장음표시 사용
141쪽
g. dat. rationem habent'. Harum autem alteri, CP, additur data quaedam BC; estera, AD, datae AB aufertur. Summa igitur B P Una cum consequente, ad quam reliqua u D das ar. dat. tam rationem habet, data est . Huic datae aequalis ponatur F H. Itaquo B H ea erit, ad quam B D datam rationem habet. Angulus autem D B H datus. Trian- t. dat. gulum igitur DB H specie datum . Angulus igitur B H D, sive F H D, datus. Datarum autem D F, F H ratio. e. lat. drita. Triangulum igitur F D H specie datum R. Angulus igitur D P H, sive DPB, datus. Et in triangulo B D F, angulus DBF datus. Quare et tertius B D F datus, et triangulum specie datum. Sed latus P D mag-α edi hyp nitudine η. Quare et reliqua latera B F, B D magnitudine data. Sed et positione, punctumque B datum. Data igitur sunt puncta D, P. Gare recta P D positione data. Q. E. I.
Sint f , de datae rectae, quibus segmenta dueendae
rodiae facienda sunt aequalia. Caiatur e o, ad quam e d rationem abeat, quam C B ad B A . Fiat
tuatur segmentum circuli, quod capiat angulum angulo A Κ Baequalem. Segmento inscribatur recta fh rectae C Κ aequalis. A puncto A in rectam B C deducatur Λ L in angulo AI, Cips dii aequali. Sumatur B D, ad quam B A rationem habeat, quam A L ad Q. Per D ducatur DF rectae A L parallela, quae rediis B C, A R in punctis P, Loccurrat. Recta D P problemati
142쪽
Si linea recta A C, in puncto B utcunque divisa, iteis Tum dividatur utcunque in puncto D, punctorum A, B intermedio, et intervallum punctorum sectionis, D B,
medium dividatur in puncto E ; dico spatium, quo quadratum ex tota A C superat quadrata ex segmentis A D, B C simul sumpta, rectangulorum AB ABC, A E κ D Bduplum esse. Quod si punctum D duorum B, C intermedium sit, illud, quo quadratum ex A C superat quadrata ex A D, B CA B E D Csimul sumpta, vel ab illis superatur, rectangulorum A AM BC, AE AD B differentiae duplum erit. CAs. I. Spatium AC - B C A B' - 2 A B A B C r. laeuus. Auferatur L D'. Spatium igitur A C' - B Cy - A D' A B--A D' Φ a A B A n C. Sed quoniam DB media
143쪽
A D E B C dividitur in f, idcirco DE ME B. Quapropter spatium AB -ΑD' - AENED . Et AEAED - 2AE AZED m a AE AD B. Spatium igitur AC' BCR- A DR - a A E κ B D in a a B A BC. Q. E. D. CAs. 2. In casu secundo puncti D, sectionis secundae, punctis C, B intermedii, spatium AC' - B C AB Φ a A B A B C, ut prius. Quod si quadratum ex A CA B E D Cduobus quadratis ex BC et AD simul sumptis majus sit; spatio A C' - B C , et ejus aequali AB' - a ABN BQ auferri potest quadratum ex A D. Auseratur, et relin
Quod si duo quadrata, A D', B Cy, simul sumpta quadrato ex A C majora sint, quadratis ex A D, B C simul sumptis auferri potest quadratum ex A C. Vel, quod
perinde est, quadrato ex A D auferri potest spatium Acy- B CL seu A B' - 2 A B N B C. Auferatur; relinquetur igitur AD' - Λ ny - 2 A B ABC in AD BC A C . Sed cum B D media dividatur in E, erit B R ME D, ut prius. Quare AD' - AB' - 4 A E N EBη - 2 Α E N D B. Spatium igitur AD' - BC -AC' - 2AE ADB - 2AB κ BC. Puncto igitur D pundiis B, C interposito, illud, quo quadratum ex tota A C superat quacirata ex A D, BC simul sumpta, vel ab illis su- Peratur, rectangulorum ABN BC, AER DB differen
tiae duplum est. Q. E. D. PROP.
144쪽
Linea recta magnitudine et pyitione data, aliam invenire,
quin s datin addita fuerit, tota dato plus posit addituquam in ratione.
Detur recta A B magnitudine et positione. Data sit ratio rectae M N ad N o, et si s datum spatium. In venienda est recta, quae si datae A B addita fuerit, tota dato spatio s plus possit addita, quam in ratione M N ad No. Factum puta, iuventa scilicet B C, in recta A B producta, ejus longitudinis, ut quadratum ex A C spatio s
majus sit, quam ut habeat ad quadratum ex B C rationem eam, quam M N ad N o. Vel ut A C' - s ad B Cy ra tionem habeat, quam M N ad N O. CAs. I. Si datum spatium S aequale sit quadrato ex A B, spatium A C' - s rectangulo a A B A B C cum quadrato ex B C aequale erit. Erit isitur et A B A B C. B CR: B C' in M N : N O. In hoc igitur casu necesse est data ratio M N ad N O majoris sit ad minorem. Et dividendo, a A B κ BC ad BCR datam habebit rationem; eam scilicet, quam M o ad O N . Sed a AB ABC: BC - 2AB: B c h. Ratio igitur a A B ad B C data. Unde et ip- ν 1. serii. sius A B ad B C ratio data. Data autem A B magnitudine. Quare B C magnitudine etiam data . Sed po- eis dat. stione etiam, punctumque B datum. Datum igitur punctum C t. Q. E. I. β 27. dat.
Media dividatur recta M o in P. In A B producta capiatur B C, ad quam A B rationem habeat eam, quam PO ad O N. Recta B C problemati in hoc casu satisfacit. Sed datum spatium s quadrato ex data A B non sit vide fit. aequale. Rectae A C auferatur A D, cujus quadratum P g. seq. spatio s aequale fit. Magnitudine igitur data est A D. Sed positione etiam, punctumque A ciatum. Datum igitur punctum D. Dabitur etiam B D, datarum AB, A Ddifferentia'; quae si media dividatur in puncto E, punctum e. ipsum E dabitur. Et cum quadratum ex A D spatio sK aequale Diqiti by Corale
145쪽
aequale sit, spatium A C A D' ad B Cy datam rationem habebit, quam M N ad N o. Spatium autern S quadrato DX A B, Cui aequale non est, utat minus erit, aut majus. Primum minus sit. CA s. a. In hoc igitur casu necesse est data ratio M Nad N O majoris ad minorem sit. Cum enim spatium S, seu quadratum ex A D, quadrato ex A B minus sit, spatium AC - AD' majus erit spatio A Cy - A B . securuli. quod ipsum quadrato ex BC majus est . Spatium igitur A C' - Λ DR quadrato ex B C multo majus. Et cum A C A D' ad B Cy datam rationem habet, quam M N ad No; dividendo A Cy - A Dy- BC ad B CR datam habet rationem, quam M D ad O N. Sed cum quadratum ex A D minus est quadrato eX A B, recta etiam A Drecta A B minor. Punctum igitur D punctis A, B intermedium est. Spatium igitur A C- - A DR - B Cy - Lemma a AE ABD in a AB κ BCF. Data igitur est ratio Cas. 3. et ΑΕ κ BD - 2AB κ BC ad quadratum ex J C, ea nimirum, quae est M o ad O N. Quare data etiam ratio 3. dat. A E R BD in ΑΒ ABC ad quadratum ex BCh, ea Hi mirum, quae est Φ M o ad O N. In A B producta capiuntur B F, B G, ad quaS A B, A E eandem illam datam rationem habeant. Manifestum est B F, B G magnitu- dat. dine datas esse , punctaque P, G data . Et cum sit A R
146쪽
B D datum, propter rectas B G, B D magnitudine singulatim datas. Datum igitur rectangulum B C κ C F. Data autem remi B F magnitudine et positione. Punctum igitur C datum . Unde recta B C magnitudinem Cor.' sq. et positione data. O. E. I. dat.
Ope Prop. I ae secundi constituatur quadratum dato Vide fig. spatio rectilineari s aequale. Rectae A B auferatur A D, P P ς quae lateri hujus quadrati aequalis fit. Μedia dividatur D B in puncto R. Media dividatur etiam M o in P. In A u producta capiatur B F, ad quam A B, et B G, ad
quam A E, rationem habeat, quam P o ad O N. Ad rectam B F applicetur reeiangulum rectangulo B G κ B Daequale, cum excessu quadrati'. Latitudo excessus sit η ας. sexti.
F C. Recta B C problemati satisfacit. Q. E. F. Sed majus si spatium s quam quadratum eX A B. Data ratio vel aequalium erit, vel minoris ad majorem, vel majoris ad minorem. CAS. 3. Primum, aequalium sit data ratio. Spatium
igitur AC'-A D' in B C'. Sed BC' AC - ABka A B κ B C'. Illud igitur, quo quadratum ex A C CXὶ-' . secundi. Perat quadratum ex A D, aequale est ei, quo idem quadratum eX A C exsuperat quadratum ex A B cum duplo rectangulo AB κ B C. Quadratum igitur ex A D quadrato ex A B cum duplo rediangulo A B N B C est aequale. Ablatoque quadrato ex A B, spatium AD' A A', quod rectangulum est 4 A E N E. D p, sive a A E κ P8. seeundi. D B, rcctangulo 2 A B κ B C aequale erit. Rectanguluin igitur A E V D B rectangulo AB N B C aequale. Datum autem A R A D B, propter rectaS A E, D B magnitudine singulatim datas. Datum igitur ΑΒ κ B C. Data autem recta A n magnitudine. Quare B C magnitudine data'. Sed positione etiam, punctumque B qs . dat. datum. Datum igitur punctum C. G. E. D.
Quadratum, ut prius, constituatur dato spatio rectilineari S aequale. In recta A B productu capiatur A D,
quae lateri hujus quadrati aequalis sit. Media dividatur
147쪽
PROBLEMATUM DELECTUS.B D. Capiatur BC, ad quam BD rationem habeat, quam A B ad A E. Recta B C problemati satisfacit. CAs. 4. Majore existente spatio S quam quadratum ex A B, sit data ratio M N ad N o minoris ad majorem. Cum igitur spatium A C' - Λ D ad quadratum ex B C
datam rationem habeat rechae M N ad N o, quae minoris est ad majorem ; invertendo et converten)o quadratum ex B C ad spatium B C- Φ A D' - AC' datam rationem habet, quam N O ad O M. Sed Cum quadratum ex A Dmajus sit quadrato ex A B, recta A D major erit quam A B, et punctum D punctis B, C intermedium erit. Spatium igitur B Cy - ADR - Λ C m 2 A E κ D B - a Λ Η ' κ B C . Data igitur est ratio quadrati ex B C ad 2 A E lemma κ Dn a AB M B C; ea scilicet, quae est N O ad O M . VRV Quadrati igitur ex B C ad A E κ D B - AB A BC ratio data; ea scilicet, quae est Ν o ad fi o M. Invertendo ratio AE DB - AB BC ad quadratum ex B Q lata; ea scilicet, quae est Φ Μ Ο Η Ο Ν. In A B, ab Aretrorsum acta, capiantur B F, B G, ad quaS A B, A Edatam illam rationem habeant. Manifestum est, ut in casu secundo, B P, B G magnitudine datas esse, punctaque F, G data. Jana, cum sit AB: BF m tuo: ON;
rectas B G, B D magnitudine singulatim datas. Rectangulum igitur FCACB magnitudine datum. Recta autem F B magnitudine et postione data. Punctum
148쪽
igitur C datum . Unde roeta n C, ut Prius, magnitu Cor. ε .dine et positione data. O. E. I. dat.
In recta A B producta capiatur, ut prius, recta A D, quae pollit spatium datum s. Media dividatur B D in
Puncto E, necnon Μ o in P. In recta A B retrorsum acta capiatur BP, ad quam A B, et B G, ad quam A E, r tionem habeat, quam P o ad O N. Ad rectam P B applicetur rectangulum rectangulo G A N B D aequale Cum
excessu quadrati. Latitudo excessus esto B C. Recta B C problemati satisfaciet. CAs. 5. Sed majore existente spatio S quam quadratum ex A B, sit data ratio M N ad N o majoris ad minorem. Quoniam igitur spatium A C ADR sit ad
quadratum ex B C, ut major M N ad minorem No; dividendo erit A CR - A D' - B Cy ad B C , ut M o ad o N.
Sed puncto D punctis B, C interjecto; spatium A CR- AD' - B C' aequale erit spatio 2 AB N B C - 2 A EX B D I. Spatium igitur a ABN B C - a A E κ BD Lemma ad B C' datam rationem habet, quam M o ad O N. CR Quare AB κ BC AER B D ad B C' datam rationem
habet, quam M o ad O N. Si igitur in A n producta sumantur B P, BG, ad quas A B, A E datam illam rationem habeant, quam I Mo ad ON ; similibus argumentis ac in superioribus usi sumus ossicietur, spatium B P MBC - BG κ BD quadrato ex B C aequale esse. Addito igitur rectangulo B G κ B D, erit rectangulum B Pκ B C quadrato ex B C una cum rectangulo B G X B Daequale. Ablatoque quadrato ex B C, erit illud, quo B Pκ B C superat quadratum ex B C, hoc est, rectangulum B C κ C P rectangulo B G A B D aequale. Datum autem rectangulum B G κ n D, ut in superioribus. Rectangulum igitur B C κ C P datum. Data autem rceta BF magnitudine et positione, punctumque B datum. Datum igitur punctum C, applicando ad rectam B F, magDi- . tu lino et positione datam, datum rectangulum cum defectu quadrati . Datum autem punctum A. Recta η Cor. 58. igitur u C magnitudine et positione data. O. E. F. dat. K 3 DIORIS-Diuitiaco by Corale
149쪽
PROBLEMATUM DELECTUS.DIORIS MUS.
Ad compositionem hujus casus requiritur, ut quadra tum ex dimidia P n non sit minus quam rectangulum
quam 4 G n Μ n D. Sed Cum B F sit ad A B, ut B Gad A R; erit quadratum ex B F ad rectangulum B F κA B, ut G Η Μ B D ad A E N A D. Et permutando quadratum ex B P ad G BR BD, ut BFκ AB ad AER BD. Quare quadratum ex B F ad 4 G B κ B D, ut A B A BF ad 4 Α E κ A D. Rectangulum igitur A B A B Fnon minus erit quam 4 A E N B D. Quapropter A Bnon minor quam ut habeat ad B D rationem, quam 4 A E ad B F. Sed ON: ἔ ΜΟ - BF: AB. Quare A B κ Ο N non minus quam ut sit ad l M ON B D, ut 4 A E ad A B. Neque et A B κ Ο N minus quam ut si ad M Ο κ B D, ut 4 A E ad A B. Neque Α Β κ o N minus quam ut sit ad Μ Ο κ B D, ut et A E ad A B. Rectangulum igitur A B κ o M non minus quam ut sit ad M o κ B D, ut a A R κ A B ad A BR. Permutando o N non minor quam ut sit ad a A E, ut M o κ B D ad A BR. Neque igitur O N κ D B minus quam ut sit ad a A MX D B, ut M ο κ B D ad Α Β Permutando o N non minor quam ut sit ad Μ o, ut
Et componendo M N non major quam ut sit ad N o,
Dato igitur spatio S, Cui quadratum ex AD est aequale, rationi M N ad N o non licebit esse majori quam est ea, quam spatium datum S habet ad s - A B'. COntras Diuiti eo by Corale
150쪽
tra, data ratione M N ad N D, spatio s non majori esse licebit quam quod habeat ad A B' rationem eam, quam M N ad Μ D. Nam si major quam M N habeat ad N O rationem eam, quam S ad S - Α Η' ; M N ad minorem quam N oerit, ut S ad S - Λ B . Convertendo M N ad majorem quam M o, ut S ad A B . Ut M N ad M o sit T ad Α Η Cum igitur M o : M N in A B' : T ;et M N ad majorem quam M o m S : A B EX aequo perturbate M o erit ad majorem quam Μ os ad T φ. s igitur minus quam T. 23. quinti.
In limitibus hujuscemodi explorandis, qui eX magnitudinum rationibus omnino pendent, non dissimulandum iest praestantissimum esse Algubrae usum et cum leviori multum negotio, et majori perspicuitate ex Algebra derivandi sint, quam sine artis illius adminiculo. Quod nescio an melius declarandum sit quam hujusce problematis exemplo. Ponatur enim ΑΒ m a. AE - b. DB - d.
B F m f. B G e. Et data ratio majoris ad minorem m ad n. Cum igitur ad compositioncm problematis in hoc casu necesse sit, ut gd majus non sit quam f idcirco 4g d non majus erit quam '. Ponatur
igituri' minimae sui quantitati 4 g α aequalis. Sives' g d. Vel cum j sit ad g, ut a ad b; af - 4b d. Sed
- a b d. Et ae - --- a b d. Et dividendo per