장음표시 사용
151쪽
A BL sive A D' - A BR : A BR non major quam No: Μ Ο. Componendo A D' non majus quam ut habeat ad A By rationem eam, quam M N M M O. Qui, data ratione M N ad N o, spatii di orismus est.
Dato spatio s majore quam quadratum ex Α, detur ratio mMoris M N ad Dianorem N O, quae major non sit quam ratio spatii s ad illud, quo spatium S exsuperat
quadratum ex A n. Vel data ratione majoris M N ad minorem N o, detur spatium S, quod majus si quam quadratum ex AB, neque tamen majus eo, quod habeat ad quadratum ex AB rationem eam, quam M N ad AI o. In A B producta capiatur A D, quae possit spatium S. Media dividatur n D in pulicto E, et M o in puncto P. In A B producta capiatur B P, ad quam A B, et B G, ad quam A E rationem habeat, quam P o ad O N. Ad rectam B F applicetur rectangulum rectangulo H G κ B Daequale, cum defectu quadrati. Latitudo desectus sit F C. Recta B C problemati satisfacit. PROBL. V. Arithmet. Univ. xviii.)Super rectam iii itam postione datam trapezium consi- tuere datis angulis, area, et perimetro. Detur positione recta infinita Κ G, super quam tra- pegium constituendum est datis angulis, area, et perimetro . Factum puta. Sit A B C D trapeZium, cujus an uti ad A, B, C, D datis singulatim unt aequales ; areaato spatio, quadrato scilicet ex data Μ, aequalis ;perimeter datae rectae P. Detur autem Punctum A, in recta Κ G pro arbitrio sumendum. Ex lateribus tra- pegii duo saltem opposita erunt non parallela: ne figura in parallelogrammum transeat. Sint AB, D Ccluo latera opposita non parallela. Occurrent igitur, si producantur. Producta in E occurrant. In recta infinita, positione data, Κ G, capiatur AG, Perimetro traPQ gii aequalis, et D K aequalis perimetro trianguli A E D. Propter Diqitig Corale
152쪽
ΟPropter angulos ad A, D datos, triangulum ARD specie datum est φ. Simili ratione, propter angulos ad B, et C o. dat. datos, triangulum BEC specie datum est. Sed propter triangulum ABD specie datum, data est ratio perimetri trianguli ad latus unumquodque'. Ratio igitur DKad' M. dat. D A data. Capiatur A o, ad quam A G eandem illam datam rationem habeat, quam D K ad D A. Ratio igitur A G ad A o data. Data autem A G datae P aequalis h. h ex hyp. Data igitur et Ao . Sed cum A G sit ad A O, ut D K y a. t.
ad DK; erit etiam differentia duarum D Κ, A G ad Do , ut D κ ad D Λ q. Data igitur est ratio differentiae dua-- is. quinti. rum D Κ, Λ G ad Do . Differentia autem duarum D R, A G ea est, qua perimeter trianguli AED exsuperat Perimetrum trapegii ABCD; quae eadem est, qua B E, E Csimul sumptae exsupcrant B C. In C B igitur producta capiatur C L duabus E B, E C simul sumptis aequalis. Erit igitur B L duarum D Κ, A G differentia. Ratio igitur B L ad D O data. Sed propter triangulum BEC specie datum, C L quae aequalis est duabus B E, E Csimul sumptis) ad B C datam rationem habet . Dividendo igitur, ratio L B ad B C data . Gusdem autem' Cor. . 6. B L ad D o ratio data; id enim ostensum. Ratio igitur 'δx-
Sed eropter triangulum AED specie datum, ratio
quadrati ex A D ad triangulum AED data est s. Sit 49. dat. N recta, cujus quadratum ad quadratum ex Μ, hoc est, ad trapegium ABCD, eandem illam datam rationem habeat, quam quadratum ex A D ad triangulum A E D. Quadratum igitur ex N magnitudine datum. Sed cum quadratum ex A D ad triangulum AED eandem rationem
153쪽
nem habeat, quam quadratum ex N ad trapezium ABCD; et illud, quo quadratum ex A D datum quadratum ex Nexlunerat, ad triangulum E B C rationem habebit, quam. 39. quinti. quadratum eX A D ad triangulum Α Ε D Mus igitur, quo quadratum eX A D exsuperat quadratum ex N, altriangulum E B C ratio data; hoc est, quadratum ex A D triangulo E B C, dato quadrato ex N, majus est quam in ratione. Sed propter triangulum A B C specie datum, si ρ. dat. trianguli ABC ad quadratum ex BC ratio data . Quadratum igitur ex A D quadrato ex BC, dato, majus quam in Cor. is. ratione . Sed propter rationem BC ad Do datam, id enim i- ostensum; quadrati quoque ex BC ad quadratum ex D oratio data est . Quadratum igitur ex A D quadrato ex DO, so. dat. dato, majus est quam in ratione . Maia autem recta Ao.
Rectae igitur A o, magni tudine et positione datae, addita recta o D, tota A D addita OD, dato, plus potest quam in
3 Pes Anaia ratione. Punctum igitur D datum f. Datoque ex hypo-Ιyso p ς thesi puncto A, recta AD magnitudine et positione a6. dat. data . Necnon Do. Anguli autem A AD, E DA dati'. ς μ/IP' Rectae igitur A A, DR positione datae. Ratio autem D ad B C cata; id enim ostensum. Et D o magnitudine. a. dat. data. Quare et B C '. Anguli autem ad n et C dati'. Recta igitur B C magnitudine data duabus A E, D Rpositione datis interposita est in angulis datis. Quare ν Cor. . 3a. et ipsa B C positione data . Puncta igitur A et C data'. 4 t. Sed datum A N et ex ostensis D. Quatuor igitur pun-
cta A, B, C, D data. Trapegium igitur ABCD positione datum. Q. E. I.
154쪽
Super rectam infinitam K G construendum est trapezium, cujus anguli datis α', β, γ, ο aequales sint, perimeter aequalis datae rectae P, area quadrato datae rediae M aequa-
Iis . oportet autem quadratum ex M non majus osse quadrato ex quarta parte recta: P; angulos α, β, γ, δ simul sumptos quatuor rectis aequales ; et duos ex illissimul sumptos duobus rectis minores esse. Exponatur recta a d datae longitudinis, pro arbitrio utique sumendae. Sint anguli α, δ ex datis duo, qui simul sumpti duobus rectis sunt minores. Ad punita a, d constituantur anguli d ab, a de datis α, δ singulatim aequales L Rediae reb, de sibi mutuo in e Occur- a3. primi. rant. In recta ea sumatur pro arbitrio punεtum b, ct ad b constituatur angulus ab e dato β aequalis . Tres igitur ad a, d, b tribus α, δ, β aequales sunt. Quadrilateri antem a b e d anguli quatuor quatuor rectis sunt aequales '. Et quatuor dati, α, β, γ, δ aequaleS sunt Theor. r. quatuor rectis . Quatuor igitur anguli quadrilateri', Prop. 3 ab c d quatuor datis α, β, γ, δ sunt aequales. Et tres 'ς ad a, b, d tribus α, β, δ. Quare et quartus quadrilateri ad c quarto datorum γ est aequalis. In rediά d a producta capiatur a l, duabus a e, de simul sumptis aequalis. In recta K G sumatur pro arbitrio punctum A. Et capiatur A G datae P aequalis. Etiam A O, ad quam A G rationem habeat, quam d ad da. In e b producta capiatur o I duabus ι e, e e simul sumptis aequalis. A Puucto e in rectas a d, b c ad perpendiculum
155쪽
pendiculum deducantur eb, em. Capiatur an, ad quam e h rationem habeat, quam e m ad e b. Capiatur etiamd r, ad quam I d rationem habeat, quam i h ad b c. In
Veniatur recta o, ad quam Μ rationem habeat, quam e , ad ad. Et duarum hi, o capiatur N proportione media. In Α o producta inveniatur punctum D, quod essiciat, ut quadratum ex A D quadrato ex Do, dato quadrato ex N, majus sit, quam in ratione quadrati ex d r . . hujus. ad rectangulum an κ a d . Tum ad puncta A, D, constituantur anguli D A E, A D E, datis α, δ, seu illis a, d,singulatilia aequales. Ad rectam etiam A B, ad punctum ejus A, applicetur angulus E A a supplemento 13. primi. dati β, texi angulo e b c aequalis . In recta A a capian in. sexti. tur A ta, ad qUum Do rationem habeat, quam a d ad d r*. 31. primi. Per ci agatur recta a C ipsi A E parallela , quae rectae D E in C occurrat. Per C agatur C B illi A ci parallela, quae Occurrat ipsi A A in B. Ita effectum fuerit, quod seri oportuit. Namque trapeZium A R C D angulos A, B, C, D habebit datis α, ε, γ, ὀ aequales, arcam aequalem quadrato ex M, et pertinetrum aequalem datae P.
Angulos A, B, C, D datis aequales esse, triangula quoque E A D, E B C triangulis e a d, e b e eisse sintilia; haec ex constructione manifesta sunt. Caeterum cum Do sit ν ti,hnim ad A Q, Ut a d ad d rix, erit et quadratum ex Do ad qua- iactum. dratum ex Λ Q, ut quadratum ex a d ad quadratum exa ai. seis. d r ', Sed quadratum ex A ci aequale est quadrato ex B C. Nimirum cum rectae Aa, BC, Opposita parallelogrammi
156쪽
PROBLEMATUM DELECTUS.I Igrammi latera, ipsae sint inter se aequales ν. Quadratum ν 3 . primi. igitur ex Do ad quadratum ex BC rationem habet, quam quadratum ex a d ad quadratum ex d r; hoc est,
se similia, quadratum cx B C erit ad triangulum E B C, ut quadratum ex b e ad triangulum e b c, hoc est, ut b ead et e m. Sed b c est ad e m. ut a n ad e b φ. Quareb c erit ad ἰem, ut a n ad et e b. Quadratum igitur ex B C ad triangulum E B C rationem habet, quam a n ad
Sed a d : l e B in a dy : a e d. Et propter triangula A E i , a e d inter se similia,
Quadratum igitur ex Λ D ad triangulum A E D eandem rationem habet, quam quadratum ex A D ad triangulum M u C cum quadrato ex M . Triangulum igitur A E D e quinti. aequale est triangulo E B C ct qtaadrato ex M simul sumptis q. Verum idem triangulum ATD triangulo d y quiuii. E R C cum trapezio A B C D aequale est. Triangulum igitur E n C in trapeg. Λ BCD m EB C in M'. Ablatoque triangulo E B C, trapegium A B C D quadrato ex N aequale est. Quod primum demonstrandum erat. Dico Diuitiam by Corale
157쪽
a Factum enim.'. quinti. Per con
Dico etiam perimetrum trapezii ABCD rectae P m- qualem esse. Perimeter illa, quaecunque fuerit, dicatur T. Et capiatur D K perimetro trianguli A E D aequalis Et in C B producia capiatur C L duabus B B, E C smui sumptis aequalis. Et propter triangula E B C, e b c inter se similia, erit L C: CR l cic h. Dividendo igitur L B : n C in I b : b c in I d : d rq . Sed BC : Do m d 4. Ex aequo igitur L B: Do m. d : a d. Sed L B α κ D - T. Id enim ostensum in analysi. Erit igitur KD-T: DO l: ad. QSed propter triangula A A D, a e d inter se similia, erit KD: AD d : a d.
Recta igitur T, seu perimeter trapezii, aequalis est rectae G A h, et G A rectae P aequalis est . Perimeter igitur trapcgii datae rectae P aequalis est. G. E. D.
Quinque horum Problematum, primum et secundum, tertium item cum ultimo, ex iis sunt, quae NeWtonus, artis Algebraicae vires ostentans, in Arithmetica sua Universan Algebraice resoluta dedit. Resolutiones autem illas Newtoni Algebraicas cum hisce nostris Geometricis si quis contulerit, is demum, ut opinor, sentiet, Analytices, qua veteres usi sunt, quanta sit praestantia. In Algehra illud maxime vitiosum est, quod concinnata aequatione, vel etiam reducta, quanam ratione Problemati Geometrice satisfaciendum sit, quaerendum nihilominus restat. Quandoquidem eorum, quae in ultima aequatione datorum formam prae se ferunt, constructionem Geometrice concinnare, longe majoris plerumque
opus est vel artis vel ingenii, quum quod ultimo quaesitum est Algebraico eruere, ex simpliciter, ut ita dicam, datis. Simpliciter autem dico, quae in statu quaestionis data sunt. Exemplo sit de Trapezio Problema, eorum quae Geometria plana habet ex difficillimis unum, quoa
158쪽
nobis quintum, Newtono eorum, quae in Arithmetica Universali, decimum octavum. Hujus constructionem haud inconcinnam, construetionis den)onstrationem luculentam Veterum Analysis nobis suppeditavit. Ne tonus ad Algebraicam problematis rQblutionem, rectas nostri diagrammatis AB, AC, literis x et a designari jubet. Datas autem rationes BC ad C E et B E eas ponit, quas data quaedam d ad datas e et f habet. Datas item A E ad D A et D E rationes eas ponit, quo data quaedam g ad datas b et d habet. Datamque perimetrum ponit a. Datam praeterea quadrati ex B C ad triangulum B C E rationem ponit eam, quae est datae mad datam n. Datam quadrati ex DE ad triangulum A DE, eam, quae datae m ad d. Datamque aream ponit b b. His ita praeparatis, sponte quasi enascuntur sequationes
duae duarum incognitarum, x et ν ; et altera x exterminata, alterius y multa arte conficitur tandem aequatio
quadratica; quam, primo quivis intuitu, constructione facillimam fore judicaverit, cum revera sit dissicilis. Est autem haec I a ta in t v. Seu ν - 2 t A I m t v. Si igitur ad datam rectam et i applicetur datum rectangulum ι υ cum excessu quadrati, latitudo excessus eritalia ipsa, quae quaeritur, Verum recta illa ι, et rectangulum t υ quomodo data sunt, vel quanam ratione inveniantur; siquidem neutrum horum certissime in eorum numero sit, quae limpliciter data sunt λ Algebraica quidem, et numerosa exeges, nihil facilius. Quali autem constructione exhiberi possint si rogas, nulla 1 ano ex symbolis aequationum clicienda est, quae non sit res maximi laboris. Ibiterae enim illae ι, υ inter operandum substitutae sunt pro multinomiis Algebraicis; vel, ut verius dicam, pro factis ex multinomiis, multiplicatione et divisione mutua inter se componendis. Primum enim, honi Ogeneum comparationis, t v, illud est, quod
venit ex binomio b b m - 2I- per quadrinomium
s Onitum dixi . Quinetiam in binomiis illis et in
159쪽
quadrinomio literae ρ, ρ, r, quantitates haud simplices 1 ignificant, vel quae sunt in simpliciter datis, sed ex illis
multimoda rursum compositione sectas.
substituta est pro trinomio I - - - Ἱ- ; et Pro
nuadrinomio I - . Et hi e substituendi
i ij b apraestigiis comparata est Omnis illa, quae ultimae aequationi inest, salsa omnino et fallax simplicitatis spe
Illud etiam animadvertisse non inutile erit: Newtonum in hoc problemate, ut in aliis, inulta adhibuisio ad calculum promovendum quae ex intima Geometria ei petita sunt. Quod si aliter egisset. major ei subeundus esset calculorum labor, et aequatio ultima intra tabilior prodiisset. Ut vel uno hoc exemplo intelligendum sit, quam praeposterum revera et perversum lit illud maj-strorum praeceptum, cujus supra meminimus, cum ju-hent Geometricis neglectis, ad prima et simplicissima principia revocare omnia. Quali ad subtillima Geometriae problemata, praeter notionem illam quam maxime communem, totum suis partibus aequari, et auream quam in puerorum scholis vocant regulam, aliasque trivialis Arithmetices operationes, nihil amplius desideraretur. In suis plane homines et deridendi, utut magnifice sese esturant, cum modo ipsorum Alybra quis instructus fuerit, vel ipsius quadragemnae septimae pririai levem futuram fuisse jaeturam existimant, si mortalibus Dunquam innotuisset. De istiusmodi deliramentis interea, quid revera statuendum est, ediscat aliquis veΙ primi nostri problematis exemplo, quod Newtono in Arithmetica Universali decimum quintum est; si nostra scilicet resolutio Geometrica cum priori earum, qURS duas Newtonus tradidit, conseratur. Ubi aequatio quae primum prodit summo artifici, speciem triangulo consulto dissimulanti, ad octavam dimensionem incognitonae ascendit, ope autem divisoris compositi in hi quadraticam deprimitur, et hi quadratica radicem extrahendo in quadraticam. Haec autem Newtonus vires Algobrio, sicut diximus, ostentans, et consiliis iis, quibus Librum de Arithmetica Universali edere constituit, solummodo
160쪽
, obtemperans. Non quod indoctam illam, impeditam et caliginosam indaginis viam prae alia omni insistendam esse judicavit. Cum e contrario methodum aliam et audaciorem ipse ut plurimum usurpaverit, et nulla non subsidia sibi ex Geometria de industria conquisiverit. Quinetiam multa vel in ip illo Arithmetices Universalis libro Geometrice resoluta dedit, neglectis omnino et posthabitis, quae tamen facile ei adhibere licuit, omnibus artis Algebraicae, quotquot sunt, adminiculis.