장음표시 사용
131쪽
η as. dat. positione data est d. Sed semicirculus ACB positione' as. dat. elatus. Punctum igitur C datum . Data autem puncta A, B. Quare rectae B C, A C positione et magnitudine datae, et triangulum ACB datum. Q. E. I.
Media dividatur recta A B in puncto A. Centro E, intervallo E A describatur semicirculus ACB. Recta So. sexti. A B extrema et media ratione dividatur in puncto D f. A puncto D educatur D C ad perpendiculum rectae A B, quae semicirculo in C occurrat. Jundiis C A, C B, Problemati satisfactum fuerit. PROBL. II. Arithmet. Univ. XX. Per darum punctum rectam lineam ducere, qui cum duabus rectis positione datis triangulum comprehendat dati magnitudinis. Sit datum punctum D, et rectae duae positione datae sint A B, A C. Ducenda est recta per punctum D, quaa Cum duabus A B, A C triangulum Comprehendat dato
spatio squod dicatur s) aequale. Factum puta. Recta scilicet R D P per D ducta, rectis AB, A C in punctis E, F occurrens, triangulum E A Placiat aequale dato spatio s. Per punctum D ducantur D G, D H, ipsis A C, A B singulatim parallelae, quae pro-1 28. dat. inde positione datae sunt . occurrat autem D G irili A n in puncto o, et D u ipsi A C in puncto H. Puncta θ. dat. igitur G, II datah, rectarque A G, A H tam magnitudine, a6. sexti. quam positione datae Jungatur G F, et per punctum Educatur E I ipsi o F parallella, quae rectae A C in I oz-
132쪽
Propter rectas GP, AI parallelas basimque G F communem, aequalia erunt triangula GIF, GEF. Pandium autem D vel intra angulum HAC, vel eXtra eum erit. CAs. I. Sit primum intra. Et triangulo G Λ P additis aequalibus E G P, GIP, erunt tria gula E A F, G A I inter se aequalia. Triansulum autem E A F magnitudine datum . Quare et Mus requale G A I magnitudine datum. Recta autem A G masnitudine data, et ex hyp. angulus B AC datus. Quare trianguli G A I, magnitudine dati, latus alterum A I magnitudine datum R. Sed 57. dati et positione, punctumque A datum. Quare datum erit punctum I. Caeterum propter parallelaS G F, EI, erit Λ I ad I P, ut A E ad E G. Et propter parallelas G D, A P, erit A E ad E G, ut E P ad E D. Et rursum propter Parallelas A P, H D, erit E P ad E D, ut A P ad A H. Erit igitur AI ad I P, ut A P ad A H . Unde rectangulum y D. quinti. A F κ P I rectangulo I A N AH aequale. Datum autem magnitudine rectangulum I A X, A II, propter rectas I A, A II magnitudine singulatim datas. Re tangulum igitur Α P κ FI magnitudine datum. Recta autem A Imagnitudine et positione data. Datum igitur punctum
sitione data est. O. E. D. N '
Ad compositionem hujus casus necesse est rectangulum I A R A II majus non sit quadrato ex dimidia A I ;id est, cum quadratum ex dimidia subquadruplum sit
quadrati ex tota, necesse est recta A I minor non fit quadrupla A H. Juncta igitur G H, triangulum G A I, seu spatium datum s , non minus sit necesse est quam quadruplum trianguli G A II ', seu duplum ParallelΟ- n sexti. grammi A D.
Et revera triangulum, quod duplo parallelogrammi A D sequale sit, minimum esse omnium, fluae recta per Dei datis rectis AB, AC comprehendi possitiat, sic ostendimus. Recta E P aut in aequalia dividitur in puncto D, aut in inaequalia. Primum in aequalia divisa sit, ut P D, D E sint inter se aequales. Itaque propter parallelas D II, A B, erunt etiam F H, II A inter te aequales. Item propter parallelas D G, A C, inter se aequales A G, G E. Sed cum aequales sint P H, H A, et rectae A C, G D parallelae, triangulum D H F aequale crit triangulo
133쪽
33, pyimi G Α M p. Simili ratione cum aequales sint A G, G E, et rectae AB, H D parallelae, triangulum D GE eidem GA Haequale. Utrumque igitur triangulorum D H P, D G Etriangulo G AH aequale est. Quare duo simul duplo trianguli G A H, i. e. parallelogrammo A D sunt aequalia. Duo igitur triangula D H P, DGE, cum parallelogrammo A D, ipsius parallelogrammi duplo sunt aequalia. Sed duo triangula D H P, DGE cum parallelogrammo A Dtriangulum ipsum E A F consciunt. In hoc igitur casu triangulum E A P duplo parallelogrammi A D est aequale. Jam vero punctum D rectam E P in inaequalia dividat, scilicet ut inaequales sint P D, DE. Dico in hoc casu triangulum E A P duplo parallelogrammi A D majus esse. Propter parallelas enim D H, AB, necnon D G, AC; cum inaequales sint PD, DE, erunt etiam F H, H A, necnon A G, G E inaequales. Nimirum cum sit P D ad D E, Ut F H ad II A, necnon ut A G ad G E ; id enim in analysi ostensum. Triangulo igitur GAH duorum D H F, D G E neutrum est aequale, neque duo illa inter se aequalia. Triangulum autem D H P ad G A H ratios τε se xi neni habet, quam recta P H ad recham HA'. Et triangulum G AH ad D GE rationem habet quam A G ad G E. Quare cum A G sit ad G E, ut F H ad HA
sic enim ostensum in analysὶ triangulum D H P ad
GAH candem habet rationem, quam G A H ad D G E. Τrium igitur DH F, G AH, DGE continua est analogia. Et cum tria, quorum continua est analogia, sunt inaequalia; extremorum alterum maximum, alterum minimum erit. Quapropter extrema DHF, E G D, simul
quinti iunipta, medii ci AH duplo sunt majora . Duo igitur triangula D H F, D G E simul sumpta parallelogrammo Λ D 1unt majora. Et duo illa cum parallelogrammo
134쪽
PROBLEMATUM DELECTUS. II sA D, hoc est, triangulum E A P, duplo A D maius. Q. E. D.
Rectis A B, AC positione datis, punctoque D intra angulum B A C dato, dato etiam spatio S; per punctum D ducenda est recta, quae cum rectis A B, A C triangulum comprehendat dato spatio S aequale. Per D ducantur rectae D G, D H, ipsis AC, AB parallelae. Si spatium datum s minus sit duplo parallelogrammi A D, Problema est impossibile. Minus igitur non sit. Aut aequale igitur, aut majus. Si aequale si datum spatium s duplo parallelogrammi A D, componitur problema modo peculiari. Sumatur nempe in A C rectari P ipsi A H aequalis. Juncta P D, rectae A B Producta in E occurrat. Recta E D P problemati satisfacit; triari-gulum enim EA P, quod recta illa P R cum positione datis A B, A C comprehendit, duplum est parallelogrammi A D, ac proinde dato spatio A aequale. Sed majus sit spatium s duplo parallelogrammi A D. viii. sAd rectam A G in angulo G A C applicetur Parallelo- Pag. i 8. graminum GAI Κ, quod duplo spatii s tequale sit. Latus alterum applicati A I in rectam A C necessario incidet. Ad datam A I applicetur rectangulam ipsi I A κAM aequale, quod quadrato deficiat . Latitudo ejus, , is sitii. ruo deficit applicatum, sit I P. Jurigatur F D, quas Pro-ucta occurret rectae A B. Occurrat in pulicto E. Recta E D P problemati in hoc casu satisfacit. Triangulum enim E A P recta E P per D, datisque A B, A Ccomprehensum dato spatio aequale est. 3 4 CAS Diuili od by Cooste
135쪽
PROBLEMATUM DELECTUS.CA s. a. Sed extra angulum B A C sit datum punctum D. Triangulo G AP ablatis aequalibus GEF, GIF, relinquentur E A P, G A I, intor is aequalia. Triangulum igitur G A I magnitudine datum. Unde punctum I, ut in casu priori, datum. Rectangula autem AP A FI, I A A A H , ut in casu priori, Ostenciuntur inter se aequalia Rectangulum igitur A p κ P I magnitudine datum. Et recta A I magnitudine et positione data. Punctum igi- Cor.' 59. tur P datum . Datum autem punctum D. Recta igi-φ' tur P D positione data. Q. E. D.
Per punctum datum D ducantur rectae D H, D G Positione datis AB, A C parallelae. Ad rectam A G, in ipso angulo G A C applicetur parallelogrammum GAI K, quod duplo spatii s aequale sit. Latus alterum applicati A I in rectam A c necessario incidet. Ad rectam A I applicetur rectangulum ipsi I A A A H aequale, quod a9. sexti. quadrato excedat . Latitudo ejus, quo excedit applicatum, sit I p. Juncta P D problemati satisfacit. Ο - curret enim datae Α B. occurrat in E. Triangulum E A P, recta per D cum rectis positione datis AB, AC comprehensum, dato spatio s aequale est. Q. E. F.
In utroque casu, junctis GI, EI, GP, propter rectangula ΑFAPI, IAN AH aequalia, erit P Α ad A H ut I A ad I P. Sed FA: AH m PE: ED; propter rectas D H, Ex con- A B parallelas . ra PE: ED m AE: EG; propter rectas' ' DG, Ac parallelas . Quare I A : I Fm A E : EGL Rectae, E ' igitur G P, E I, inter se sunt Parallelae φ, ac proinde trian - 39. primi. gula GEF, G IF inter se aequalia '. Triangulo autem GA P aequalibus illis G RP, G I F in casu primo additis, in secundo demptis, sient triangula B a F, G A I inter se aequalia.
136쪽
aequalia. Trianguli autem G A I duplum est parallelogrammum A K . Spatii autem dati s idem parallelogrammum duplum μ. Triangulum igitur G A I spatio S aequale est. Triangulum igitur E A F, quod aequale est illi G A I, spatio S aequale. PROBL. III. Arithmet. Univ. xxii. Tribus trianguli rectilinearis lateribus postione datis, rectam ducere, cujus fermenta lateribus trianguli intercepsa , t dat in utrumque magnitudinis. Trianguli rectili nostris Α Β C latera A B, B C, C A PO-stione dentur. Ducunda est recta, cujus segmenta lateribus trianguli intercepta sint datae utrum ue mass-nitudinis.
Duplici modo duci potest recta, quae Problemati sa
tisfaciat. Nempe ut vel omnibus trianguli lateribus Productis occurrat, vel uni tantum producto, reliquis duobus inter apices trianguli.
Primum eo modo ducenda sit, ut omnibus trianguli lateribus productis occurrat. Factum puta. Ut recta E D P, quae lateribus trianguli A B, A C, B C productis in punctis D, E, F occurrit, segmenta habeat lateribus intercepta, E D, D F, datae utrumque magnitudinis Ducatur per D recta D G ipsi B C parallela, quae rectae C A in o occurrat. Propter parallelas D G, C F, erit C P ad G D, ut v E ad A D. Datis autem magnitudine rectis P B, E D, ratio F E ad Ε D data q. 1 ursum propter parallelas D G, C B, triangulum G D A simile est triangulo CBA'. Triangulum autem CBA specie datums
137쪽
tum, rectis utique AB, BC, C A positione datis. Specie igitur datum triangulum G DA, et ratio AD ad D cidata. Duarum itaque CP, AD utraque ad G D datam rationem habet. Duarum igitur C P, AD inter se 1. dat. ratio data . Hisce autem C F, A D, quae datam inter se rationem habent, datis B C, BA additis, summa ad summam, B P ad B D, vel datam rationem habet, quam C P ad A D, vel altera altera major, data, quam in ra- t . dat. tione . Sed non habet BF ad BD rationem eam, quam a. sexti. C F ad A D. Nam si haberet, parallelae essent P D, CAh, quod hypothesi contrarium esset. Duarum igitur B P, B D altera altera major est, data, quam in ratione. In
B F, si opus sit producta, capiatur P H datae illi aequalis, qua B P major vel minor est quam in ratione sauferenda scilicet ipsi B p si major sit, adjicienda si minor,
quam in ratione. in Ratio igitur B D ad B H data. Angulus autem A B C datus. Triangulum igitur D B H. r.e1ε. 1peCie datum . Angulus igitur D H B, seu D II F datus. Rectae autem P H, P D magnitudine datae. Ratio igitur u H ad F D data. Triangulum igitur D P II spe-. 4 . dat. Cie datum'. Angulus igitur D F Π datus, et in triangulo B D P angulus B F D datus. Datus autem F B D, ex hyp. propter rectaS B C, B A positione datas . Quare et ter-
o. dat. tius B D P datus, et triangulum specie datum . Sed latus P D magnitudine . ciuare reliqua latera B P, B Da a. dat. magnitudine singulatim datas. Sed et positione, punctumque s datum. Data sunt igitur puncta F, D, rectaque P D positione data. Q. E. I.
Datae snt magnitudine rectae e M V. Ducenda est recta, cujus segmenta, lateribus trianguli ABC productis intercepta, aequalia sint datis eae, . Capiatur eo, ad quam e d rationem habeat, quam B C ad B A . Fiat A B ad B Κ, ut
138쪽
PROBLEMATUM DELECTUS .e u ad es; et jungatura g. Basi di constituatur circuli segmentum Jhd, quod angulum capiat angulo A K Baequalem. Segmento inseribatur redhayb rectar C K aequalis. Et a puncto A in rectam BC deducatur AI, in au gulo A L κ angulo .lfh aequali. Sumatur B D, ad quam B A rationem habeat, quam A Lad j d. Per D ducatur EDF rectae A L parallela, quae Α Η, B Cin punctis E, F occurrat. Recta E P problemati satisfaciet, utpote cujus segmenta E D,
DEMONSTRATIO. Propter rectas AL, DP parallelas erit A L : DF m BA
Unde Dp datae di aequalis erit. Per D agantur hi I. quinti. D H, D G, rectis A Κ, B C Parallelae. Itaque propter Parallelas D H, A Κ, angulus D H P angulo A Κ Η est aequalis. Juncta autem b M angulus f bd eidem angulo A K B est aequalis s. Angulus igitur D H P angulod aequalis est. Sed propter Parallelas D F, A L, Rugulus D P H angulo A L K aequalis est , qui faetus est ae- pii .
quesis angulo . b. In triangulis isitur DPM, d hanguli duo D H F, D P A duobus d υ, . h. singulatim
sunt aequales. Quapropter tertius P D 31 tertio id b est aequalis, et triangula inter se similia, et latus DP ad latus Pia, ut latus V ad latus h. Sunt autem D P, Q inter se aequalia; id enim ostensum. Quare P Η, j b inter se aequalia. Sed recta b aequalis est rectae CKs. Quare FH, CK inter se aequales. Ac propterea CP aequalis est ipsi x A. C P igitur ad A D eandem habet ac κ H rationem. Sed propter parallelas D H, A Κ, est K H ad A D, ut K B ad BA . Et M B est ad B A, uise ad e O Et se ad e o a. sexti. rationem habet ex rationibus se ad e d, et e d ad es ocompostam Habet igitur C F ad AD rationem eX i Dei hratione se ad e d, et e d ad c o compositam . Ratio au- sexti.
139쪽
124 PROBLEMATUM DELECTUS.tem e d ad eo eadem est, quae B C ad B A. Quae igitur composita est ex rationibus se ad ed, et edad eo, eadem est, quae componitur ex ratiosithiasse ad e d, et C n arin A. Habet igitur CF ad A D rationem ex rationibuSs e ad e d, et C B ad B A compolitam. Caeterum ratio C P ad A D composita est ex rationibus C P ad G D, et G D ad A D. Sed propter G D, B C Parallelas, ratio C F ad G D eadem est, quae P E ad E D ; et Cor. . a. ratio G D ad A D eadem est, quae C B ad BAin. Quae igitur sexti. composita est ex rationibus CF ad GD, et GD ad AD, eadem est, quae ex rationibus FE ad E D, et C B ad B A est composita. Habet igitur CP ad A D rationem ex rationibus P E ad E D, et C B ad B A compositam. Eadem autem C P ad A D ratio ex rationibus se ad e d, et C B ad B Aostensa est componi. Quae componitur igitur ex rationibus P E ad E D, et C B ad B Α eadem est, quae ex ratione se ad e d cum eadem illa C B ad B A composita ost ratio. Quapropter ablata conlinunt illa C B ad B Aratione, eadem erit P E ad R D quae se ad e d ratio. Et dividendo, pD ad DR ua yd in de. Sed P Dostensa est aequalis data id. Quare et D E alteri dataed Θ est aequalis. O. E. D.
In hiriusmodi demonstrationibus, vel consciendis, veΙ
tradendis, quae rati ODUm multarum Collatione constant, multum facilitatis et lucis asserunt characteres Algebraici, modo Geometrice quis iis utatur; eatenus 1 cilicet adhibitis, quatenus mera enthymemata Geometri Casculis subjiciant, sensu tam manifesto ut ex nulla ope ratione Algebraic1 petendus sit. Exemplo sit haec ipsa dena onstratio, cujus pars PO- sietior, ostensa scilicet aequalitate rectarum C F, K H, brevissime
140쪽
brevissime et luculenter admodum hac ratione proferri potuisset.
Secundo, eo modo ducenda sit recta, ut uni tantum e trianguli lateribus producto occurrat, reliquis duobus inter apices trianguli. AFactum puta. Recta scilicet D P, quae lateri B C producto in puncto F occurrit, reliquis duobus AB, AC, inter apices trianguli in punctis D, E, segmenta habeat
lateribus intercepta, E D, D P datae utrumque magnitudinis. Ducatur per D, ut in priori epitagmate, recta D a ipsi B C parallela, quae rectae A C in o DCCurrat. Propter rectas DG, BC parallelas, erit C P ad D G ut P Rad E D ; et D A ad D G, ut A B ad B . Datarum autem ' Cor. a. F E, E D ratio data . Ratio igitur C P ad D G data. Rursum datarum A B, B C ratio data. Ratio igitur DA ad D a data. Duae igitur C P, AD datam inter se
t Nempe hoe modo designari solent rarisnes ex rationibus es VIAE. A : B C : D - : F. Sensus es, ratio A ad B eo sta est ex raridinibus C ad D et B ad F.