장음표시 사용
121쪽
duas A B, B C magnitudine utrasque datas. Recha Λ Η, cui adjecta est data A D, duarum A A, B C vel major est, vel minor. CAS. I. Sit major primum, et datae A D auferaturA G, ad quam A D datam illam rationem habeat, quam a. dat. D B ad A C. Data igitur est A G , dataque etiam D a, datarum D A, A G disserentia. In recta A C capiatur C H rectae A G aequalis. Cum igitur D B sit ad A c, ut D A ad A G, vel dus aequalem C H, erit A B ad A H, ut ' i'. quinti. D A ad A Gi; et convertendo AB ad B H, Ut D A ad D G. Quare rectangulum A B κ B C ad rectangulum B H κ B C datam rationem habet, quam data D A ad
CA s. a. Si recta A B, cui adjecta est data A D, duarum AB, B C minor sit, datae A D adjiciatur Α G, ad quam A D datam illam rationem habet quam D B ad
A c. Data igitur est A G, ut prius, dataque etiam D G, datarum DA, A G in hoc casu summa. In recta C ACapiatur rursum C H, datae A G aequalis. Cum igitur sit D a ad A C, ut A D ad A G, vel C H, erit, ut prius, A Bad A N, ut A D ad A G. Invertendo A N ad A B, ut A aad AD. Componendo, B H ad AB, Ut DG ad AD. Denique rursum invertendo AB ad B H, ut A D ad D G. Quare et rectangulum AB M B C ad rectangulum B HA B C, ut A D acl D G. In utroque igitur casu rectangulum AB κ R C ad rectangulum B H κ B C datam illam rationem habet, quam data A D ad datam D G. Rectangulum autem A a X B Cmagnitudine datum. Rectangulum igitur AH κ AC magnitudine datum R. Laterum autem B H κ B C datari midon est disterentia C H . Latus igitur utrumque B H, B C struct. magnitudine datum . Data autem B C, erit etiam A B' ς. ' data propter rectangulum AB κ BC magnitudine da-ἱ' di . tam R. Rectar igitur A B, B C magnitudine utraeque datae. O. E. D.
122쪽
tium in dato antulo contineant, Ii aherius eurum A B et datis cujusdam A D) diferantia a D) ad duarum summam ACὶ rationem datam babeat, dico magnitud: utrasque datar esse.
Data A D vel major erit quam A B, vel minor. CAS. I. Sit major primum. Datae AD adjiciatur Do, ad quam A D datam illam rationem habeat, quam B Dad A C. Magnitudine data erit D G P. In C A capiatur ν a. stat
C H datae D G aequalis. Propter datas magnitudine DA, D G dabitur etiam A G datarum summa. Cum vero D A sit ad D G, vel ejus aequalem C H, ut D B ad A C; erit A B ad A H, ut A D ad D G Invertendo A H qi p. quinti. ad A B, ut D G ad A D. Componendo B H ad A B, ut A G ad A D. Atque iterum invertendo AB ad B H, ut A D ad A G. Quare et rectangulum AB κ BC ad re- angulum B H κ BC, ut A D ad A G.
CA s. a. Sed minor si data A D quam A B. In hoo casu rectae a D adjiciatur D G, ad quam data A D datam
illam rationem habeat, quam B D ad A C. Itaque dabitur iterum D a magnitudine. Huic in B C producta capiatur aequalis C H. Propter datas A D, D o magnitudine, dabitur etiam A G, datarum utique disserentia. Cum vero sit D A ad D G, vel ejus aequalem C H, ut D a ad A c, erit AB ad A H, ut DA ad D G . ΙΠUCr- r ii. quinti. tendo, A H ad AB, ut D G ad D A. Dividendo A a ad B Α, ut A G ad AD. Atque iterum invertendo B A ad B H, ut A D ad A G. In casu igitur utroque rectangulum A B κ B C ad rectangulum B H κ B C datam rationem habet, quam data A D ad datam A G. Rectangulum igitur B H κ B C, ut in superioribus, datum; dataque laterum ejus B H, BC in casu priori summa, in hoc differentia, C H, latus utrumque datum '. Data autem BC, dabitur etium A B Cor. a. . ut prius: utraeque igitur Λ B, B C datae. O. E. D. 59. dat.
123쪽
Postis rursunt duabus rectis A B, B C) qui datum 1 alium in dato angulo contineant, salterius earum ABὶ es dati cujusdam sAn) differentia su D) ad duarum disserentiam A Cin rationem datam habeat, magnitudine utraeque dati sunt. Hujus propositionis casus sunt quatuor. Duarum enim A B, B C sive major sive minor fuerit A B, a data quadam A D vel superari illa potest, ut in sS. 1, a, 3,
vel datam superare, ut in fig. 4, 5. Utcunque fuerit, datae A D in fig. I. et 5. adjiciatur D G, in fig. a, 3, 4, Versus punctum A capiatur D G, ad quam data A Ddatam rationem habeat, quam D B ad AC. Datata. d. . igitur magnitudine est Do , et datarum A D, D G, infig. I. et 5, summa, in fig. 2, 3, 4, differentia A cidata. Datae autem D G aequalis capiatur C H, ipsi scilicet A C adjicienda in fig. I. 4. et 5, sed in fig. 2, 3. ad partes puncti A ponenda. Jam cum D B sit ad A C, ut A D ad D G vel C H, erit AB ad A H, ut AD ad Da; nempe per X9. quinti, in fig. I, 2, 3, sed per Ia. quinti in fig. 4. et s. Erit igitur A B ad B H,
124쪽
ADDITAM ENTU M LIBRI DAT .RUM.
ut A D ad A G. Nimirum in fig. I. et 5, invertendo, componendo, atque iterum invertendo. In fig. autema' convertendo. In 3 et invertendo, dividendo atque iterum invertendo. In omni igitur casu A B est ad B H, ut A D ad A G. Quare et rectangulum A B κB C ad rectangulum B H κ B C datam illam rationem habet, quam data A D ad A G datam. Unde datumessicitur rectangulum B H κ B C, et ex dato illo rectangito adstruitur, ut in superioribus, veritas propositionis. uae igitur A B, B C magnitudine utraeque datae sunt. O. E. D.
Dum litur rectae datum spatium in dato an gulo continentes, si alterius earum et datae cujusdam vel summa, vel differentia ad alterius et ejusdem, vel alius datae, vel summam, vel differentiam, vel ad duarum vel summam, vel differentiam, datam rationem habeat, magnitudine
utraeque datae sunt. Haec enim est summa sex ultimarum. Quarum ope, ut illud obiter moneamus, nobilissimi Problematis Apolloniam De Inelinationibus casus praecipui resolutionem
Quod superest, in duobus hisce Datorum Libris,
Euclidis altero, altero, quem, ejus vestigiis insistentes, ipsi concinnavimus, tradita sunt prima et praecipua analytices illius fundamenta, cujus subsidio freti veterea etiam in dissicillima dominabantur problemata, et Constructionem eorum ossiciebant; nec in planis tantum et solidis, verum etiam insuper in linearibus. Quam sane
veterum analyta juniores si diligentius excoluissent, suas ejusdem generis sunt, si non majora etiam et magis ubtilia, facilius multo et ipsi invenissent, et aliis inscriptis suis luculentius traclidissent. Etenim speciosa quae dicitur analysis, qua confisi post Cartesium iure
omnes, veteres magistros ausi sunt deserere, utut nihil non promittat, quasi aequationum ope omnia essicienda essent, revera manca et impersecta est, et, sine Geometria, non nisi ad pauca utilis ; utpote quae pars est tau-tummodo,
125쪽
IIo ADDITAMENTUM LIBRI DATORUM.tummodo, vel fragmentum potius verae et absolutae analyseos. Figurae enim, quotquot sunt, lineis termina tur, vel pluribus, vel curva fortasse una Linearum vero plurium, ut et partium ejusdem curvae, relatio duplex est. Quantitate enim distinguuntur et situ. Algebra
interea in eo versatur unice, ut meras quantitatis reI tiones expendat; quas optimo certe compendio indagatur, et ex notis ignotas mira facilitate promit. Meras autem dico quantitatis relationes, quae ex situ nullo modo pendent. Situs linearum varios dignoscere, et cum alias omnes tum et ipsius quantitatis relationes, ficture, ex situ oriundae, vel lineis ipsis, vel figuris, qaas lineae claudunt, intercedant, explorare, id, ni fallor, Ge metriae munus est. In problematis autem plerisque, solutio eorum ex utraque relatione pendet; situs dico et magnitudinis; et compendiosius saltem ex utraque junctim, quam ex hac vel illa seorsim elicienda est. Positiones vero linearum diversas, intersectiones, contactus, angulos, flexuras, et quae plurima inde forte consequantur, quae vix fieri potest ut prudentiorem paulo Geometram, vel lateant, vel fugiant, Calculus saepissime praeterire solet; imo consulto evitare, si primario magistrorum praecepto obtemperetur, qui studium et diligentiam in illud potissimum intendi jubent, ut ad paucissima principia omnia revocentur. Unde haud raro evenit, ut qui aequationibus concinnandis nimium se delectari sinunt, exitu operis, quod brevi sane et nullo sere negotio coniiciunt, in constructiones aut nullas plane incidant, aut perplexas adeo et laboriosas, ut omnistrorsus utilitate careant. Algebrae autem ita demum egitimus erit in Geometria ulus, si in iis, quae calculo expedienda sunt, solis adhibeatur. Neque tamen Geometris auctor essem, ut ad calculum rem quamque propositam deducere conentur. Ιmo contrarium vehementer suadeo. Constructiones enim simplicissimas et facillimas esse eas, quae ex positionibus partium figuraepetitae sunt, omnino mihi persuasum habeo, neque id ex opinione tantum, sed usu et multiplici experientia edoctus. Sed cum, indagine rite instituta, omnibus datorum et quaesitorum tam situs quam magnitudinis relationibus diligenter perpensis, eo tandem sua quasi
sponte res devenerit, ut mero Calculo ulterius prosequenda sit, nollem sane caeca adeo veneratione antiqua
126쪽
ADDITAMEN TU Μ LIBRI DATORUM. IIIamplecti, ut in tali negotio, recentiora Algebrae compendia ingratus spernerem. Haec autem omnia non temere a nobis di sputari, exempla optime, ut Opinor, et certissime confirmabunt; problemata scilicet, quae cum resolutione eorum Geometrica adjicere jam pergo, quo Tyronibus constet magis et eluceat methodi hujus vis atque ratio, et ea, quam in se habet prae methodo Algebraica excellentiam.
128쪽
130쪽
PROBLEMA I. Arithmeticae Universalis xv.
Suber rectam A B magnitudine et postisne datam, triangulum constituere, cujus basis, laterum, et perpendiculi continua si proportio. TACTUM puta. Trianguli scilicet A B C, super basia A u constituti, hasis
Perpendiculi C D continuasit proportio. Nimirum ut AB sit ad B C, ut B C ad C A, et C A ad C D. Et primum, cum sit AB ad B C, ut A Cad c D ; rectangula A B κC D, C B κ C A erunt inter se aequalia . Rectangulum 16. sexti. autem AB κ C D est duplum trianguli A C BL Rectan- i. primi. gulum igitur C B κ C A trianguli ACB duplum. Quapropter angulus ACB rectus est . Est igitur punctum C Cor. 3. . ad icini circulum positione datum, basi nempe A B consti- εο d x.
tutum 4. Rursum cum sit AB ad BC, Ut DC ad CA, qua- ε 3 i. tertii. dratum ex B C re tangulo A B N A C est aequale . Qua- ' i . sexti. dratum autem ex B C rectangulo A B κ B D est aequale . Cor. 8. Rectangulum igitur AB κ AC re tangulo A B κ B D st xi est aequale. Quare recta A C rectae B D aequalis est, et quadratum ex A C quadrato ex B D. Quadratum autem 'ex A C aequale est rectangulo AB κ A D '. Quare et quadratum ex B D re tangulo A B κ AD est aequale.
Recta igitur A B, magnitudine et positione data, ex trema et media ratione divisa est in puncto D. Quare punctum D datum Recta igitur D C a dato puncto D r Cor. a. . In recta A B, positione data, aci Perpendiculum edudia, 9. Audit.