장음표시 사용
91쪽
EUCLIDIs DATA.α s. dat. netur sub B C, C D, ad quadratum rectae B D data est . Quare ratio ejus, quod quater Continetur sub B C, C D, ad quadratum rectae BD data est ; ideoque et ratio ejus, quod quater continetur sub BC, C D, una cum quadrato rectae B D ad 6. dat quadratum rectae B D data est . Sed id, quod quater continetur sub BC, C D, Una cum qu s. secundi. drato rectae B D est quadratum utriusque simul BC, C DV: ratio igitur quadrati utriusque simul B C, C D ad quadratum rectae B D data est. Quare et ratio utriusque 1 . dat. simul B C, C D ad B D data est : erso ct componendo ratio rectarum B C, C D, B D simul, id est, duplar C B, ad A D data est : quare et ratio ipsius C B ad B D data H enim est. Data autem est ratio B D ad B A q. Ratio igitur 'ensum B c ad n A data φ. Angulus vero C B A datus'. Parati. ex h=ν. lelogrammum igitur C A specie datum f. Sed et magni- η Def. a. tudine . Ergo latera CB, B A magnitudine data sunt
Visum est subj ungere Theoremata duo haud praetereunda, Davidis Gregorii alterum, alterum Simsoni. THEO REMA I. Gregorii. Si duae rectin datum spatium comprehendant in angulo dato, et earum quadrata smul sumpta inquali intipatio dato ;xtraque Lia erit.. Rectae A B, A C datum spatium parallelogrammi B Cin angulo dato B A C comprehen- Cdant. Quadrata autem ex A B, Ao
simul sumpta dato spatio aequalia i lsunto. Dico utramque A B, A c l ldari. Propter angulum ad A datum, )et datum parallelogramnium B c ; B. Lemma rectangulum B Α κ A C datum est . Ac proinde bis 'd t- rectangulum B A κ AC datum. Sed datur quadratorum ex Λvp. eX B A, AC sun mah. Data igitur funima quadratorum s. eat. CX Λ Π, A C una cum bis rectangulo B A κ A C i. Sed quadrata illa cum his rectangulo conficiunt quadratum 4 secund eX B A, AC, tanqURm una rectu . Quadratum igitur ex is dat. ΒΑ C datum. Recta igitur B AC datat. Cum vero recipe Diqiligod by Go le
92쪽
rectae A B, A C datum spatium comprehendant in an Rulo dato, et duarum sumitia data sit, dabitur utraque
THEOREMA II. Sinisoni. Si duae recto natatim datum comprehendant in angulo dato, tinius uvifm qtiadratum cum spatio, ad quod quadratum alterius datam rasionem habeat, datumst; utraque ramum data erit. Duae rectae A B, B C spatium datum A C comprehendant, in angulo A B C dato. Qua)ratum autem ex B C, Una
ex A B datam rationem habeat, detur. Dico datam esse utramque A B, B C.
In C B enim producta capiatur B D ea longitudine, ut rectangulum sub D A, B CitIud ipsum sit, ad quod quadratum ex A B datam rationem habet. Rectangulum igitur D C κ C B datum R. o ex hyp. Nimirum cum quadrato ex B C una cum rectangulo D B κ n o aequale sit 8. Dato autem angulo A B C, p3. Demidi.
spatioque A C dato, datum est rectangulum AB N BC '.' Lemma Dati igitur D C κ c n ad datum A B N B C ratio data . ' dRatio igitur DC ad A B data'. Quare et quadrati exa 1 sexti D C ad quadratum ex A B ratio data Quadrati autem D EX A B ad rectangulum D B κ B C ratio data '. Quadrati igitur ex D C ad rectanguluin D B κ B C ratio data v. Media dividatur recta DC in E. Quadrati v 8. dat. igitur ex E D ad quadratum ex D C ratio data, unitatis scilicet ad quaternarium. Ratio igitur quadrati ex L Dad rectangulum DB κ BC data . Ungo convertendo ratio quadrati ex E D ad quadratum ex E n data η. s. seeundi. Reistae igitur E D ad rectam E n ratio datar. Et conia ς cet. vertendo rectae E D ad D B ratio data . Quare et duia iplae E n, sive DC, ad D n ratio data μ. Et rursum convertendo ratio D C ad C B data . Rectangulum igitur D c κ o B specie datum '. Sed magnitudine Ctiam Des. 3. datum, ex prius ostensis. I,atera igitur D C, C B mag-d unitudine data. Data autoni ratio D C ad A B, id enim ostensum. Quare et A A magnitudine data. Utraque igitur Λ B, B C magnitudine data, O. E. D. LonguDiuiti su by GOoste
93쪽
Longe alia est quam hujusce propositionis, in Datis suis nonagesimae, Si minus demonstrationem dedit; elegantissimam sanc illam, et luculentam ; sed ad earum exemplar, quas in eadem materia Euclides ipse adhibuit, minus diligenter compositani. Nobis Euclidem sequi placuit. Caeterum per Propositiones quatuor hasce, Euclidis duas, 86 et 87' , cum duabus aliis hujus Scholii resolvuntur aequationes biquadraticae cujuscunque sermae, quae vacua si tomninis imparibus. Etenim in diagrammate Propositionis 86ae, datum rectangulum A u κ B C sit dy. Datum autem illud, quo quadratum CX A n exuperat quadratum ex B C, sita'. Et A B dicatur x. Erit igitur u C x' - αφ. Et Α Η κ Η C erit U x aR A x. Quare a π xin d , et α' - n,' - d . Quae est aequatio hi quadratica, cujus radices sunt A B, B C. In diagrammate 87ae datum rectangulum A A N B C sit d*. Datum illud, quo quadratum ex B C majus est quadrato ex AB, quam in ratione, sit a , et data ratio ea sit, quam a habet ad b. Tum si BC dicatur x, cum sit B Cy - a': A By a : b, hoc est, P - ay : AB a : b; crit AB -- Η - b a. et P - h a x - A ny κ B C γ
in d . Quare x' - a' xy - d', quae est aequatio bi- quadratica, cujus radices sunt B C, et recta, cujus qua dratum ad quadratum ex A B datam rationem habet. Rursus in diagrammate Propositionis Iae Scholii, A DX n o sit d*. Spatium datum, cui aequalia sunt quadrata ex A B, B C simul sumpta, sl a'. Et A B dicatur x. Itaque α' - n C a'. Et BC' a' - αφ. Quarea P - x A E κ B Cy) α d'. Quae est aequatiobi quadratica, cujus radices sunt A B, B C. Dunique in diagrammate Propositionis ui Scholii, A B κ B C sit d*. Datum spatium, cui aequale est quadratum ex B C, una cum illo, ad quod quadratum ex Λ ndatam rationem habet, sit a . Dataque ratio ea sit, quam b habet ad a. Itaque erit B C' - - ΛΒ a Vel si ac dicatur x, erit Σ' - -r A ti' in a'. Unde A Nb
94쪽
dim d , et ay x' - x' --d . Quae est aequatio bi quadratica, cujus radices sunt BC, et recta, cujus quadratum ad quadratum ex A B datam rationem habet.
PROP. LXXXVIII. Jxxx δSi in circulum magnitudine datum actast recta linea, fgmentum auferens, quod angulum datum comprebendat; acta recta magnitudine data est. In circulum enim magnitudine datum ABC agatur recta linea A C, auferens segmentum A E C, quod COmprehendat ansulum datum A E C r dico rectam A Cmagnitudine Galam esse. Sumatur enim circuli centrum D v, et Connexa recta ν r. tertii. A D producatur ad punctum R, atque Connectatur CE. Datus igitur est Hngulus ACE; etenim rectus est .
Angulus quoque A E C datus est β rquare et reliquus angulus CAE datus est'. Triangulum igitur A CE specie datum est L; adeoque ratio ipsius EA ad A C data esto. Est autem E A magnitudine data h; quia datur circulus magnitudine. Ergo et ipsa A C magnitudine data' Def. s.
PROP. LXXXIX. sLXXXIX.ISi in datum magniIudine circulum data magnitudine recta acta fuerit; auferet jegmentum, quod angulum datum
comprehendet. In circulum enim magnitudine datum ABC agatur Vide M. reicta magnitudine data A C: dico quod auferet segmen- Pwp. 88. tum, quod angulum datum comprehendet. Accipiatur enim circuli centrum D , et conneXA recta t. tertii. A D producatur ad punctum R, connectaturque C E. Et quoniam data est utraque rectarum ΕΑ, Λ C: igitur ratio ipsius B A ad AC data est . Rectus autem estit. dat. angulus ACE : quare triangulum Aos specie datum 3 i. tertii. est Angulus igitur A u C datus est'. o. E. D. 'PROP. d. . a Diqitigod by Corale
95쪽
PROP. XC. Si is eirculi positione dati circumferentia acceptum fuerit
datum punctum, ab eo autem puncto ad circumferentiam Arculi in flexa fuerit recta lima, quin datum angulum efficiat; ins in rectae aliora extremitas data es.. In circuli enim positione dati ABC circumferentia accipiatur punctum datum B, atque a puncto B inflectatur recta BAC, quae faciat angulum B A C datum :dico punctum C datum esse. Accipiatur cuina circuli centrum D, et Connectantur BD, DC R. Et quoniam datum est utrumque punctorum B, D : igitur positione data est B D '. Et quoniam datus est angulus BAC: angulus igitur B D C datus quoque est . Quoniam itaque ad datam positione rectam B D, et datum in ea punctum D, recta D C acta est, quae facit angulum B DC datum: recta igitur D Cpositione data est L Circulus autem ABC positione et magnitudine datus est : quare positione et magnitudine data est D C'. Datum autem est punctum D. Ergo punctum C datum est'. O. E. D.
PROP. XCI. Si a dare uncto recta linea acta fuerit, quin datum postione circulum conlingat; acta recta positione et magnitudine data es. A dato enim puncto C datum positione circulum A Acontingens recta C A ducatur: dico positione et magnitudine datam este rectam C A . Sumatur enim circuli centrum D F, et Connectantur reme DA, D C. Et quoniam utrumque punctorum
D, C datum est: recta igitur D C positione ct magnitudine
96쪽
A'. Transeat, sitque D AC: ergo positione datus est a 3 i. tertii. circulus D AC . Est autem circulus A n positione datus*: V Def. 6. quare punctum A datum est'. Sed et punctum C datum .' . his est φ. Recta igitur A C positione et magnitudine data. as. dat.
est y. Q. E. D. PROP. XCII. LXCII.J
Si extra circulum positione datum accipiatur aliquod punctum, a dato ' autem puncto in circulum ducatur recta ;rectangulum sub ductύ linea et ea, quin inter punctum et convexam peripheriam interjicitur, datum erit. Extra enim datum positione circulum Λ B C accipia tur aliquod punctum D; a puncto autem D agatur recta D a secans circulum : dico rectangulum sub B D, D C datum esse. Agatur enim a puncto D circulam A B C contingens recta DA : recta igitur DA
positionc et magnitudine data est . Quoniam itaque
data est A D r otiam qua- dratum rectae A D datum
est ei, quod continetur sub , BD, DC . Quare et id, quod
continetur sub BD, DC, datum est. O. E. D. Aliter. Accipiatur circuli centrum E Τ;D E, et producatur ad punctum A. Et quoniam datum est utrumque punctorum Ε, D R: recta igitur E D positione et magnitudine data est Φ. Circulus autem A B P datus est magnitudine et positione : utrumque igitur punctorum autem ost punctum D F D data est et jungatur i tertii.
A, P datum est . Datum M as. dat. utraque igitur rectarum A D, quare quini continetur sub A D, D p datum est. Et id quod continetur sub A D, D P aequale
97쪽
est ei, quod continetur sub B D, DC R. Ergo et id, quod continetur sub B D, D C, datum est. Q. E. D. PROP. XCIII. Si infra datum possione circulum fumatur aliquod tu ι-ectum, per puniaum autem illud agatur in cirmium recitantiqua linea; quodJub segmentis acti rerim Ene comprehenditur Nectangulum, datum erit. Etenim intra circulum positione datum B C sumatur aliquod punctum A ; per punctum autem datum A aga tur quaevis recta C B : dico rectangulum sub B A, A Qdatum esse. Accipiatur enim circuli centrum D ', et connexa recta A D producatur ad puncta F, E. Itaque quoniam datum est utrumque punctorum D, A': igitur positione data est recta D A q. Est autem et circulus C Η v positione datus P: utrumque igitur punctorum P, E datum est . Punctum autem Α datum este: ergo utraque rectarum P A, A E data est': ideoque rectanguluinia sub P A, A E datum est. Et est aequale rectangulo sub B Λ, AC . Igitur rectangulum sub B A, A C datum est. O. E. D.
Si in lirculum agatur recta linea, figmentum auferens quod angulum datum comprehendat, angulus autem qui
in segmento confisit bifariam fecetur; quin rectis duabus circa dutum angulum, bimul fimpiis, inqualis es rectulinea ad recitam, quin angulum bifariam ecat, habebiιi rationem datam. Et circulo magnitudines daIo rectangulum sub utrisque ut, quin datum angulum comprehendunt, rectis, et inferna abscisse ab ea, quin angulum in circumferentia datum byariam secat, datum erit. In circulum enim A B C agatur recta B C, segmentum auferens quod datum angulum B A C comprehendat, et secetur angulus B A C bifariam recta A D : dico rationem rectae, quae duabus B A, A C simul sumptis aequaliscit, ad A D datam ei se; necnon, circulo magnitudine
dato, datum esse id, quod sub utraque simul B A C et
98쪽
83 Producatur A C ad punctum P, et fiat o P aequalis ipsin Α, connectanturque B D, D C, D F. Et quoniam ae
uae AB, B D duabus FC, C Daequales sunt, utraque utrique. Atqui angulus etiam A B D angulo D C P aequalis est,
quia quadrilaterum A B D Cest in circulo': basis igiturA D basi D P aequalis est, et triangulum A B D triangulo C D F sequale , et reliquianguli reliquis angulis aequales, sub qiuibus aequalia
latcra subtenduntur; adeO-que angulus B A D angulo D F C aequalis est. Angulus autem B A D datus est yr byp.ruare angulus D P C datus est. Sed et angulus D APatus est: triangulum igitur A D p specie datum est y :R p. lat. adeoque data est ratio ipsius P A ad AD . Est autem ' Def. 3. A P duabus B A, AC simul sumptis aequalis; quia aequa-qR 'lis est C p ipsi B Ah. Ratio igitur utriusque limul B Α, i, Per eo A C ad A D data est. O. E. D. struct.
Dico insuper circulo magnitudine dato rectangulum sub B A C et D E dari. Propter angulos ACE, B D Einter se aequales , aequales item A E C, B E D ; similia φ ai. tertii. sunt triangula A E C, B E D. Quapropter A C est ad CE, ut B D ad D E. Rursum propter A B E, E D C inter se aequaleS , necnon aequales A E B, D E C, similia sunt triangula E D C, E B A. Quapropter A B est ad B E, ut D Cad D E. Jam vero cum sit A C ad C B, ut D B ad D E ;ct AH ad BE, ut ne, vel illi aequalis D n, ad DE: erunt A B, A C simul ad C Ε, Π Ε simul, id est, erit tota B A Cad totam AC ut B D ad DRq. Rectangulum igitur 4 ia. quinii. R A C π D E rectangulo B C κ B D sequale. Circulo autem magnitudine dato, rectae inscriptae BC, BD, Cum
utraque segmentum auferat quod datum comprehendit angulum, magnitudine singulatim datae sunt Rectan- 88. dat. gulum igitur BC A BD magnitudine datum. Quare et illi aequale B A C κ D E. Q. E. D. G a Cor.
99쪽
Cor. Si trianguli angulus datus sit, latera vero circa datum angulum simul sumpta aequalia sint rectae magnitudine datae; circulo triangulum circum scribenti inscripta recta quae datum angulum medium dividat, magnitudine data est. Per hanc Batio enim a A C ad A D data . Quapropter si mag- . t . . nitudine detur B A C, dabitur et AD . G. E. D.
Si in circuli positione dati diametrosumatur iunctum, a puncto autem illo in circulum producatur quidam recta, agaturque recta a sectione ad rectos ansulas in produn amrectam; per punctum autem, in quo linea, quin ad rectos angulos inser it, occurrit circumferentiis circuli, agatur
parallela productis recti: datum es illud punctum, in suo parallela occurrit iis Hamviro ; et quod sub paraia
lis lineis comprehenditur res angulum datam es. In circuli enim positione dati A B C diametro B C accipiatur punctum D, per punctum autem datum D producatur in circulum recta quaedam linea D A, a puncto autem A ipsi D A ad angulos rectos agatur recta A E, atque per punctum B ipsi A D parallela agatur Ε P : dico punctum P datum esse; atque etiam datum esse rectangulum sub A D, E F comprehensum. Producatur enim recta E P ad punctum V, et con-
nectatur recta A H. Quoniam angulus H E A rectus
est; recta H A est circuli ABCh 3r. tertii. diameter h. Est autem et ex hyp. B C diameter circuli A u C Τ: ergo punctum G circuli Anc Bcentrum est: quare datum est punctum G. Est autem punctum D datumi: ergo data est recta D G magnitu- a6. dat. dine . Et quoniam recta A D parallela est ipsi B H atque est D G ipsi G A aequalis t as. primi, igitur aequalis est D G quidem ipsi o P, et A D ipsi v My. et ε. sexti. Est autem recta D a data: ergo etiam data est o P. Sed et etiam politione datae sunt: ergo utraque rectarum G F, G D data est. Atque datum est punctum G t a . t. quare et punctum P datum est M.
100쪽
Et quoniam intra circulum positione datum A B C acceptum est datum punctum P, et acta est recta E P II ;reetatigulum igitur sub A P, P H datum est R. AEqualis' 93. dat. autem est H P ipsi DA. Ergo rectangulum sub AD, EP datum est.