장음표시 사용
71쪽
Agatur enim a puncto B ad rectam A C perpendicu- II. primi. Iaris BD . Quoniam itaque angulus B A C datus est, atque etiam angulus BD A datus est; reliquus quoque ABD datus
32. Primi, est i ero o triangulum ABD
o. dat. pecie datur'; quare ipsius Anad B D data est ratio. Ut autem A B ad B D, ita rectangu-
Ium sub B A, A C ad rectanis' I. sexti. gulum sub B D, A C ': igitur rectanguli sub B A, A c ad rectangulum sub B D, A Cratio est data. Atqui rectanguli sub B D, A C ad triangulum ABC data est ratio, binarii scilicet ad unita- 4 . primi. rem P. Igitur ratio rectanguli sub B Α, a C ad triangus 8. dat. lum ABC data est Q. E. D. Cor. I .. Et e converso, si rectangulum duobus trianguli lateribus comprehensum ad triangulum habeat rationem datam; angulus, qui lateribus illis continetur, datus est. Cor. a. In omni triangulo rectangulo, rectangulum lateribus circa angulum rectum comprehensum duplum est trianguli. Et in omni triangulo obtusangulo, rectangulum lateribus circa angulum obtutum comprehenium duplo trianguli majus est. Cor. 3. Contra, si rectangulum duobus trianguli lateribus comprehensum duplum sit trianguli, rectus est angulus, qui lateribus comerehensus est. Quod si rectangulum sub lateribus majus sit duplo trianguli, angulus, qui lateribus comprehenditur, obtusus est.
Si a vertiee trianguli issseelis deducatur recta, quin basu utcunque dividat; quadratum ex deducti et rectangulum
sub baseos segmentissimulsumpta inqualia sunt quadrato
ex alterutro laterum inquatium.
Α vertice A trianguli isoscelis C A B deducatur Α D, quae basin B C, in puncto D, utcunque dividat. Dico quadratum ex Λ D et rectangulum C D κ D B simul sumpta quadrato ex A B vel AC aequalia. A puncto enim a in basin a C ad perpendiculum deducatur A E. Ilaec basin B c in puncto A mediam dividet. Jam vero
72쪽
quadratum ex A D quadratis duobus ex A E, E D aequale eii p. Addatur utrinque rectangulum C D κ D B. Et quadratum eXA D cum rectangulo C D A D B aequale erit quadratis duobus ex Α E, ED cum rectangulo CD κ DB, sive quadrato ex A E, Cum quadrato exE D et rectangulo C D X D B . Quadratum autem ex E D et rectangulum GD κ Dn simul sumpta aequalia sunt quadrato ex EBq. QuR-dratum igitur ex A D cum rectangulo quale est duobus quadratis ex A E, E Bhoc est, quadrato ex A B i. G. E. D.
siniui 1umptis, PROP. LXVII. LXVIIJ Si triansulum habuerit angulum datum ; illud spatium,
quo duo datum angulum comprehendentia latera, tanquam una recta, plus pessunt quam quadratum a reliquo latere, ad triangulum habebit rationem datam. . Sit triangulum A B C, quod angulum B A C datum habeat: dico quod illuὸ spatium, quo quadratum ex utraque simul B A, AC, tanquam una recta, majus est quam quadratum a recta B C, ad triangulum A B C habebit rationem datam.
autem D A ipsi A c aequalis: ergo quod ab utrique simul B A, A C quadratum aequale est ei quod a B D ; hoc est, ei quod continetur sub D C, CE una cum quadrato recta n c; ideoque et quod ab utraque simul B A, A C, majus est quam quadratum rectae B C eo, quod continetur. sub
73쪽
sub D c, CE. Dico jam quod ratio rectanguli sub D c,
C A ad triangulavi A no data est. Quoniam enim datus est angulus B A C ; et qui dein-
13. primi. Ceps est D AC datus est . Uteria et 4 i x- que antem angulorum A D C, D C A datus est; etenim urer-Υ c. et 3 a. que dimidius est anguli BACν, primi. qui datus est : quare trian- e hyp tum D A C specie datum o. dat. Est '. Ergo ratio ipsius A D. Det s. M D C data est V: Ideoque et ejus quod a recta A Dd t. ad id quod a D C describitur quadratum ratio est data φω: Quoniam vero ut B Λ ad A D, ita est R C ad C Dε; atque ut B A quidem ad A D, ita rectangulum sub B A, i. sexti. A D ad quadratum rectae AD '; atque etiam ut E c ad CD, ita rectangulum sub E C, C D ad quadratum rectadic D : erit igitur ut rectangulum sub B A, A D ad quadratum ex A D, ita rectangulum sub B C, C D ad quadratum ex C D ; ideoque permutando ut id quod continetur sub B A, A D ad id, quod continetur sub E C, CD, ita erit quod a recta AD ad id quod a recta C D de- 16. quinti. scribitur quadratum . Ratio autem quadrati rectae A Dad quadratam rectae D C data est: igitur et ratio ejus quod continetur sub B A, A D ad id, quod sub R C, C Ds Pereonia continetur, data est. AEqualis autem est D A ipsi Ac sest μι. igitur et ratio ejus quod continetur sub B A, A c ad id quod sub E C, C D continetur data est. Ratio autem rectanguli sub B A , A C ad triangulum B A C data est, 66. dat. quia datus est angulus BACh: quare et ratio rectanguli 3 8. dat. sub R C, C D ad triangulum ABC data est Et est rectangulum sub D C, CE id, quo quadratum ab utraquctu Per supra simul B A, A C majus est quam quadratum rectae BC . DMRi , Igitur quo majus est quadratum ab utr1que simul B A, A C quam quadratum rectae B C, illud spatium ad triangulum ABC rationem datam habebit. Q. E. D.
Si diao paralles gramma inquiangula babeant ad invicem rationem datam, atque tinum latus ad unum latus habeat rationem datam ; etiam reliquum latus ad reliquum latus rationem habebit datam. Duo enim aequiangula parallelogramma A B, C D habeant ad invicem rationem datam; habeat autem et
74쪽
unum latus ad unum latus rationem datam, sique ratio B E ad F D data: dico ipsius quoque A E ad F C rationem esse datam. Applicetur enim ad rectam R B ipsi C D aequale parallelogrammum E G, atque ita constituatur, ut in directum jaceat R H ipsi A R : adeoque recta B G in directum erit ipsi x B. Quoniam itaque data est ratio ipsius A B ad C Dt; C D vero aequale est ipsi E G : igi- tur ratio ipsius A B ad B G data est : adeoque et ratio stri '' ipsius A E ad E N etiam est data Et quoniam PGH- i. sexti. lelogrammum E G ipsi C D aequale est, erit ut E B ad P D, ita C s ad E A Sed ratio ipsus P B ad F D data' 34. sexti. Ost : igitur et ratio ipsius C p ad E A data est. Ipsius autem E H ad A E ratio est data: ergo et ratio ipsius A E ad c P data est O. E. D. P 3. Aliter . Parallelogramma sequiangula, A, B habeant inter se rationem datam. Habeant quoque latera C D, E P inter se rationem datam. Dico reliquorum etiam
laterum CII, EG rationem datam esse. Exponatur enim data recta K. Quoniam data est ratio C D ad A p, huic eadem sit ratio K ad M . Ratio igitur K ad hi data ; et propter K magnitudine datam, datur etiam Habeat q - .da . M ad L rationem eam, quam C II ad E G. Ratio ς ad L composita est ex rationibus Κ ad 31 et M ad L ; id ν Def. s. est, ex rationibus C D ad E P, et C H ad E G. Sed ex sexti. pisdem rationibus C D ad E P, et C H ad E G composita
75쪽
est ratio parallelogrammi A ad parallelogrammum B . Est igitur c ad L, ut A ad B; id est, in data ratione. Recta autem Κ magnitudine data. Quare et L data . Data utem Μ Ratio igitur M ad L data Est autem M ad L, ut C H ad E G . Ratio igitur CH ad n ci
Si duo parallelogramma datos angulos habeant, et ad invicem rationem datam ; babent autem et unum latus ad unum latus rationem datiam : et reliquum latus ad reliquum latus babebit rationem datam. Duo enim parallelogramma A B, E G, habentia datos angulos ad puncta D, P ad invicem rationem datam habeant; sitque etiam ratio ipsius D B ad p G data : dico ipsius quoque A D ad R P rationem datam esse.
Si A B ipsi R G aequiangulum quidem sit, res manifesta est y. Si vero non fit illi sequiangulum; constituatur ad rectam D B, et ad punctum in illa D, angulo
R P G aequalis angulus B D K , et compleatur parallelo-ymmum D I. . Et quoniam Uterque angulorum D AK,
A K D datus est ν; reliquus igitur A D Κ datus est ;quare triangulum ADΚ specie datum estq; ideoque ratio ipsius A D ad D K data est. Quoniam vero ratio ipsius D C ad P H data est h; atque aequale est D C ipsi DL : ratio igitur ipsius D L ad P H data est. Cumque sequiangulum sit D L ipsi P H L et ratio ipsius D L ad F sa data sit; nccnon ratio ipsius D B ad F G data h: ratio igitur ipsius D κ ad R F data est . Est autem ratio ipsius D K ad A D data : ergo et ratio ipsius A D ad E Dciata est . O. E. D.
76쪽
gi duorum paralles grammorum, circa AEquales angulis, aut circa in uales quidem, datos tamen, latera ad in- micem habeant rationem datam ; et ipsa quoque parati logramma ad invicem rationem datam habebunt. Duorum enim parallelogrammorum AB, EG, Circa aequales angulos ad puncta C, F, aut circa inaequales quidem, datos tamen, latera habeant ad invicem rationem datam ; nempe data sit ratio ipsius A C ad E P ; sit quoque ratio ipsius C B ad F a data: dico quod ratio ipsius C D ad P H data est. Sit enim primo C D ipsi P H aequiangulum. Et applicetur ad rediam C B parallelogrammo P H aequale parallelogrammum C M, atque ita constituatur, ut C N in
directum sit ipsi A c r erit igitur et B M ipsi D B in di-κ s. primi, rectum. Quoniam itaque B N ipsi P H aequiangulum
est et aequalet ipsorum igitur B N, P II latera circum aequales angulos sunt reciproce proportionalia k; adeO-i i . sexti. que ut C B ad P G, ita est P E ad C N. Est autem ratio ipsius c n ad P a data : ipsius igitur E P ad C N datam ex hyp. est ratio. Verum ipsius E F ad AC ratio est data t' 8. dati quare ratio ipsius A C ad C N data est 'r adeoque et rata ' ι.tio ipsius C D ad C M data est '. AEquale autem est C M Per eo
ipsi P A p. Ergo ratio ipsius CD ad FH data est. Non sit autem A B sequiangulum ipsi E G. Et constituatur ad rectam B C, et datum in ea punctum C, angulo E P o aequalis angulus BCK'; compleaturque Pa- qt3. primi. rallelograminum CL. Quoniam vero angulus ACB datus est'; atque angulus Κ CB datus ρ: igitur reliquus A C K datus est . Est autem et C A K datus: unde re- 4. dat. liquus A K C datus cst : triangulum igitur A C K specie 3 . primi, datum ςt dat. Distiiroo by Gorale
77쪽
EUCLIDIS DATA.t M. dat. latum est r adeoque ratio ipsius AC ad C κ data est. ex hup. Ipsius autem A C ad E P data ost ratio': quare et ratio 8. dat. ipsius C R ad R P data est . Ipsius autem C B ad F O hooti rdtio data est '; atque aequalis est angulus κC B angulo struct. EFGr: igitur ratio ipsius CL ad pH est data . AEqualia Per pari. autem sunt pat allelogramma C L, C D '. Quare C D M. ,ue humἰ P H rationena datam habet. O. E. D.
Si duorum triangulorum, circa AEquales angulos, aut circs in quales quidem, datos tamen, latera ad invicem babeant rationem datam; ipsa quoque triangula ad invicenι
ration m datam habebunt. Duorum enim triangulorum A B C, D E II, circa P
vales angulos ad puncta A, D, aut circa inaequales quiem, datos tamen, latera ad invicem habeant rationem datam, sitque ratio ipsius quidem B A ad R D, necnon ipsius A C ad D A data: dico rationem trianguli ABC ad triangulum D E H datam essb. Compleantur enim parallelogramma A G, D F. Quoniam itaque duorum parallelogrammorum A G, D F, circa aequales angulos ad puncta A, D, aut inaequales qui dona, sed tamen datos, latera ad invicem habent ra- eto. dat. tionem datam : ratio ipsius Λ G ad D P data est h. Sed
78쪽
Ipsus quidem Aci dimidium est triangulum A B C r; y 34. primi. ipsius vero D P dimidium triangulum D E H. Ergo trianguli ABC ad triangulum D E H ratio ost data. O. E. D.
PROP. LXXII. LLXXII. ISi dviorum trianguiarum bases fuerint in ratione data, atque etiam recti actaeae ab angulis ad bases. quas faciant angulos inquales, aut in uales quidem, sed tamen dares, ha3eant ad invicem raIionem datam : isto quoque triangula ad invicem rationem datam babebunt Sint duo triangula ABC, D A P, et agantur recta. A G, D H, quae angulos A G C, D H F ad bases faciant, aut aequales, aut Inaequales quidem, sed tamen datos : . sitque ratio ipsius B C ad E P data, atque etiam ipsius A G ad D H : dico etiam rationem trianguli A B C ad triangulum D E P datam esse. Compleantur enim parallelogramma K C, L P. Et quoniam anguli A G C, D H F aut aequales sunt Rut ex hyp. inaequales quidem, sed tamen dati, angulus autem Ao Cangulo K B C est aequalis, necnon angulus D H P ansulo L E P r anguli Uitur ad puncta B, E aut aequales sunt, as. primi.
aut inaequales quidem, sed tamen dati. Quoniam vero ratio ipsius A G ad D H data est , et est A ci quidem ipsi κ B, atque D H ipsi LR aequalis : ratio igitur ipsius ti 3 . primi.κ B ad L E data est. Est autem et ratio ipsius B C ad E P data . Igitur ratio parallelogrammi K C ad parallelogrammum L P est data R. Adeoque ratio trianguli e -o. dat. A a C ad triangulum D E P data est q. Q. E. D. i. primi.
79쪽
Si duorum taralleloerammorum, circa AEquales angulos, aut circa inmi'ales quidem, Ied tamen datos, latera stas habeant, ut sit quemadmodum primi latus ad fecundi latus, ita reliquum fecundi latus ad aliam quamdam rectam, ad c uam et reliquum primi latus datam rationem habeat: a quoque parallelogramma vid invicem rationem datam habibunt. Duorum enim parallelogrammorum AB, E G, Circa aequales angulos, aut inaequales quidem, sed tamen da- tos ad puncta C, P, latera ad invicem ita se habeant, ut
st quemadmodum C n ad P G, ita recta Ap ad re tamc K ; sitque ratio ipsius A C ad C Κ data: dico parat telogranuni A B aci parallelogrammum E G rationem datam esse. Sit enim primo parallelogrammum A B aequiangulum ipsi E O ; atque ita constituatur C κ, ut si in directum
ipsi A C, compleaturque parallelogrammum A H . Quoniam vero est ut C B ad P G, ita E P ad C κ ; aequalia erunt parallelogramma E G, C H '. Est vero ut A C. et . sexti. ad C Κ, ita Parallelogrammum AB ad parallelograminum C H L. Ratio autem A C ad C κ data est . Parallelo- i. stati. grammi igitur A B ad parallelogrammum C H, sive illis ex hyp aequiae E G, ratio data. Non sit autem parallelogrammum A B a quiangulum parallelogrammo A G. Et constituatur ad rectam B C, et ad datum in ea punctum C, angulo E P G aequalis μαγ. pii mi. RΠgulus B CL ἔ complereturque paraIlelogrammum C M. Et quoniam datus est uterque angulorum L C B, Λ C B ἔreliquus igitur A C L datus est. Angulus autem CAL
' hyp- datus est : quare triangulum A c L specie datum est r
80쪽
adeoque ratio ipsius A C ad C L data est. Quapropter si rectae A C ad rectam aliquam aliam ratio data sit, ratio C L ad eandem dabitur . Et quoniam est ut AC ad PG, 8. dat. ita n P ad eam, ad quam A C habet rationem datam i; ex byp. est igitur ut B C ad FG, ita P E ad eam, ad quam C L ehabet rationem datam. AEqualis autem est angulus α
BCL angulo EFG : Igitur ratio IpsiuS C M ad EG datast uti. est'. Sed ipsi C M aequalis est CDq. Ratio igitur ipsius ' Per pari. CD ad A ci data est. O. E. D. prior.hujus.
Si duo parallelogramma datam rationem babeant, aut in AEqualibus angulis, aut in ualibus quadem, sed tamendatis; erit ut primi lattis iaci yeeundi infus, ita alterum fecundi latus ad eam, ad quam reliqtium primi latus rationem habet datam. Duo enim parallelogramma AB, R G, aut in aequali- Vide fis. a. bus angulis ad puncta P, C, aut inaequalibus quidem, 'vi''ia sed tamen datis, habeant ad invicem rationem datam :dico ut C B ad P o ita esse E P ad eam, ad quam ipsa A C habet rationem datam. Etenim Α Β ipsi R G aut sequiangulum est, aut non. Si aequiangulum sit, res manifesta est cx propolitione tui. Non sit autem Λ B ipsi a G aequiangulum. Et constituatur ad rectam CB, et datum in ea punctum C, angulo EFG aequalis anguluS I. CBP; compleaturque pa- P a3. primi. rallelomammum C M. Quoniam itaque ratio ipsus Coad a ci data est ' ; est autem C D aequale Ipsi C Μ : ip- .sus igitur C M ad E G data est ratio. AEqualis au 'ρ μ' tem est angulus L CB angulo R. F G ; ideoque aequi an-ςψ' gulum est o M ipsi EG : ergo ut C B ad F G, ita est i Cor. . 3 .E P ad eam, ad quam recta L C habet rationem datam'. primi. Ratio autem ipsius C A ad c L est data. Nimirum cum ' i'ςr P. t triangulum ACL specie datum sit. Id enim ut in prae P 'V/ψ' 'Cedente Ostendatur. Quapropter si recta L C ad metitius alli quam Diuitia Corale