusque B ad Ddata : dico ipsius quoque C ad P rationem datam esse. Quoniam enim ratio ipsius B ad E data ost; ratio igitur quadrati rectae B ad quadratum rectae E data est . Sed quadrato rectae B aequale est id, quod continetur sub A, C '; et quadrato rectae B aequale cst id, quod continetur sub D, P. Igitur ratio eius, quod continetur sub A, C, ad id, quod continetur sub D, P, datapst. Ratio autem unius lateris A ad unum latus D data
o. dat. I . sexti. 5 . dat. so. dati
85쪽
EUCLIDIS DATA.ν ex hup. estr: quare et ratio reliqui lateris o ad reliquum latus 1 68. dat. F data est . Q. E. D.
Si quamor Nes.s proportionales fuerint; erit ut prima ad eam, ad quam fecunda rationem habet datam, ita tertia ad eam, ad quam quarta rationem habet datam. sint quatuor rectar proportionales A, B, C, D, sitquGut A ad B, ita C ad D : dico ut A ad eam, ad quam B rationem habet datam, ita esse C ad eam, ad quam D rationem datam habet. Sit enim R ea, ad quam B rationem habet datam; fiatque ut B ad B, ita Da i a. sexti. ad PR. Est autem ratio ipsius B ad Rh ex hyp. data': ergo et ratio ipsius D ad P data est. Et quoniam est ut A ad B, ita Cad D, et est etiam ut B ad Ε, ita D ad η Per eon- F φ: erit igitur ex aequo ut A ad B, ita struct. o ad pH. Et est R quidem ea, ad quam qu 0xi a rationem habet datam h; atque Pea, ad quam D rationem habet datam. Quare ut A ad eam, ad quam B rationem habet datam, ita est C ad eam, ad quam D rationem habet datam. Q. E. D.
LXXXIII.I PROP. LXXXIII. Si quatuor recti ita ad invicem se habeant, ut tribus ex iis quibuscunque sumptis, et quarta ipsis utcunque accepta ad quam reliqua e quatuor rectis rationem. habet
datam, proportionales snt quatuor recti; erit ut quarta ad tertiam, ita secun ad eam, ad quam prima habet rationem datam.
Sint quatuor rectae A, B, C, D, ita se habentes ad invicem, ut tribus ex iis quibuscunque sumptis A, B, C, et quarta ipsis utcunque accepta, quae sit E, ad quam D rationem habet datam, proportionales sint rectae A, B, C, E: dico ut D ad C, ita ene B ad eam, ad quam A habet rationem datam.
η ex hyp. Quoniam enim est ut A ad B, ita C ad E '; igitur quod continetur sub A, E aequale est ei, quod continetur sub
86쪽
R C . Quoniam vero ratio ipsius igitur ratio ejus, quod continetur sub A, D, ad id, quod continetur sub A, E, data est'. Quod autem continetur sub A, B aequale est contento sub B, C : quare et ratio ejus, quod continetur sub A, D, ad id, quod continetur sub B, C, data est. Ergo ut D ad C, ita est B ad eam, ad quam A habet rationem datam O. E. D. E ad D data esto:
Cor. ' Si quatuor sint rectae lineae, rectangulum Vero sub prima et quarta ad rectangulum sub secunda et tertia habeat rationem datam ; erit quarta ad tertiam, ut secunda ad aliam, ad quam prima habet rationem datam.
Si duo rectis datum spatium comprehendans in angulo dato, rectangulum eisdem comprebensum datum est. Rectae A B, AC datum spatium parallelogrammi BACA comprehendant in angulon A C dato. Dico rectangulum B A A A C dari. Nam ab A in latus oppositum Parallelogrammi A E ad perpendiculum deducatur A D. Et parallelogrammum A Fcompleatur: quod ipsi A E aequale erit . Rectangulum 3s .primi. igitur A P magnitudine datum. Sed propter angulum C A B datum', rectumque D A B, datus est C A D. DatuSy ex hyp. autem A C D, dato C A B aequalis; et angulus ad D rectus. Triangulum igitur ADC specie datum . Ratio igitur AD o. dat. ad A c data. Rectanguli igitur A D κ A B, id est, rectanguli A P, ad rectangulum A C N A B ratio data. Datum autem magnitudine rectangulum A P. Datum igitur A C κ A B. Q. E. D. Cor. . Eodem modo ostendetur, si duae rectae datum
spatium comprehendant in angulo dato, spatium, quod in alio dato angulo eaedem rectae comprehendunt, datum
87쪽
Si duae rei spatium datum comprehendan in angulo dato, sique altera altera maior, data, quam in ratione; etiam unaqὐεque ibarum data erit. Duae enim rectae AB, BC datum spatium A C comprehendant in angulo dato ABC; fitque o B ipsa n Amajor, data, quam in ratione : dico unamquamque rectarum A B, B C datam esse. Quoniam enim C n major est quam ipsa B A, data,
quam in ratione; sit linea data ipsa a p
D C : igitur reliqua D B ad A A aa- Γ- tam rationem habet . Compleatur parallelogrammum A D. Et quoniam ratio ipsius A B ad B D data est; L et angulus ABD datus est : idcirco R Dparallelogrammum A D specie datum est. Quoniam itaque datum spatium AC ad datam rectam DC si a- tum est, expedens data specie figura A D: latitata ies excessus A B, B D datae sunt . Sed et D C data . stiterio et tota B C data est'. Data autem est A n. Quare utraque rectarum A B, B C data usi. Q. E. D. Aliter. Duae rectae A A, B C datum spatium Comprehendant in angulo quodam dato. IIarum autem A B alterii B C major sit, data, quam in ratione. Dicta
utramque datam. Auferatur data illa, quae sit A D. Reliquae igitur B D ad B C ratio data. Quare et rectan Iuli An κ B D ad rectangulum A u κ B C ratio data. ed cum spatium rectis A B, B C in angulo quodam dato comprehensum datum sit; idcirco rectangulum A A κ u C datum '. Rectangulum igitur AB A B Ddatum P. Media dividatur data A D in Ε. Datae igitur dimidia A v, vel E D, data. Quadratum igitur ex data
R D datum. Datis autem quadrato ex E D rectangulo-qUe A Η κ B D, eorum summa quadratum ex EB datum. Recta igitur E R data. Datarum igitur A E, A B summa A B, et datarum E Ii, R D disterentia D n data. Ratio autona D A ad B C data '. Data igitur et B CP. Utraque
igitur Λ B, B C data. Q. E. D. PROP.
88쪽
sLXXXV.JPROP. LXXXV. Si duo rectas datum spatium comprehendant in angulo
dato, duarum autem una cum alia quadam, ad quam altera datam rationem habeat, data st; earum etiam Nnagriaeque data erit. Duae enim rectae A B, B C datum spatium A C comprehendant in angulo dato A B C : harum autem una CB cum alia quadam, ad quam altera duarum AB datam rationem habeat, data sit: dico unamquamque rectarum A B, B C datam esse.
Producatur enim C B, et in producta sumatur D Baequalis illi. ad quam AB datam rationem habet. Tota igitur C D data'. Per punctum D ipsi B Aparallela agatur D E, Compleaturque A D . Quoniam Igitur rutio ipsius D B adu A data, atque datus est angulus A B D ; nam qui est ipsi deinceps datus est' ; parallelogrammum igitur E B specie datum est. Quoniam itaque ad datam rectam D C datum spatium A c applicatum est, deficiens data specie sgura E B : igitur latitudines defectus datae sunt :r fg. dati quare rectae AB, B D datae sunt. At vero D C data est . Unaquaeque igitur rectarum A B, BC data est . Q. E. D. s
Aliter. Duae rectae A B, B C datum spatium comprehendant in angulo quodam dato. Harum autem una A B Cum alia quadam ad quam altera B C datam
rationem habeat, data sit. Dico utramque datam. Rectae enim A B adjiciatur B D aequalis illi, ad quam BC datam rationem habet. Tota igitur A D data. Sed propter rationem rectae B D ad B C datam, rectanguli quoque
ΛΒ κ B D ad rectangulum A B κ BC ratio Gata. Datum autem rectangulum AB N B C, ut in praecedente. Rectangulum igitur A B κ n D datum. Media dividatur data A D in A. Datae igitur dimidia E A, vel E D, data, et quadratum ex data E D datum. Datis autem quadrato ex E D, rectanguloque A B X B D, data est eorum differentia; Disiligod by Corale
89쪽
EUCLIDIS DATA.disserentia; hoc est, quadratum ex E B datum. Recta igitur E B data. Datarum igitur Α E, E B summa A B, et datarum E D, E B disserentia B D, data. Ratio autem B D ad B C data. Data igitur et B C. Utraque igitur A B et B C data. O. E. D.
Quae in libris antehac editis quartae et quintae ab octogesima propositiones locum occuparunt, duarum quae a nobis positae sunt, vel restitutae potius, generalium, quas Euclidis veras et integras fui sse nobis persuasissimum est, casum utriusque singularem tantum in se quaeue habet, et maxime obvium: quando scilicet ratio ala aequalium est. Has autem, quamquam in generalibus nostris contineantur, speciatim quoque in Cor. 2. Prop. 50. enunciatas dedimus, utpote quarum veritas ex propositione Illa cum proxime praecedente satis elucescit. 2LXXXVN.J PROP. LXXXVI. Si duae reetis datum datium comprehendant in angulo dato, possit atitem altera altera majus, dato; et earum utraquedala erit. Duae enim rectae A B, B C datum spatium A C comprehendant in angulo dato A B C ; quadratum autem rectae AB quadrato rectae AC majus sit, dato: dico utramque ipsarum A B, B C datam esse. Quoni ira enim quadratum rectae A B quadrato rectae B C majus est, dato; auferatur datum, sitque id, quod continetur sub AB, B D; ergo reliquum, quod sc. Continetur sub B A, A D, aequale est quadrato
a. seeundi. rectae BCh. Quoniam vero id,
quod continetur sub AB, B C, necnon id, quod continetur sub AB, B D, datum est :ratio igitur ejus, quod continetur sub A B, B D, ad id, , t. dM. quod continetur sub AB, B C, data est . Atqui ut rectangulum sub AB, B D ad rectangulum sub AB, B c, ita est D B ad B C : ergo datur ratio rectae D B ad rectam L C; adeoque ratio quadrati rectae D B ad qu 'λ ἡό. dratum rectae BC data est . Quadrato autem reclinatus' es i. B C aequale est rectangulum sub B A, A D l: igitur ratio
90쪽
rectanguli sub BA, A D ad quadratum rector D B data est: ideoque et ratio ejus, quod quater continetur sub BA, AD,
ad quadratum rectae D H data est : quare et componendo 8. dati ratio Hus, quod quater continetur sub B A, AD, una Cum quadrato rectar D B ad quadratum rectae D B data est l. 6. dat.
Sed id, quod quater continetur sub B A, AD , una Cum quadrato rectar D B cst quadratum utriusque smul B A, A DR: igitur ratio quadrati utriusque simul BA, A D ad .secundi. quadratum rectae D B data est : quare et ratio utriusque timul B A, A D ad D B data est'. Atque componendo' 5 . dat. ratio utriusque simul B A, A D et ipsius B D, hoc est, duplae A B ad B D data est ' : ergo et ratio A B ad B D data' 6. dat. est. At vero ratio D B ad B C data est: ergo et ratio ipsus A B ad B C data est Sed datus est angulus A B C. ν 8. data Parallelogrammum igitur A C specie datum. Sed et magnitudine Latera igitur A B, B C data sunt magni- q ex hyp. tudine . Q. E. D. 55. dat.
Si dui recti datum spatium comprobendant in angulo dato, pqssit autem altera altera majus, dato, quam in ratione; et ut apis Usarum data erit. Duce enim rectae A B, B C datum spatium A C comprehendant in angulo dato A B C ; quadratum autem rectae B C quadrato rectae A B majus sit, dato, quam in ratione: dico utramque rectarum A B, B C datam esse. Quoniam enim quadratum rectae C B quadrato rectaen A majus est, dato, quam in ratione; auferatur datum, sitque id, quod continetur sub C B, B D r ergo ratio re- Iiqui, quod nempe continetur sub B C, C D, ad quadratum rectae A B data est . Quoniam vero datum est id, quod continetur sub A B, B C, atque etiam illud, quod continetur sub CB, BD, datum: ratio igitur ejus, quod continetur sub AB, BC, ad id, quod continetur sub C B, B D data est'. Ut
autem id, quod continetur sub AB, BC, ad id, quod continetur sub C in B D, ita est A B ad B D : quare ratio ' x. sexti. rectae A B ad rectam B D data est: ideoque ratio quadrati rectae Α B ad quadratum rectar n D data est y. y so. dat. Datur autem ratio ejus, quod continetur sub B C, C D, ad quadratum rectae Λ B : ergo et ratio ejus, quod continetur